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第19章 四边形
19.3.2 课时2 菱形的判定
1.经历菱形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握菱形的判定定理；
2.能应用菱形的判定解决简单的证明题和计算题.
菱形的定义是什么？
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形有哪些性质？
菱形
边：两组对边平行，四条边都相等；
角：两组对角分别相等，邻角互补；
对角线：两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
除了此方法，还有没有其他判定方法呢？
思考 同样地，菱形是四条边相等的四边形. 反过来四条边相等的四边形是菱形吗？
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
O
D
证明：∵AB=BC=CD=AD，
∴AB=CD，BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
菱形的判定定理1：
四边相等的四边形是菱形.
符号语言：
如图，在□ABCD中，
∵AB=BC=CD=AD，
∴□ABCD是菱形.
B
A
D
O
C
思考 我们知道，菱形是对角线互相垂直的平行四边形. 反过来对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
已知：如图，在□ABCD中，AC⊥BD于点O .
求证：□ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO.
又∵DO⊥AC，
∵DA=DC.
∴□ABCD为菱形.
A
D
C
O
B
定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
B
A
D
O
C
符号语言：
如图，在□ABCD中，
∵AC⊥BD，
∴□ABCD是菱形.
例5 如图,在□ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=8，BD=6.AB=5,
求AD的长.
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA=AC=4, OB= BD=3.
又∵AB =5,
∴ AB2=OA2+OB2
∴ △AOB 为直角三角形,即 OA⊥OB.
∴ □ABCD 是菱形.
∴ AD = AB =5.
A
D
C
O
B
1.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）
A.AB=BC B.AC=BC
C.∠B=60° D.∠ACB=60°
B
2.如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
解：是一个菱形.
理由：∵这是两张对边平行的纸条，
∴重合的四边形两组对边分别平行，
∴重合的四边形是平行四边形.
又两张纸条等宽，∴AB=BC，
∴四边形ABCD是一个菱形.
3.如图，把等腰三角形ABC绕它的底边的中点O旋转180度，得到三角形CDA，试问:四边形ABCD是菱形吗？为什么？
A
B
C
D
O
解:四边形ABCD是菱形，
理由如下.
由旋转知，AB=CD,BC=DA
又∵AB=BC
∴AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形.
4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O且互相垂直平分，求证：四边形ABCD是菱形.
A
D
C
O
B
证明：∵BD垂直平分AC，
∴DA=DC，BA=BC.
∵AC垂直平分BD，
∴AD=AB，CD=CB，
∴AD=AB=BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形.
菱形的判定
定理1 四边相等的四边形是菱形.
定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

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