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19.2.1 平行四边形
课时1 平行四边形的性质
第 十 九 章 四 边 形
01
理解平行四边形的概念.
02
探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质，能利用性质进行简单的计算和证明.
对于四边形，从组成它的四条边的位置关系来看，位置关系不同，四边形有什么变化？
四边形
平行四边形
梯形
两组对边分别平行
只有一组对边平行
本节课我们重点学习平行四边形，研究它边和角的性质.
观察下图，平行四边形在生活中无处不在，找出平行四边形的形象.尝试给平行四边形下一个定义？
学校的伸缩门
庭院的竹篱笆
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
B
C
D
A
四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
平行四边形用“□ ”表示，如图，平行四边形 ABCD 记作“□ABCD”.
注意：1.表示平行四边形时一定要按顺(或逆)时针依次书写各顶点字母；2.“□ ”后要紧跟表示四个顶点的字母，不能单独使用.
如图，在□ABCD中，EF//AB，GH//AD , EF 与GH 交于点O，则图中平行四边形共有（ ）.
A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 11个
A
B
C
D
E
G
H
O
F
C
探究 根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？
(1)用尺子等工具度量平行四边形的四条边，你能发现什么
A
B
C
D
测量得到AB=DC，AD=BC.
(2)用量角器等工具度量平行四边形的四个角，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗
A
B
C
D
测量得到∠A =∠C，∠B =∠D.
猜想：① 平行四边形对边相等；
② 平行四边形对角相等.
如何证明呢？
猜想：平行四边形的对边相等，对角相等.
已知：如图，四边形ABCD为平行四边形.
求证： AB＝CD，AD＝BC； ∠B＝∠D，∠BAD＝∠DCB.
B
C
D
A
证明：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC,
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
又AC是△CBA和△ADC的公共边，∴△ADC△CBA，
∴AB=CD，AD=BC，∠B = ∠D.
又 ∵∠1 = ∠2,∠3 = ∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3，
即∠BAD =∠BCD.
1
2
3
4
思考 不添加辅助线，你能证明平行四边形的对角相等吗
B
C
D
A
证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC,
∴∠A+∠B=180°，∠C+∠B=180°，
∴∠A = ∠C.
同理，可得∠B = ∠D.
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等 .
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB = CD，BC = AD；∠A = ∠C，∠B = ∠D.
几何语言：
平行四边形的性质
A
B
C
D
例1 如图 ，在□ ABCD 中，BE 平分∠ ABC 交 AD 于点 E .
(1) 如果 AE = 2，求 CD 的长；
(2) 如果 ∠ AEB = 40°，求 ∠C 的度数.
解：(1)∵ BE 平分 ∠ ABC，∴ ∠ABE = ∠EBC .
∵ AD // BC ，∴ ∠EBC =∠AEB .
∴ ∠ABE =∠AEB . ∴ AB = AE = 2.
又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ CD = AB = 2.
(2) 由 (1) 知∠ABE =∠AEB = 40°，
∴ ∠A = 180° - ( 40° + 40°) = 100°，
又 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠C = ∠A = 100°.
例2 已知:如图，过 △ABC 的三个顶点，分别作对边的平行线这三条直线两两相交，得△A'B'C'
求证: △ABC 的顶点分别是 △A'B'C' 三边的中点.
证明：∵ AB∥B'C，BC∥AB'.
∴ 四边形 ABCB' 为平行四边形，
∴ AB' = BC .
同理：AC' = BC. ∴ AB' = AC.
同理：BC' = BA'，CA' = CB' .
∴ △ABC 的顶点分别是 △A'B'C' 三边的中点.
分析：要证明点 A 是 B'C' 的中点，只要证明 AB' = AC'
1. 如图，将□ ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点B′处.若∠1 ＝∠2 ＝ 44°，则∠B 的度数为（ ）
A. 66°
B. 104°
C. 114°
D. 124°
C
2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 边上，以 CB，CD 为边作 □ BCDE，DE 交 AB 于点 F.
（1）若∠A = 50°，求 ∠E 的度数；
解: 在△ABC中，∵∠A = 50°，AB = AC，
∴∠C =∠ABC = (180°－50°)÷2 = 65°.
∵四边形 BCDE 是平行四边形，
∴∠E = ∠C = 65°.
（2）若 AD = CD，BC = 6，求 EF 的长.
∵四边形 BCDE 是平行四边形，
∴BE // CD，DE = BC = 6，BE = CD，
∴∠E =∠ADF，∠EBF =∠A.
∵AD = CD，BE = AD.
∴△BEF△ADF (ASA). ∴EF = DF = DE = 3.
证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD = BC.
∴ ∠CDE = ∠DEA，∠CFB = ∠FBA.
又∵DE，BF 分别平分 ∠ADC，∠ABC，
∴∠CDE = ∠ADE，∠CBF = ∠FBA.
∴ ∠DEA = ∠ADE，∠CFB =∠CBF.
∴AE = AD， CF = BC.∴AE = CF.
3. 已知在平行四边形 ABCD 中，DE 平分∠ADC，BF 平分∠ABC. 求证：AE = CF.
A
B
D
C
E
F
定义
性质
平行四边形
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形的对边相等，对角相等.

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