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第19章 四边形
19.2.2 课时1 平行四边形的判定
1.解并掌握平行四边形的判定方法，能区分判定定理与性质定理的关系；
2.能运用平行四边形的判定定理，解决 “证明四边形是平行四边形” 的简单几何问题.
平行四边形的定义是什么？有什么作用？
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
可以用平行四边形的定义来判定平行四边形.
A
D
C
B
除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？
边：平行四边形的对边相等;
角：平行四边形的对角相等;
对角线：平行四边形的对角线互相平分.
已知： 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，且AB=DC.
求证： 四边形ABCD为平行四边形.
D
C
B
A
证明：连接AC，
∵ AB∥DC
∴ ∠BAC=∠DCA
在△ABC和△CDA中,
，
∴△ABC≌△CDA
∴ ∠ACB=∠CAD
∴ AD∥BC
因此，四边形ABCD是平行四边形
D
C
B
A
定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
符号语言:
∵AB =CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
已知： 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
A
D
C
B
证明：连接AC，
在△ABC和△CDA中,
，
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴ ∠BAD=∠ACD , ∠CAD=∠ACB，
∴AB∥CD , AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言:
∵AD =BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD (SAS)，
∴ ∠OAB=∠OCD ,
∴AB∥ CD ,
同理 AD∥ BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
D
C
B
O
定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言：
∵ OA=OC，OB=OD ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
D
C
B
O
例5 已知:如图,点E，F是□ABCD的对角线AC上两点,且AE=CF.
求证:四边形BEDF是平行四边形.
证明：连接BD交AC于点O.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA =OC, OB =OD.
∵ AE =CF,
∴ OE=OA-AE=OC-CF=OF.
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形.
例6 已知:如图,直线l1，l2，l3互相平行，直线l4和l5分别交直线l1,l2,l3于点A,B,C和点A1，B1，C1，且AB=BC.
求证：A1B1 = B1C1
A1
A
B
C
B1
C1
E
F
l1
l2
l3
l4
l6
l5
证明 过点B1作l1∥l2.分别交直线l1,l3于点E，F.
∵四边形ABB1E和四边形BCFB1都是平行四边形.
∴ EB1=AB,B1F=BC.
∵ AB =BC,
∴ EB1=B1F.
又∵l1∥l3，
∴ ∠A1EB1=∠B1FC1
在△A1B1E和△C1B1F中
∴ △A1B1E≌△C1B1F
∴ A1B1=B1C1
A1
A
B
C
B1
C1
E
F
l1
l2
l3
l4
l6
l5
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
推论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.
1.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是 ( )
A.两组对边分别相等
B.两条对角线互相平分
C.两条对角线相等
D.两组对边分别平行
C
2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.如果AC=8cm，BD=10cm，
那么当AO=_____cm，BO=_____cm时，
四边形ABCD是平行四边形.
4
5
A
D
C
B
O
3.如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠CBD，∠C+∠ABC=180°，
四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由.
解：四边形 ABCD 是平行四边形.
理由：∵ ∠ADB = ∠CBD，∴ AD ∥ BC.
∵ ∠C + ∠ABC = 180°，∴ AB ∥ CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
A
D
C
B
4.如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF.
图中有哪些互相平行的线段？
A
B
D
C
E
F
解：因为 AB = DC， AD=BC ，
所以四边形 ABCD 是平行四边形.
因为 DC = EF，DE = CF，
所以四边形 DCFE 是平行四边形，
所以 AD ∥ BC，DE ∥ CF，AB ∥ DC ∥ EF.
平行四边形的判定
定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.

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