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19.2.3 三角形的中位线
第 十 九 章 四 边 形
01
理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.
02
能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
我们之前学习过三角形的哪些特殊线段呢？
高线
A
B
C
中线
角平分线
思考：三角形还有没有其他的特殊线段呢？
探究：□ABCD 的对角线交于点 O，过点 O 的直线交 BC 于点 E，交 AD 于点 F .
问题1：如图 ①，点 O 是线段 EF 的中点吗 说出你的理由.
A
B
D
C
O
F
E
①
∵ 易证△DOF≌△BOE,
∴ OF=OE.
是.理由如下：
问题2：如图②，若点 E 为边 BC 的中点，则线段 EF 与边 AB 有什么关系 说出你的理由.
A
B
D
C
O
F
E
②
EF=AB .理由如下：
∵ 易证△DOF≌△BOE，
∴ OF=OE ， DF=BE=CE,
∴四边形DFEC是平行四边形,
∴FE=DC=AB.
思考 观察图② ，在△ABC 中，线段 OE 在位置和长度上有何规律？
像 OE 这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
如图，在△ABC 中，O，E 分别是边 AC，BC 的中点，连接 OE .
C
A
B
O
E
思考 三角形的中位线与中线有什么异同点？
A
B
C
D
E
·
·
A
B
C
D
·
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
中位线
中线
都是与中点有关的线段.
相同点：
不同点：
探究：观察下图，你发现 △ABC 的中位线DE 与边 BC有什么位置关系？度量一下，DE 与 BC 之间有什么数量关系？你有什么猜测？
DE = BC
位置关系：
数量关系：
DE∥BC
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.
你能证明你的猜想吗？
A
B
C
D
E
已知:如图,点D、E分别为△ABC的边AB，AC的中点.
求证:DE//BC,且DE=BC.
证明：如图，延长DE到F，使EF = DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，∵AE=CE，∠ADE=∠CEF，DE = FE，
∴△ADE△CFE.
∴∠A =∠ECF，AD = CF.
∴CF∥AB.
∵BD = AD， ∴CF = BD.
∴四边形DBCF是平行四边形
∴DF∥BC，DF = BC.
∴ DE∥BC，DE=BC.
F
A
B
C
D
E
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
几何语言：
三角形的中位线定理：
A
B
C
D
E
∴DE∥BC，且 DE =BC .
在△ABC 中，
∵点 D，E 分别为 AB，AC 的中点，
可用于证明两直线平行、线段的相等或倍分关系.
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠A = 90°，AB = AC，BC = 3，点 D、E 分别是 BC ，AC 边上的中点，求线段 DE 的长.
A
B
D
C
E
解：在 Rt ABC 中，由勾股定理，
得AB2 + AC 2 = BC2 .
∵ AB = AC，BC = 3，
∴ 2AB2 = 18. ∴ AB = 3.
∵ 点 D，E 分别是 BC ，AC 边上的中点，
∴ DE 是△ABC 的中位线.
1. 如图，EF 是△ABC 的中位线，BC = 20，则 EF =________.
10
2. 在△ABC 中，中线 CE，BF 相交于点 O，M，N 分别是 OB，OC 的中点，则 EF 和 MN 的关系是_______________.
平行且相等
3. 如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC的中点.若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（　D　）
A. 45°
B. 50°
C. 60°
D. 65°
D
4. 在□ ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F，M，N分别是OA，OB，OC，OD的中点. 求证：四边形EFMN 是平行四边形.
证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD // BC，AB // DC.
又∵E，F，M，N分别是OA，OB，OC，OD的中点，
∴EF // AB，MN // DC，EN // AD，FM // BC.
∴EF // MN，EN // FM.
∴四边形EFMN是平行四边形.
5.如图，在四边形ABCD中，AB = CD，M，N， P分别是AD， BC，BD的中点，∠ABD = 20°，∠BDC = 70°，求∠PMN的度数．
解：∵M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线.
∴PM = AB，PN = DC，PM∥AB，PN∥DC.
∵AB = CD，∴PM = PN.∴△PMN是等腰三角形.
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD =∠ABD = 20°，∠BPN =∠BDC = 70°.
∴∠MPN =∠MPD+(180° ∠NPB) = 130°.
∴∠PMN =(180° 130°)÷2 = 25°．
通过本节课的学习，你有什么收获呢？
三角形中位线
定理
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
定义

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