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19.3.3 正方形
第 十 九 章 四 边 形
01
会应用正方形的性质和判定解决相关证明及计算问题.
02
探索并证明正方形的性质和判定.
03
理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.
观察下列生活中的物品，你会发现里面都有正方形的形象．
正方形是我们熟悉的图形，回忆下小学学过的正方形，它有什么性质？
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
矩形
一组邻边相等
正方形
菱形
正方形
一个角是直角
符号语言：
∵平行四边形ABCD中，
AB=BC，∠A=90 ，
∴四边形ABCD是正方形.
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
A
B
D
C
平行四边形
正方形
有一组邻边相等
有一个角是直角
正方形的概念：
探究1 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 从正方形的边、角、对角线和对称性出发，试写出正方形的性质，并对其进行证明.
正方形 性质
边
角
对角线
对称性
对边平行，四条边都相等
四个角都是直角
对角线相等且互相垂直平分，
并且每一条对角线平分一组对角.
是轴对称图形，有4条对称轴
已知：如图，四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°，AB=BC （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形（矩形的定义），正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°，AB=BC=CD=AD.
猜想1：正方形的四个角都是直角,四条边相等.
已知：如图，四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.
求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵正方形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO.
∵正方形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
猜想2：正方形的对角线相等且互相垂直平分.
猜想3：正方形是轴对称图形.
活动证明：将一张正方形的纸对折、再对折、再对折，然后打开，观察虚线.
①
②
③
容易发现，正方形是轴对称图形，共有四条对称轴，对称轴是两条对角线所在的直线，过对边中点的两条直线.
④
思考 正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学交流讨论.
平行四边形、梯形是特殊的四边形，
矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，
正方形是特殊的矩形、菱形.
如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个便得到正方形．
a.两组对边分别相等；
b.一组对边平行且相等；
c.一组邻边相等；
d.一个角是直角．
顺次添加的条件：①a→c→d；②a→b→c；③b→d→c．
则正确的添加顺序是(　　)
A．仅① B．①② C．①③ D．②③
C
探究2 准备一张矩形的纸片，按照下图方式折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形.
正方形
猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO.
又∵AC⊥DB，∴AB=BC.
∴四边形ABCD是正方形.
探究3 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，看看是不是正方形.
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
菱形
一个角是直角
对角线相等
正方形
已知：如图，在菱形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD， AC⊥DB.
∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO，
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形.
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=45°+45°=90°，
∴四边形ABCD是正方形.
猜想：对角线相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
正方形判定的几条途径：
先判定菱形
先判定矩形
平行四边形
正方形
①一组邻边相等且有一个直角
②对角线相等且垂直
正方形
①有一个直角；②对角线相等
矩形条件(二选一)
正方形
①一组邻边相等；②对角线垂直
菱形条件(二选一)
+
+
证明 ∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB =BC =CD =DA.
∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
又∵ AA'= BB' =CC' = DD'，
∴ D'A =A'B =B'C =C'D.
∴ Rt△AA'D' Rt△BB'A'.
∴ D'A' =A'B'，∠1=∠3.
例1 如图，已知点 A'，B'，C'，D' 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA'＝BB'＝CC'＝DD'.求证：四边形 A'B'C'D' 是正方形.
1
2
3
同理: A'B'= B'C'，B'C’= C'D',C'D'= D'A'.
∴ A'B' = B'C' = C'D' = D'A'.
∴ 四边形 A'B'C'D'是菱形.
∵ ∠1=∠3，∠1+∠2=90°,
∴ ∠2+∠3=90°,
∴ ∠D'A'B'=90°.
∴ 四边形 A'B'C'D'是正方形.
1
2
3
1.已知正方形的对角线长为 ，则这个正方形的面积为( )
A
A.1 B. C.2 D.
2.如图，在正方形 的外侧，作等边三角形，则 的度数是( )
A. B. C. D.
C
3.如图是用尺规过点P作直线l的垂线的两种方法，对图中虚线段组成的四边形，下列说法正确的是(　　)
A．若a＝b，则方法1中的四边形为正方形
B．若a⊥b，则方法1中的四边形为矩形
C．若m＝n，则方法2中的四边形为菱形
D．若m⊥n，则方法2中的四边形为正方形
C
4.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE＝AC，连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD， ∠BCD＝∠DCE＝90°．
∴∠ACB＝45°．
∵CE＝AC， ∠CAE＋∠E＝∠ACB，
∴∠E＝22.5°，
∴∠AFC＝∠DCE＋∠E＝90°＋22.5°＝112.5°．
A
B
D
C
E
F
5.如图，点E在正方形ABCD的边BC上,∠AEF=90°且AE=EF,过点F作FM⊥BC，垂足为M．
（1）求证：BE=CM；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，∴∠BAE+∠BEA=90°．
∵∠AEF=90°，∴∠BEA+∠FEM=90°，
∴∠BAE=∠FEM．
在△ABE与△EMF中，∠B=∠M=90°，∠BAE=∠FEM，AE=EF，
∴△ABE△EMF(AAS)，∴AB=EM．
∴BC=EM，∴BC－EC=EM－EC，即BE=CM．
（2）延长CD至点N，使得DN=BE，连接AN，FN. 求证：四边形AEFN是正方形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，AB=AD．
∵DN=BE，∴△ABE△ADN(SAS)，
∴AE=AN，∠BAE=∠DAN．
∵AE=EF，∴EF=AN．
∵∠EAN=∠DAN+∠EAD=∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，
∴∠EAN+∠AEF=180°，∴AN∥EF，
∴四边形AEFN是平行四边形．
∵AE=EF，∴四边形AEFN是菱形．
∵∠AEF=90°，∴四边形AEFN是正方形．
正方形
性质
有一组邻边相等，而且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
定义
正方形的四个角都是直角,四条边相等.
正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形是轴对称图形，有四条对称轴
任意
四边形
平行
四边形
正方形
矩形
菱形
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角且一组邻边相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定

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