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第19章 四边形
19.2.1 课时1 平行四边形的性质
1.理解平行四边形的概念；
2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质.
观察这些四边形，它们有哪些性质呢？今天我们就一起来探讨一下吧！
观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
两组对边都不平行
一组对边平行，
一组对边不平行
两组对边分别平行
平行四边形
梯形
A
B
C
D
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形用“□ ”表示.
平行四边形 ABCD 记作“□ABCD”.
思考：由平行四边形的定义知:平行四边形的对边平行.
于是,平行四边形的相邻内角互为补角.
此外,平行四边形的边、角还有什么性质呢
已知:如图,在四边形 ABCD中AB // DC, AD // BC.
求证:(1)AB=DC,AD=BC;
(2)∠DAB=∠DCB，∠B=∠D.
证明 连接AC.
(1)∵ AB // DC, AD // BC，
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC
在△ABC和△CDA中，
∠BCA =∠DAC,
∵ AC=CA
∠BAC=∠DCA
∴ △ABC≌△CDA(ASA)
∴ AB=DC ，AD=BC
(2)由(1)知∠BAC=∠DCA,∠BCA=∠DAC.
∠BAC+∠DAC=∠DCA+∠BCA.
∴ ∠DAB =∠DCB
由(1)已证 △ABC≌△CDA
∴∠B=∠D.
性质1 平行四边形的对边相等.
性质2 平行四边形的对角相等.
几 何 语 言
边
角
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC ，AB∥DC.
∴ AD=BC ，AB=DC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ A=∠C，∠ B=∠D.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
平行四边形的性质
邻角互补
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠ A+∠B=180°，∠ B+∠C=180°.
例1 如图,在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)如果AE=2,求 CD 的长;
(2)如果∠AEB=40°,求∠C的度数.
解(1)∵ BE平分∠ABC,∴ ∠ABE=∠EBC.
∵ AD // BC,∴ ∠EBC=∠AEB.
∴ ∠ABE=∠AEB，∴ AB=AE=2.
又∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD=AB=2.
(2)由(1)知∠ABE=∠AEB =40°
∴ ∠A=180°-(40°+40°)=100°,
又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ ∠C=∠A=100°
例2 已知:如图,过△ABC的三个顶点,分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△A'B'C'.
求证:△ABC的顶点分别是△A'B'C'三边的中点.
证明 ∵ AB∥B'C ,BC /AB'
∴ 四边形 ABCB'为平行四边形、
∴ AB'= BC.
同理:AC'=BC
∴ AB'=AC'
同理:BC'=BA'，CA'=CB'
∴ ABC 的顶点分别是△A'B'C'三边的中点.
1 .如图，在□ABCD中
(1)若∠A=130°，则∠B =______ ，∠C =______ ，∠D =______.
(2)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A =______ ，∠B =______.
(3)若∠A:∠B= 5:4，则∠C =______ ，∠D =______.
(4)若AB=3,BC=5,则它的周长= ______.
50°
130°
50°
100°
80°
100°
80°
16
A
B
C
D
1. 在□ ABCD 中，
（1）已知 AB = 5，BC = 3，求另外两边的长；
（2）已知 ∠A = 38°，求其余各内角的度数.
解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD = AB = 5，AD = BC = 3.
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠C = ∠A，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A + ∠B = 180°，∠A + ∠D = 180°.
∵∠A = 38°，∴∠C = 38°，∴∠D = ∠B = 180°－38°= 142°.
3.如图，在□ABCD中，AB=8，周长等于24，求其余三条边的长.
解：在□ ABCD中，AB=DC,AD=BC,
∵ AB=8，DC=8,
又∵AB+BC+DC+AD=24,
∴AD+BC= (24-2AB)=8.
∴AD=BC=4.
B
C
D
A
平行四边形的性质
平行四边形概念：
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形性质：边形外角和定理：
平行四边形的对边相等，对角相等.

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