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第19章 四边形
19.3.1 课时2 矩形的判定
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理；
2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
矩形
边：对边平行且相等.
角：四个角都是直角.
对角线：对角线相等且互相平分.
回顾 我们在研究平行四边形的判定时，用了什么判定方法？
定义法、性质定理的逆命题.
类比平行四边形的判定，如何研究矩形的判定？
思考1 我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的四边形是矩形吗？
已知:如图,在□ABCD中，AC=BD.
求证:□ABCD 是矩形.
D
C
B
A
证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴ AD =BC, AD // BC.
在△ADC和△BCD中， ∵
∴ △ADC ≌ △BCD.
∴ ∠ADC =∠BCD.
又∵ ∠ADC +∠BCD =180°
∴ ∠ADC=∠BCD=90°
∴ □ABCD为矩形.
D
C
B
A
定理1 对角线相等的平行四边形是矩形.
符号语言：
如图，在□ ABCD中，
∵AC=BD,
∴ □ ABCD是矩形.
D
C
B
A
工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等. 你知道其中的道理吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
例2 已知:如图,在△ABC中，AB=AC,点D是AC的中点，直线AE∥BC,点D是AC的中点，直线AE∥BC,，过点D作直线EF∥AB，分别交AE，BC于点E,F.
求证:四边形 AECF是矩形.
证明 ∵AE // BC,
∴ ∠1=∠2.
在△ADE和△CDF中
∴ △ADE ≌ △CDF.
∴ AE=CF
∴ 四边形 AECF 是平行四边形.
∵ AE ∥BC,EF∥AB
∴ 四边形 ABFE 是平行四边形。
∴ EF=AB.
又∵ AC =AB,
∴ EF =AC.
∴ 四边形 AECF 是矩形.
例3 已知:如图,在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°
求证:四边形 ABCD 是矩形、
证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴ ∠B+∠C=180°，∠A+∠B=180°
∴ AB ∥CD，AD ∥BC.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形
又∵ ∠A=90°
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
定理2 三个角是直角的四边形是矩形.
符号语言：
在四边形ABCD中，
∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴四边形ABCD是矩形
D
C
B
A
1. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( )
A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是不是90°
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等
C
证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D，且∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
证明：如图所示，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
3.如图，在△ABC中，AB=AC. D，E分别是线段BC，AD的中点，
过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.
求证：四边形ADCF是矩形.
证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE.
∵E是线段AD的中点，∴AE=DE.
又∵∠AEF=∠DEB，∴△BDE≌△FAE(AAS)，∴AF=BD.
∵D是线段BC的中点，∴BD=CD，∴AF=CD.
又∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，∴平行四边形ADCF是矩形.
B
C
D
A
F
E
矩形的判定
定理1 对角线相等的平行四边形是矩形.
定理2 三个角是直角的四边形是矩形.

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