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19.1 多边形
课时1 多边形及其内角和
第 十 九 章 四 边 形
01
了解多边形的定义及有关概念，能识别出凸多边形.
02
探索并掌握多边形的内角和公式.
在日常生活中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形.观察下列图片，找一找有哪些由线段围成的图形？
问题1：观察下列图形，类比三角形的定义，它们有什么特征？如果我们把这些图形称为多边形，那么同学们如何给多边形下一个定义呢？
①在一个平面内；②由几条（不少于三条）线段首尾顺次相接而成.
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形．
思考：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？
这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点有可能不在同一个平面内.
如图所示的图形不是平面图形，顶点A、B、C在同一平面内，而A、C、D又在另一平面内.
A
D
C
B
多边形一般根据边数和各个顶点的字母按顺序来表示，可以按顺时针或逆时针的顺序.
四边形ABCD
五边形ABCDE
六边形ABCDEF
A
C
B
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
问题2：根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角、对角线．
内角：多边形相邻两边组成的角.
顶点：相邻两条线段的公共端点.
边：组成多边形的各条线段.
外角：多边形角的一边与另一边的延长线组成的角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段.
A
B
C
D
A
B
C
D
一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形就是凸多边形.
凸多边形
不是凸多边形
做一做 分别画出下列两个图形一边所在的直线，你有什么发现？
四边形 ABCD 都在直线 AB 的同一侧
四边形 ABCD 不都在直线 AB 的同一侧
特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形.
问题1：三角形的内角和是 180°，长方形的内角和是 360°. 那么，任意一个四边形的内角和是多少度？如何证明呢？
四边形ABCD的内角和是360°.
A
B
C
D
方法一：如图，连接 AC，
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形 ABCD 的内角和为180°×2 = 360°.
A
B
C
D
方法二：如图，在四边形ABCD内任取一点O,连接OA，OB，OC，OD，
所以四边形被分为四个三角形，
所以四边形 ABCD 的内角和为
180°×4 =360°.
O
总结：这方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，再用已学的三角形内角和定理求解.
思考：你还有其他方法得到四边形的内角和吗？
问题2：仿照方法一中求四边形内角和的方法，求五边形、六边形的内角和？
A
C
D
E
B
A
B
C
D
E
F
内角和为 180°×3 = 540°.
内角和为 180°×4 = 720°.
问题3：根据上述的推导过程，找出多边形内角和与边数的关系，你能得到n边形的内角和吗？
多边形的边数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形内角和
3
4
5
6
…… …… …… ……
n
0
1
1×180°=180°
1
2
2×180°=360°
2
3
3×180°=540°
3
4
4×180°=720°
(n-3)
(n-2)
(n-2)×180°
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
定理：n 边形（n为不小于3的整数）的内角和等于 (n－2)× 180°.
一般地，从 n 边形的一个顶点出发，可以作 (n－3) 条对角线，它们将 n 边形分为 (n－2) 个三角形，n 边形的内角和等于 (n－2)× 180°.
例1 如图,四边形风筝的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比为11:10:5:10.求四边形ABCD四个内角的度数.
解:设∠B=∠D=(10x)°，
则∠A=(11x)°，∠C=(5x)°.
由题意,得11x + 10x + 5x + 10x= 360.
解得x=10.
故∠A，∠B，∠C，∠D的度数分别为110°，100°，50°，100°
例2 (1) 十边形的内角和是多少度？
(2) 一个多边形的内角和等于 1980°，它是几边形？
解：(1) 十边形的内角和是
(10－2)×180°＝1440°.
(2) 设这个多边形的边数为 n，则
(n－2)×180°＝1980°，
解得 n＝13.
所以这是一个十三边形.
1.下列图形中，凸多边形有________．(填序号)
①③
2.若一个多边形的内角和等于1 080°，则这个多边形的边数是 ( )
A．9　　　B．8　　　C．7　　　 D．6
3.若一个多边形有14条对角线，则这个多边形的边数是( )
A．7 B．10 C．14 D．6
B
A
4.如图所示的是某树叶在显微镜下的细胞图片，一个细胞可近似看成六边形.从六边形的一个顶点出发作对角线，可将六边形分成___个三角形，一个三角形的内角和为 ，故六边形的内角和为______.
4
通过本节课的学习，说一说你都学到了哪些知识？
多边形的定义及有关概念
n边形的内角和
(n－2)× 180°
多边形及其内角和
边、顶点、内角、外角和对角线

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