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19.3.1 矩形
课时2 矩形的判定
第 十 九 章 四 边 形
01
经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理.
02
能够应用矩形的判定定理解决简单的证明题和计算题.
张师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在张师傅带了两种工具(卷尺和量角器)，他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，为什么呢？
接下来，本节课我们一起探讨矩形的判定吧！
类比平行四边形的定义是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.
定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
你还能想到其他的判定方法吗？如何研究呢？
类比平行四边形的判定定理，我们可以研究矩形的性质的逆命题是否成立.
思考1：我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形.
如何证明这个猜想呢？
已知：在 ABCD中，AC=BD，
求证：四边形ABCD是矩形.
猜想1：对角线相等的平行四边形是矩形.
D
C
B
A
证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD =BC, AD // BC.
在△ADC和△BCD中，
∵ ∴ △ADC ≌ △BCD.
∴ ∠ADC =∠BCD.
又∵ ∠ADC +∠BCD =180°∴ ∠ADC=∠BCD=90°
∴ □ABCD为矩形.
矩形的判定定理1：
符号语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
且 AC = BD.
∴四边形 ABCD 是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
D
C
B
A
例1 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 D 是 AC 的中点，直线 AE // BC，过点 D 作直线 EF // AB，分别交 AE，BC 于点 E，F. 求证：四边形 AECF 是矩形.
A
B
C
E
D
F
1
2
证明 ∵AE // BC,∴ ∠1=∠2.
在△ADE和△CDF中
∴ △ADE ≌ △CDF.∴ AE=CF
∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
∵ AE ∥BC,EF∥AB
∴ 四边形 ABFE 是平行四边形.∴ EF=AB.
又∵ AC =AB,∴ EF =AC.
∴ 四边形 AECF 是矩形.
思考2：我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题是什么？成立吗？至少有几个角是直角的四边形是矩形？
逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形.成立.
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜想2：有三个角是直角的四边形是矩形.
如何证明这个猜想呢？
猜想2：有三个角是直角的四边形是矩形.
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，
∴AD∥ BC，AB∥ CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
矩形的判定定理2：
符号语言：
在四边形ABCD中，
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形 ABCD 是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
A
B
C
D
依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ）
B
1.下列结论正确的是 (　 　)
　A．对角线相等的四边形是矩形
　B．对角线互相平分的四边形是矩形
　C．对角线相互垂直且平分的四边形是矩形
　D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点P是边AB上任意一点，过点P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为点D，E，连接DE，则DE的最小值是 .
3.如图，△ABC中，点D，E，F分别是△ABC各边中点，连接BD，
DF，DE，CF，BD＝CD.求证：四边形BEDF是矩形．
证明：∵点D，E，F分别是△ABC各边中点，
∴DE，DF是△ABC的中位线．
∴DE∥AB，DF∥BC.
∴四边形BEDF是平行四边形．
∵BD＝CD，点E是BC的中点，
∴DE⊥BC，∴∠BED＝90°.
∴四边形BEDF是矩形．
证明：∵点O为AB的中点，∴OA=OB，
∵AE∥BC，∴∠EAO=∠OBD，∠AEO=∠BDO，
∴△AEO△BDO(AAS)，∴AE=BD，
∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形.
∵ AB=AC，点D是BC边上的中点，
∴ AD⊥BC即∠ADB=90°，
∴ 四边形AEBD是矩形.
4.如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，BE．若AB=AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明．
矩形的判定
有一个角是直角的平行四边形
有三个角是直角的四边形
对角线相等的平行四边形

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