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第19章 四边形
19.3.3 正方形
1.理解正方形的概念；
2.探索并证明正方形的性质定理，理解平行四边形、矩形、菱形之间的包含关系，体会平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系与区别；
3.会运用正方形的性质定理进行证明和计算.
边的变化：
平行四边形
菱形
一组邻边相等
角的变化：
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是由平行四边形怎样变化得到？
菱形是由平行四边形怎样变化得到？
思考 正方形是我们所熟悉的图形,你认为正方形是本节所学的哪种图形的特例,为什么
正方形
正方形怎么得到呢？
有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形.
平行四边形
正方形
有一组邻边相等
有一个角是直角
正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
探究 从正方形的边、角、对角线和它的轴对称性出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论.
边：对边__________，四条边__________.
角：四个角都是__________.
对角线：对角线_ ____________________，每条对角线平分一组对角.
对称性：正方形是轴对称图形，有___条对称轴.
平行
相等
直角
互相垂直平分且相等
四
性质1 正方形的四条边相等,四个角都是直角.
性质2 正方形的对角线相等、互相垂直平分,并且每一条对角线
平分一组对角.
思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？
四边形的包含关系：
平行四边形、梯形是特殊的四边形，
矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，
其中正方形是特殊的矩形、菱形.
与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比
类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形
边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角
对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直
对称性 共性 轴对称图形 特性 2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
有一个内角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形.
例6 已知:如图,点A'，B'，C'，D'分别是正方形ABCD四条边上的点,
并且AA'=BB'=CC'=DD'.
求证:四边形 A'B'C'D'是正方形.
证明 ∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB =BC =CD =DA，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
又∵ AA'= BB' =CC' = DD'，
∴ D'A =A'B =B'C =C'D.
∴ Rt△AA'D' Rt△BB'A'.∴ D'A' =A'B'，∠1=∠3.
同理: A'B'= B'C'，B'C’= C'D',C'D'= D'A'.
∴ A'B' = B'C' = C'D' = D'A'.∴ 四边形 A'B'C'D'是菱形.
∵ ∠1=∠3，∠1+∠2=90°，∴ ∠2+∠3=90°.
∴ ∠D'A'B'=90°.∴ 四边形 A'B'C'D'是正方形.
1.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，
则∠EBC的度数是_______.
22.5°
2.如图，一块正方形场地的四个顶点分别是A,B,C,D.李明和张华在边AB上取了一点E，EC=30m，EB=10m，这块场地的面积和对角线长分别是多少？
A
D
B
C
E
解：在Rt△BEC中，
BC= ==20(m)，
故场地的面积为BC2=800 m2.
对角线长为= =40 (m).
所以这块场地的面积为800m2，对角线长为40m.
3.如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是A,B, C,D.要修建BE和AF两条路，使点E，F分别在边AD，CD上，且DE=CF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
A
D
B
C
E
F
A
D
B
C
E
F
P
解：这两条路等长，即AF=BE，且AF⊥BE.
理由如下：设AF与BE交于点P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADF=90°.
又DE=CF，∴AE=DF,
∴△ABE≌△DAF(SAS)，
∴BE=AF，∠AEB=∠DFA，
∴∠DAF+∠AEB=∠DAF+∠DFA=90°，
∴∠APE=90°，即AF⊥BE.
正方形
定义：
有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形.
性质：
1.正方形的四条边相等,四个角都是直角.
2.正方形的对角线相等、互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.

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