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19.2.2 平行四边形的判定
第 十 九 章 四 边 形
01
理解并掌握平行四边形的判定定理，能区分判定定理与性质定理的关系.
02
能根据不同的问题条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.
小张同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的玻璃片，只剩下如图所示的部分，他想周末回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下的部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来，然后带上图纸去店里就行了.你能帮他画出原来的平行四边形玻璃片吗？
A
B
C
D
提示：根据平行四边形的定义.
还能想到其他的方法吗？
思考1：将线段 AB 按下图中所给的方向和距离平移成线段 A'B'，连接 AA'，BB'得到四边形 ABB'A'，它一定是平行四边形吗？你有什么猜想？
A
B
A'
B'
根据平移的性质可知，AB//A'B', AA'//BB',
四边形ABB'A'是平行四边形
定义
根据平移的性质可知，AB//A'B', AB=A'B'

猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
如何证明呢？
如图，在四边形 ABCD 中，AB∥DC ，且 AB = DC .
求证：四边形 ABCD 为平行四边形.
证明：连接 AC.
∵ AB // DC，∴ ∠BAC = ∠DCA.
在 △ABC 和 △CDA 中，
∴ △ABC≌△CDA . ∴∠ACB =∠CAD.
∴ AD // BC . 因此，四边形 ABCD 是平行四边形.
AB = CD，
∠BAC =∠DCA，
CA = AC，
D
C
B
A
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵ AB = CD，
AB∥CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理 1
B
D
C
A
常用符号“ ” 表示 “ 平行且相等 ”，“ AB CD ” 读作“AB 平行且等于 CD”.
∥
∥
思考2：如图，过点 A 画两条线段 AB， AD，以点 B 为圆心、 AD 长为半径画弧，再以点 D 为圆心、 AB 长为半径画弧，两弧相交于点 C ，连接 BC，DC . 这样画出的四边形 ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形吗 你有什么猜想？
B
D
C
A
四边形ABCD 是平行四边形
猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
如何证明呢？
已知：四边形 ABCD 中，AB = CD，AD = CB.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：连接 AC．
在 △ABC 和 △CDA 中，
AB = CD，
AC = CA，
AD = CB，
∴△ABC≌△CDA (SSS).
∴∠1 =∠3，∠2 =∠4.
∴ AB∥CD，AD∥CB.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
D
C
B
A
1
4
2
3
猜想：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵ AB = CD，
AD = BC，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理 2
B
D
C
A
思考3：如图，作两条直线 l1，l2 交于点 O，在直线 l1上截取 OA = OC，在直线 l2 上截取 OB = OD，连接AB，BC，CD，DA. 这样画出的四边形 ABCD 的对角线互相平分，它是平行四边形吗 你有什么猜想？
B
D
C
A
O
l1
l2
四边形ABCD 是平行四边形
猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
如何证明呢？
已知：四边形 ABCD 中，OA = OC，OB = OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：
在△AOB 和 △COD 中，
OA = OC，(已知)
OB = OD，(已知)
∠AOB =∠COD，(对顶角相等)
∴ △AOB≌△COD (SAS).
∴ AB = CD，∠ABO =∠CDO.
∴ AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
A
C
B
O
D
猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵ OA = OC，
OB = OD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理 3
A
C
B
O
D
例1 如图，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C， ∠B = ∠D.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：因为∠A =∠C，∠B =∠D，
∠A +∠B +∠C +∠D = 360°，
所以 ∠A +∠B = = 180°.
所以 AD∥BC，
同理，AB∥DC.
所以四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
D
C
判定定理4 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
思考：平行四边形的判定定理与性质有何关系？
平行四边形的判定定理与相应的性质定理的条件和结论正好互换，它们互为逆定理.
定义
性质
判定
逆向思维
这张图揭示了定义、性质、判定间的逻辑关系，提供了研究几何图形的一般思路.
例2 如图，点 E ，F 是 □ ABCD 的对角线 AC 上两点，且 AE = CF. 求证：四边形 BEDF 是平行四边形.
证明：连接 BD 交 AC 于点 O.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
∵ AE = CF，∴OE = OA - AE = OC - CF = OF .
∴四边形 BEDF 是平行四边形.
你还能想到其他证明方法吗？
例3 已知：如图，直线 l1，l2 ，l3 互相平行，直线 l4 和 l5 分别交直线 l1，l2 ，l3 于点 A，B，C 和点 A1，B1，C1，且 AB = BC. 求证：A1B1 = B1C1 .
证明：过点 B1 作 l6 ∥l4，分别交直线 l1，l3 于点 E，F.
∴ 四边形 ABB1E 和四边形 BCFB1 都是平行四边形.
∴ EB1 = AB，B1F = BC .
∵ AB = BC，∴ EB1= B1F.
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
l3
l4
l5
又∵ l1 ∥l3 ，∴ ∠A1EB1 =∠B1FC1.
∴ △A1B1E≌△C1B1F. ∴ A1B1 = B1C1.
∠A1EB1 = ∠C1FB1，
EB1 = FB1，
∠A1B1E = ∠ C1B1F，
在△A1B1E 和△C1B1F 中，
E
F
l6
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
延伸 前面的例题中，将直线 l 向左平移，使点 A1，A 重合，你能发现什么规律
推论：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
l1
l2
l3
l4
l5
l6
解决导入 如何画出原来的平行四边形玻璃片？
方法一：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∴过点C画AB的平行线，截取CD=AB，连接AD、CD所组成的四边形就是平行四边形
方法二：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形
∴画出与AB、BC的线段所组成的四边形就是平行四边形
方法三：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形
∴连接AC并找出中点O，连接OB并延长相同距离至OD，连接AD、CD所组成的四边形就是平行四边形
A
B
C
1.如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A
B
C
D
O
A．AB∥DC，AD∥BC
C．AO=CO，BO=DO
B．AB=DC，AD=BC
D．AB∥DC，AD=BC
D
2. 如图，在□ABCD中，AE=CF. 求证：四边形EBFD是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC，AB//DC.
∵AE=CF，
∴BE=DF，
∴四边形EBFD是平行四边形.
3. 如图，把△ABC 的中线AD延长至 E，使得 DE = AD，连接 EB，EC.
求证：四边形 ABEC 是平行四边形.
证明：∵AD是△ABC的中线，
∴DC = DB，
又∵DE = AD，
∴四边形 ABEC 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
A
B
D
C
E
4. 如图，AB，CD 相交于点 O，AC∥DB，AO＝BO，E，F 分别是 OC，OD 的中点．求证： 四边形 AFBE 是平行四边形．
证明：∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.
又∵∠COA＝∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD(角角边)，
∴CO＝DO.
∵E，F 分别是 OC，OD 的中点，
∴EO＝FO. 又∵AO＝BO，
∴四边形 AFBE 是平行四边形．
平行四边形的判定
边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(定理 2)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(定理 1）
角
对角线
两组对角分别相等的四边形是平行四边形(定义拓展)
对角线互相平分的四边形是平行四边形(定理 3)
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.

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