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第19章 四边形
19.2.2 课时2 三角形的中位线
1.理解三角形中位线的概念；
2.能够利用三角形的中位线的性质解决相关问题.
前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等研究平行四边形的有关问题. 下面利用平行四边形研究三角形的有关问题.
□ABCD的对角线交于点0,过点0的直线交BC于点E,交AD于点F.
(1)如图,点O是线段EF的中点吗 说出你的理由.
理由：∵ △DOF≌△BOE
∴ OF=OE
是
□ABCD的对角线交于点0,过点0的直线交BC于点E,交AD于点F.
(2)如图，若点E为边BC的中点,则线段EF与边AB有什么关系
说出你的理由.
EF=AB
理由：∵ △DOF≌△BOE
∴ OF=OE DF=BE=CE
∴四边形DFEC是平行四边形
∴FE=DC=AB
如图，在△ABC中，O，E分别是边AC，BC的中点，连接OE. 像OE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
你能发现三角形的中位线与第三边之间有怎样的关系
例7 已知:如图,点D、E分别为△ABC的边AB，AC的中点.
求证:DE//BC,且DE=BC.
证明:延长 DE到点F,使得EF=DE,连接CF.
在△ADE和△CFE中，
AE = CE,∠AED =∠CEF，DE = FE，
△ADE ≌ △CFE.
∠A=∠ECF，AD=CF
CF ∥ AB.
又∵AD =BD,
∴CF = BD.
∴ 四边形 BCFD 是平行四边形，
DE // BC, DF =BC.
∵ EF = DE,
∴ DE=BC.
三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
三角形的中位线 三角形的中线
图示
符号语言 ∵ D,E,F 分别是 BC,CA,AB 边的中点，∴ DE,EF,FD 是△ABC 的中位线. ∵ D,E,F 分别是 BC,CA,AB 边的中点，∴ AD,BE,CF 是△ABC 的中线.
区别 三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段. 三角形的中线是连接三角形的一个顶点与其对边中点的线段.
辨析 三角形的中位线与三角形的中线的区别
例8 如图,在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=3,
点D，E分别是BC，AC边上的中点,求线段DE的长.
解:在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB2+AC2 =BC2
∵ AB=AC,BC=3,
∴ 2AB2=18.
∴ AB=3
∵ 点D,E分别是 BC,AC边上的中点，
∴ DE是△ABC的中位线.
∴ DE =AB =
1.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点．
（1） 若DE=5，则BC= ．
（2） 若∠B=65°，则∠ADE= °．
（3） 若DE+BC=12，则BC= ．
10
65
8
A
B
C
E
D
2.已知：如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边AB、BC、AC 的中点.
（1）若∠ADF=50°，则∠B= °；
（2）已知三边AB、BC、AC分别为12、10、8，则△ DEF的周长为 .
50
15
A
B
C
D
F
E
A
C B
3. 如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点 C，连接 AC 和 BC. 怎样利用三角形的中位线定理测出A，B两点间的距离？
解：分别取 CA 和 CB 的中点 M，N，连接 MN，然后测出 MN 的长度，则 AB = 2MN.
M
N
4.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么它们是平行四边形？
解：能画出 3 个，
分别为 □BDFE，□DECF，□DEFA.
理由如下：
由三角形的中位线定理可得 DF ∥ BC，DE ∥ AC，EF ∥ AB，
∴ 四边形 BDFE，四边形 DECF，四边形 DEFA 均为平行四边形.
三角形的中位线
定义：
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
定理：
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.

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