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第19章 四边形
19.1 课时2 多边形的外角和及正多边形
1.探究三角形的外角的性质及三角形的外角和定理；
2.熟练运用三角形的外角的性质及外角和定理解决问题.
1.三角形的内角和是多少？n边形的内角和公式又是什么？
三角形的内角和是180°.
把三角形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个
三角形的一个外角.
它的外角和等于360°.
2.三角形的外角是怎么定义的？ 它的外角和是多少？
n边形的内角和等于(n－2)·180°
在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角,把它们的和叫作多边形的外角和.
外角
内角
如图,四边形ABCD的每一个外角都与同它相邻的内角互补.
你能利用四边形ABCD的内角和来求四达形ABCD的外角和吗
如图，分别在四边形ABCD的每一个顶点处取一个外角，即∠1，∠2，∠3，∠4.
所以∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 4×180°-360°= 360°.
因为 ∠1 +∠DAB = 180°，∠2 +∠ABC = 180°，
∠3 +∠BCD = 180°，∠4 +∠ADC = 180°
又∠DAB +∠ABC +∠BCD +∠ADC = 360°，
因此 四边形的外角和为360°.
1
2
3
4
按照同样的方法分析,五边形的外角和等于 .
五边形
1
2
3
4
5
5个外角与跟它相邻的内角之和合计为__________.
5×180°
五边形的内角和为____________.
(5-2)×180°
五边形的外角和为
___________________________.
5×180°-(5-2)×180°= 360°
360°
思考：n边形(n为不小于3.的整数)的外角和等于多少度？
图形 边数 多边形的外角和
三角形 3
四边形 4
五边形 5
六边形 6
… …
n边形 n
3×180°-(3-2)×180°= 360°
4×180°-(4-2)×180°= 360°
5×180°-(5-2)×180°= 360°
6×180°-(6-2)×180°= 360°
n·180°-(n-2)·180°= 360°
定理: n边形(n为不小于3的整数)的外角和等于 360°.
多边形中,如果各条边都相等,各个内角都相等,这样的多边形叫作正多边形.
如图，分别是正三角形、正方形、正五边形和正六边形.
例2 求正六边形每个内角的度数.
解:正六边形的内角和为
(6-2)×180°=720°
所以每个内角的度数为
720°÷6=120°
思考：正 n 边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
三角形具有稳定性，但四边形则具有不稳定性（即各边长确定后，图形形状不能确定），如图，在日常生活中，四边形显不稳定性，但也叫为广泛的应用，如图中的活动的铁栅栏门，正是由于四边形可以变动，所以他可以拉开，也可以拉拢，你能举出用四边形的不稳定性的其他例子吗？
1.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个
内角等于_______．
120°
2.正八边形的一个外角的度数是 ．
45°/45度
3.我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
C
4. 如图，求图中 x 的值.
x°
x°
x°
解：由题意，得
3x°+ 90°+90°= 360°
解得 x = 60
5.一个多边形的每一个外角都等于 45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？
解：∵一个多边形的每一个外角都等于45°，并且多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数为 360°÷45°= 8.
∴这个多边形是八边形，它的每一个内角为180°- 45°=135°.
多边形的外角和及正多边形
多边形外角和定理：
n边形(n为不小于3的整数)的外角和等于 360°.
正n多边形（n为不小于3的整数）每个外角的度数是 ．

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