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19.3.2 菱形
课时1 菱形的性质
第 十 九 章 四 边 形
01
了解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
02
探索并证明菱形的性质定理.
03
应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题．
平行四边形
有一个角是直角
矩形
前面已经研究了角满足特殊条件的平行四边形——矩形.
我们再来看边满足特殊条件的平行四边形，它叫什么呢？
平行四边形
一组邻边相等
？
观察图中的平行四边形，它们有什么共同的特点？
它们的邻边相等.
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
平行四边形
一组邻边相等
菱形
活动：(1)拿出准备好的矩形纸片，对折两次，折出一个直角，剪一刀，得到一个直角三角形，将它展开得到一个四边形，这就是菱形. 你知道其中的道理吗？
(2)在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手中的图形，并回答以下问题:
问题1：菱形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
A
D
C
B
问题2：根据折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系 菱形的两条对角线有什么关系
猜想1:菱形的四条边都相等.
猜想2:菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
如何证明？
猜想1：菱形的四条边都相等.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
求证：AB = BC = CD =AD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，AD = BC. (平行四边形的对边相等)
又∵AB=AD，(菱形的一组邻边相等)
∴AB = BC = CD =AD.
∴菱形的四条边都相等.
A
B
C
O
D
猜想2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
求证：BD⊥AC,∠DAC=∠BAC= ∠ACD=∠ACB；∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB.
证明：∵AB = AD，∴△ABD是等腰三角形.
在等腰三角形ABD中，
∵OB = OD，(平行四边形的对角线互相平分)
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. (等腰三角形三线合一)
同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
∴菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
A
B
C
O
D
菱形的特殊性质：
性质1：菱形的四条边都相等.
性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
几何语言：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC ⊥ BD，AC 平分∠BAD，CA 平分∠BCD，BD 平分∠ABC，DB 平分∠ADC.
A
B
C
O
D
如图,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD相交于点 O,E是CD的中点,则OE的长是( )
A.2.5 B.3 C.4 D.5
A
思考：由于菱形的对角线互相垂直，可以发现，菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形. 菱形的面积计算除了像平行四边形那样利用底×高，是否可以转化成三角形来求呢？
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC= AC·BO + AC·DO
= AC(BO+DO) = AC·BD=ab.
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
A
B
C
O
D
问题：某菱形的两条对角线长分别为a，b，求该菱形的面积.
例1 菱形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的长度分别为 4 cm， 3 cm，如图所示，求菱形 ABCD 的面积和周长.
因此，菱形 ABCD 的周长为2.5×4＝10 (cm).
解：菱形 ABCD 的面积
在 Rt△ABO 中，
由勾股定理得
1.如图，在菱形ABCD中，下列结论错误的是 (　　)
A．BO＝DO
B．∠DAC＝∠BAC
C．AC⊥BD
D．AO＝DO
D
2.如图，菱形ABCD的对角线AC在x轴上，BD交x轴于点E，已知A(1，0)，D(3，5)，则点B，C的坐标分别是(　　)
A．(5，－3)，(5，0)
B．(3，－5)，(4，0)
C．(3，－5)，(5，0)
D．(－3，5)，(4，0)
C
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC.
∵AE＝CF，∴BE＝BF.
又∵∠B＝∠B，∴△ABF≌△CBE，∴AF＝CE.
3.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF．求证：AF＝CE．
4.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证∠AFD=∠CBE．
A
D
C
B
F
E
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD， CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．
又CE=CE，
∴△BCE△DCE（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.
∴∠AFD=∠CBE．
菱形
定义
特殊性质
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
①四条边都相等；
②对角线互相垂直平，且每一条对角线平分一组对角；
③是轴对称图形，对称轴有两条，为对角线所在的直线.
菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半

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