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19.3.1 矩形
课时1 矩形的性质
第 十 九 章 四 边 形
01
理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
02
探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
03
掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
思考：长方形与我们前面学行四边形有什么关系呢？
利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
矩形
一个角是直角
平行四边形
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形（长方形）.
矩形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是矩形.
探究：因为矩形是一种特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质. 但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？可以从边、角、对角线等方面来考虑.
问题：测量课本的四条边长度、四个角的度数和对角线的长度，并记录测量的结果. 根据测量的结果，你有什么猜想？
猜想1：矩形的四个角都是直角.
猜想2：矩形的对角线相等.
能证明这些猜想吗？
如图，四边形ABCD是矩形，∠B=90°.
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明：∵矩形 ABCD 是平行四边形.
∴∠B=∠D，∠C=∠A，AB // DC.
∴∠B+∠C=180°.
又∵∠B=90°，∴∠C=90°.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
猜想1：矩形的四个角都是直角.
如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O.
求证：AC=DB.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC，∠ABC = ∠DCB = 90°.
在△ABC和△DCB中
∵AB=DC，∠ABC = ∠DCB ，BC = CB，
∴△ABC △DCB（SAS），∴AC = DB.
猜想2：矩形的对角线相等.
A
B
C
D
O
矩形的特殊性质：
性质1：矩形的四个角都是直角.
性质2：矩形的对角线相等.
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB.
A
B
C
D
O
例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 O，∠AOB = 120°，AD = 4 cm .求矩形 ABCD 对角线的长.
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∵ 在Rt △ABD 中，∠ OBA = 30°，AD = 4 cm，
∴ AC = BD = 2AD = 2×4 = 8(cm).
∴ 矩形 ABCD 对角线的长为 8 cm.
∵∠AOB =120°， ∴ ∠OAB =∠OBA = = 30°.
A
B
C
D
O
∴ OA = OB.
∴ AC = BD，OA = AC，OB = BD，∠DAB = 90°.
思考：如图,在Rt△ABC中，∠ABC=90°，用边AB，BC构造矩形ABCD(即作CD∥AB，AD∥BC)，设矩形ABCD 的对角线AC和BD交于点O,那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么数量关系？
A
B
C
O
D
BO是Rt△ABC中斜边AC上的中线
猜想：BO = AC
如何去证明呢？
如图，矩形ABCD 的对角线AC和BD交于点O.
求证：BO = AC.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC = BD(矩形的对角线相等)，
∵BO= DO=BD，AO=CO=AC
(矩形的对角线相互平分)，
∴BO=AC.
A
B
C
O
D
直角三角形的性质
C
B
A
O
符号语言：
在Rt△ABC中，
∵∠ABC＝90°，OA＝OC，
∴BO＝ AC．
(或 OB=OA=OC或 AC=2OB)
推论 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°，若AC＝4，BC＝8，则DF的长是________．
6
1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于 点 O，下列说法错误的是（　　）
A．AB∥DC B．AC = BD
C．AC⊥BD D．OA = OB
A
B
C
D
O
C
2.如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE=BC，连接CE，若AB=3，AE=4，则CE的长为（ 　）
A．1 B．5 C．2 D．
D
3. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE // AC，交DC的延长线于点E. 求证：BD=BE.
解：∵ AC，BD 是矩形 ABCD 的对角线，
∴AC = BD，AB // DE.
∴AC=BE.
又∵ BE // AC
∴四边形 ABEC是平行四边形.
∴BD=BE.
证明:∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC=∠DCB=∠CDA=∠BAD=90°，AB=DC，
∴ ∠ABE=∠DCF=90°，
在△ABE和△DCF中，
AB=DC，∠ABE=∠DCF，BE=CF，
∴ △ABE△DCF(SAS)；
4.如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE=CF，连接AE、DF．
求证：(1)△ABE△DCF；
证明:∵ △ABE△DCF，
∴ ∠BAE=∠CDF，
又∵ ∠CDA=∠BAD=90°，
∴ ∠BAE+∠BAD=∠CDF+∠CDA，
∴ ∠EAD=∠FDA．
4.如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE=CF，连接AE、DF．
求证：(2)∠EAD=∠FDA．
矩形
定义
特殊性质
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
①四个角都是直角；
②对角线相等；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

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