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第19章 四边形
19.2.1 课时2 平行四边形的性质
1.平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用；
2.能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题.
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
老大
老四
老三
老二
老人这样分配合理吗？
如图,直线l1∥l2,AB，CD是夹在直线l1 ，l2 之间的两条平行线段，由平行四边形的对边相等,可得AB=CD.
l1
l2
A
B
C
D
E
F
夹在两条平行线之间的平行线段相等.
如图,直线l1∥l2,点A,C在直线l1上,若AE⊥l2，CF⊥l2,垂足分别为点E,F.则AE=CF.
l1
l2
A
B
C
D
E
F
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作这两条平行线之间的距离.
如图,线段AE的长就是直线l1和直线l2之间的距离.
l1
l2
A
B
C
D
E
F
如图,在□ABCD中，AB=4，AD=5，∠B=45°，求直线AD 和直线 BC 之间的距离,直线 AB 和直线 DC 之间的距离.
解：过点A作AE⊥BC，AF⊥CD,垂足分别为点E，∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ AB ∥ CD, AD // BC.
∴ 线段 AE的长为直线 AD 和直线BC之间的距离,线段AF的长为直线AB和直线DC之间的距离
∵ 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=45°，AB=4,∠B=∠BAE,AE2+BE2=AB2
∴ BE =AE.∴ 2AE2=16.
∴ AE =2
同理: AF=
∴ 直线AD和直线BC之间的距离为2,直线AB和直线DC 之间的距离为 .
我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢
D
C
B
A
O
OA与OC,OB与OD有什么关系
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC和BD相交于点O.
求证:OB=OD，OA=OC.
D
C
B
A
O
证明:在□ABCD中，AB∥DC，AB=CD.
∴ ∠OAB =∠OCD,
∠OBA = ∠ODC.
∴ △OAB ≌△OCD
∴ OB=OD，OA=OC.
性质3 平行四边形对角线互相平分.
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC,OB=OD
几何语言：
1. △ABO ≌ △CDO，
△AOD ≌ △COB，
△ABD ≌ △CDB，
△ABC ≌ △CDA ；
2. △ABO、 △AOD、 △DOC、 △COB的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一.
例4 如图,在□ABCD中,对角线AC和BD相交于O，AB⊥AC,AB=3,AD=5,
求BD的长.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC=AD=5, AO=AC, BD=2B0，
∵ AB⊥AC,
∴ ∠BAC =90°
∴ AC =
∴ AO =AC=2.
∴ BO ==
∴ BD=2BO =2
1.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A.对边相等 B. 对角相等
C.对角线互相平分 D. 是轴对称图形
D
A
B
C
D
O
2.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,
CD=6,则△ABO的周长是（ ）
A. 10 B. 14 C. 20 D. 22
B
A
B
E
F
D
C
3.如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD，交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC的长为 .
10
4.在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点0.若△A0B的周长比△BOC的周长多10，BC=8，则AB= ，□ABCD的周长为 .
18
52
5.如图，在□ABCD中，若A0CD的周长为16cm，AB的长为5cm，
则□ABCD的两条对角线的和为 cm.
22
平行四边形的性质
夹在两条平行线之间的平行线段相等.
性质3 平行四边形对角线互相平分.

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