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19.2.1 平行四边形
课时2 平行四边形的性质
第 十 九 章 四 边 形
01
掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
02
能综合运用平行四边形的性质进行一些简单的推理计算.
问题：我们上节课学行四边形的哪些性质？
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
思考：平行四边形除了以上边和角的特征，其对角线有什么特征呢？
平行四边形的邻角互补.
探究 如图，在□ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O. OA与OC，OB与OD有什么关系
B
A
C
D
O
猜想：OA＝OC，OB＝OD.
如何证明这个猜想呢？
已知：□ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O.
求证：OA＝OC，OB＝OD.
B
A
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴△AOD△COB(ASA)，
∴OA＝OC，OB＝OD.
1
2
3
4
平行四边形对角线互相平分.
平行四边形的性质
A
C
D
B
O
几何语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
例1 如图,在□ABCD中,对角线AC和BD相交于O，AB⊥AC,AB=3,AD=5,
求BD的长.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC=AD=5, AO=AC, BD=2BO，
∵ AB⊥AC,∴ ∠BAC =90°.
∴ AC =.
∴ AO =AC=2.
∴ BO ==
∴ BD=2BO =2.
问题 如图，直线 l1 与 l2 平行，AB，CD 是 l1 与 l2 之间的任意两条平行线段. 试问：AB 与 CD 是否相等？为什么？
因此 AB = CD.
相等，理由如下：
l1
l2
D
A
B
C
结论：夹在两条平行线间的平行线段相等.
因为 l1∥l2，AB∥CD，
所以四边形 ABDC 是平行四边形.
如图，直线l1∥l2，点A,C在直线l1上，若AE⊥l2，CF⊥l2，垂足分别为点E，F，则AE与CF有什么数量关系？
l1
l2
A
B
C
D
E
F
两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
AE=CF. 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等.
思考：两条平行线之间的距离、点与点之间的距离、点到直线的距离有何区别与联系？
点到直线的距离只有一条，即这点到直线的垂线段的长；而平行线的距离有无数条，从平行线中的一条上的任一点都可以作出两平行直线的距离.
a
b
A
B
A
B
例2 如图，在 ABCD 中，AB=4，AD=5，∠B=45°.求直线AD和直线BC之间的距离，直线AB和直线DC之间的距离.
A
D
B
C
F
解：过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F.
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∴线段AE的长为直线AD和直线BC之间的距离，线段AF的长为直线AB和直线DC之间的距离.
∵在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=45°，AB=4.
∴∠B=∠BAE，AE2+BE2=AB2.
∴BE=AE. ∴2AE2=16.∴AE=2.同理：AF=.
∴直线AD和直线BC之间的距离为2，直线AB和直线DC之间的距离为.
E
1.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是(　 )
A.AO=OD B.AO⊥OD
C.AO=OC D.AO⊥AB
C
2. 如图，两平行铁轨之间的枕木长度都相等，其中蕴含的数学道是_____________________________________.
夹在两条平行线之间的平行线段相等　
3. 在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，BC＝2，则AB与CD之间的距离为 .
4.如图， ABCD的周长为20 cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为(　　)
A.6 cm B.8 cm
C.10 cm D.12 cm
C
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD=BC,OA=OC.∵ ABCD的周长为20 cm,∴AD+DC=10 cm.又∵OE⊥AC,∴AE=CE,∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10(cm).故选C.
5.已知：如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，交DA于点E，交BC于点F.
求证：OE=OF，AE=CF，DE=BF.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD=CB，AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO.
又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE△COF.
∴OE=OF，AE=CF.
又∵AD=CB，∴DE=BF.
A
D
C
B
O
E
F
平行四边形
平行四边形对角线互相平分.
夹在两条平行线之间的平行线段相等.
性质

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