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19.3.2 菱形
课时2 菱形的判定
第 十 九 章 四 边 形
01
经历菱形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握菱形的判定定理.
02
能熟练运用菱形的判定定理解决简单的证明和计算问题.
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
性质
两组对边平行，四条边都相等.
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
定义判定
菱形的定义是什么？有哪些性质？
除了菱形的定义，还有其他的判定方法吗
两组对角相等，邻角互补.
思考1：已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？
A
C
B
根据上述作法你有什么猜想？并加以证明.
如图，分别以A，C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，
两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD是菱形.
D
猜想1：四条边相等的四边形是菱形.
猜想1：四条边相等的四边形是菱形.
证明：∵AB=CD，BC=DA，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
已知：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
求证：四边形ABCD是菱形.
菱形的判定定理1：
四条边相等的四边形是菱形.
符号语言：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形.
如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点. 求证：四边形EFGH是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD．
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG．
∴△AHE△BFE△CFG△DHG(SAS)，
∴HE=FE=FG=HG，
∴四边形EFGH是菱形．
思考2：用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形.转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？
如何证明这个猜想呢？
猜想2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
猜想2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且BD⊥AC.
求证：□ABCD是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴OA = OC .
∵AC ⊥ BD，∴BO垂直平分 AC，
∴AB = CB，
∴□ABCD 是菱形.
A
B
C
O
D
菱形的判定定理2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
O
D
例1 如图，在 □ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC = 8，BD = 6，AB = 5，求 AD 的长.
解 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = AC = 4，OB = BD = 3.
又∵ AB = 5，
∴ AB2 = OA2 + OB2，
∴ △AOB 为直角三角形，即 OA⊥OB.
∴ □ABCD 是菱形.
∴ AD = AB = 5.
A
D
C
O
B
1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ ）
A.当AB=BC时，它是菱形
B.当AC⊥BD时，它是菱形
C.当∠ABC=90°时，它是矩形
D.当AC=BD时，它是菱形
A
B
C
O
D
D
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，则四边形ADCE的周长为 .
20　
3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且BE＝BF，连接CE，CF. 求证：四边形BECF是菱形.
证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BE＝CE，BF＝CF.
∵BE＝BF，∴BE＝CE＝BF＝CF，
∴四边形BECF是菱形.
解：这是一个菱形.理由如下：
4.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和6 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.
B
C
D
A
O
AO=CO= AC=6，BO=DO= BD=3 .
在△ABO中，
S菱形ABCD= AC · BD=36.
∵AO2+BO2=(3)2+62=81，AB2=92=81，
∴△ABO是直角三角形，
∴AC⊥BD，∴ □ ABCD是菱形.
菱形的判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形. (定义法)
定理1 四条边相等的四边形是菱形.
定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

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