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第19章 四边形
19.3.1 课时1 矩形的性质
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系；
2.探索并证明矩形的性质定理，并能运用它们进行证明和计算，提升推理能力；
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单运用.
思考 矩形也是常见的几何图形，生活中你见过哪些矩形的形象？
与研究平行四边形一样，对于矩形，仍重点研究它的性质和判定.
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形.
一个角是直角
注意：
矩形是特殊的平行四边形，平行四边形不一定是矩形.
活动：画一个矩形,度量它的四条边长、两条对角线长以及四个角的度数，你能从中得出矩形特殊的性质吗
利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察.
矩形
性质1 矩形的四个角都是直角.
性质2 矩形的对角线相等.
已知:如图,矩形 ABCD.
求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
B
C
D
A
证明：由定义知矩形必有一个角是直角，
不妨设∠A =90°
∵ AB ∥DC, AD∥BC
∴ ∠A +∠D=80°，∠D+∠C=180°，∠C+∠B=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴ ∠B=∠C=∠D = 90°
因此,矩形 ABCD 的四个角都是直角.
如图,在Rt△ABC中，∠ABC=90°，用边AB，BC构造矩形ABCD(即作CD∥AB，AD∥BC)设矩形ABCD 的对角线AC和BD交于点O,则
A
B
C
D
O
AO=OC=BO=OD=BD=AC.
推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A
B
C
O
符号语言：
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AO=CO，
∴OB = AC.
依据：矩形的对角线相等且互相平分.
性质的应用：
证明线段的倍、分、相等关系.
性质的逆命题：
“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判定一个三角形为直角三角形.（只可以在选择题或填空题中直接应用）.
例1 如图,矩形 ABCD 的对角线AC和BD交于点O，∠AOB=120°，AD=4cm.求矩形ABCD对角线的长.
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC=BD, OA=AC, OB=BD,∠DAB=90°
∴ OA =OB.
∵ ∠AOB =120°
∴ ∠OAB=∠OBA== 30°
∵ 在Rt△ABD中∠OBA=30°AD=4cm.
∴ AC=BD=2AD=2×4=8(cm).
∴ 矩形 ABCD 对角线的长为8cm.
1.矩形有但一般平行四边形没有的性质是 ( )
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相平分
A
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为( )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
C
3.如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC的延长线上，DE∥AC，△DBE是等腰三角形吗？试说明理由.
B
C
D
A
E
解：△DBE是等腰三角形.
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CE，AC=BD.
∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE，∴BD=DE，
∴△DBE是等腰三角形.
矩形
性质：
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
推论：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

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