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15.3 可化为一元一次方程的分式方程
1.理解分式方程的本质特征，能区分分式方程与整式方程.
2.理解“去分母转化为一元一次方程”的逻辑依据，知道验根的必要性.
3.能运用分式方程解决实际问题.
解一元一次方程的一般步骤：
①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化为1
回忆一元一次方程的解法，并解方程 1
根据题意列出方程
轮船在顺水中航行80km所需的时间和在逆水中航行60km所需的时间相同. 已知水流的速度是3km/h，求轮船在静水中的速度.
设轮船在静水中的速度为x km/h，根据题意，得
这个方程是一元一次方程吗？
注意：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据 .
这个方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做
分式方程.
下列关于x的方程中，是分式方程的是( )
D
判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母，π不是字母).
怎样解这个分式方程呢？有没有办法去掉分式方程中的分母，把分式方程转化为整式方程呢
想一想：解一元一次方程是怎样去分母的？
将分式方程两边同乘分母的最简公分母，即可去掉分式方程中的分母.
解：方程两边都乘以(x+3)(x-3)，约去分母，得80(x - 3)=60(x + 3).
解这个整式方程，得x=21.
由此可得轮船在静水中的速度为21 km/h.
上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边都乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.
所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。
解：方程两边都乘以(x2 - 1)，约去分母，
得x+1=2.
解这个整式方程，得x=1.
【思考】解到这儿，我们能不能说x=1就是原分式方程的解(或根)呢
【例1】 解方程
当x=1时，原分式方程左边和右边的分母(x - 1)和( x2-1 )都是0，
方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的解，应当舍去，所以原分式方程无解.
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边都乘以同一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验.
解分式方程进行检验的关键：看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中分式的分母为0.
有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为0，如果为0，即为增根.
如例1中，把x=1代入x2-1，其值为0，可知x=1是原分式方程的增根.
【例2】 解方程
解：方程两边都乘以x (x-7)，约去分母，
得100(x - 7) = 30x.
解这个整式方程，得x= 10
检验：把x=10代入 x(x - 7)，
得10x( 10-7 )≠0.
所以，x=10是原方程的解.
解分式方程的步骤：
分式方程
整式方程
x = a
x = a 是分式方程的解
x = a 不是分式方程的解
最简公分母不为 0
最简公分母为 0
去分母
解整式方程
检验
【例3】用计算机处理数据时，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致. 两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.这两个操作员每分钟各能输入多少个数据
解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入2x个数据.
根据题意，得
解得x=11.
所以乙用了240min，甲用了120min，甲比乙少用了120min，符合题意.
答：甲每分钟能输入22个数据，乙每分钟能输入11个数据.
经检验，x=11是原方程的解.
且当x=11时，2x=22，
1.审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系. 当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部( 或大部分) 数量的等量关系列方程.
2.设未知数时，一般题中问什么就设什么，即直接设未知数；若直接设未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数，即间接设未知数；有时设一个未知数无法表示出等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数.
解方程：
解：方程两边同乘(x2－4)，
得(x－2)2－16＝(x＋2)2，
化简，得8x＝－16，解得x＝－2.
经检验，x＝－2是原方程的增根．
所以原方程无解．
本节课你学到了什么？
1.分式方程：方程中含有分式，并且分母中含有未知数
2.解分式方程.
3.分式方程的应用.
A
2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘以（ ）
A. 3y-6 B. 3y
C. 3 (3y-6) D. 3y (y-2)
D
3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A.2(x-8)+5x=16(x-7) B.2(x-8)+5x=8
C.2(x-8)-5x=16(x-7) D.2(x-8)-5x=8
A
4．若关于x的分式方程 无解，则m的值为 ( ).
A. -1，5
B. 1
C. -1.5或2
D. -0.5或－1.5
D
【提升】5. 已知关于x的分式方程
(1)若方程有增根，求m的值；(2)若方程无解，求m的值.
(1)因为分式方程有增根，所以(x+2)(x-1)=0，解得x=-2或x=1.
当x=-2时，m=1.5；当x=1时，m=-6.
所以m的值为1.5或-6.
(2)当m+1=0时，该方程无解，此时m=-1；
当m+1≠0时，由(2)知要使方程无解，则m=6或m=1.5.
综上，m的值为-1或-6或1.5.

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