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第十章
静电场中的能量
课时3　电势差与电场强度的关系
核心 目标 1．理解匀强电场中电势差与电场强度的定量关系及其物理意义，理解电场强度与电势无关，知道其单位为“伏每米”．
2．知道等分原理，理解匀强电场中UAB＝Ed的两个推论，能求解电场强度．
目标导学 各个击破
对关系式E＝的理解
E＝表明了电场强度与电势差的关系．
(1) 大小关系：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．
(2) 方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向．
(3) 物理意义：电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间位置变化的快慢，但不能由E＝说E与d成反比
考向
1
　　　在水深超过200 m的深海，光线极少，能见度极低，有一种电鳗具有特殊的适应性，能通过自身发出的生物电获取食物、威胁敌害、保护自己．若该电鳗的头尾相当于两个电极，它在海水中产生的电场强度达到104 N/C，可击昏敌害，则身长50 cm的电鳗，在放电时产生的瞬间电压约为 (　　)
A．50 V　　　　 B．500 V
C．5 000 V　　　　 D．50 000 V
1
解析：根据电势差与电场强度的关系U＝Ed，解得U＝Ed＝104×0.5 V＝5 000 V，故C正确．
C
　　　如图所示，在直角△ABC中，BC＝4 cm，∠C＝30°，匀强电场的电场线平行于△ABC所在平面，A、B、C点的电势分别为4 V、－2 V、4 V.下列说法中正确的是 (　　)
A．电场强度的方向沿AB方向
B．电场强度的方向沿AC方向
C．电场强度的大小为150 V/m
D．一个电子从A点移动到C点，电场力做功为0
解析：A点和C点电势相等，故AC为一条等势线，又电场线与等势线垂直，所以电场方向垂直于AC，且指向B，A、B错误；电场强度的大小为E＝×102 V/m＝300 V/m，C错误；在等势线上移动电荷时电场力不做功，所以电子从A点移动到C点时，电场力做功为0，D正确．
D
2
电势差的三种求法
1．运用定义式UAB＝φA－φB求解．
2．运用关系式UAB＝求解．
3．运用关系式UAB＝Ed(匀强电场)求解．
注意：应用公式E＝及UAB＝Ed时，都要先判断UAB的正负：若UAB>0，公式适用；若UAB<0，则E＝，UAB＝－Ed.
等分法、两个推论及电场强度的求解
1．用“等分法”求电势
(1) 在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落(或升高)都是均匀的，故在同一直线上间距相同的两点间电势差相等．如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，采用这种等分间距求电势的方法，叫作等分法．
(2) 若已知电场中某几点的电势，要求其他点的电势时，一般采用“等分法”在电场中找与待求点的电势相同的等势点．等分法也常用在画电场线的问题中．
2．确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势面(线)，然后根据电场线与等势面(线)垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面(线)指向电势低的等势面(线)．
考向
2
　　　如图所示，边长为4 cm的菱形abcd位于匀强电场中，菱形平面与电场强度方向平行，∠abc为60°.已知点a、b、d的电势分别为φa＝2 V，φb＝－2 V，φd＝10 V，则 (　　)
A．c点的电势为φc＝－10 V
B．bc边中点的电势为0
C．匀强电场的场强方向由a指向b
D．匀强电场的场强大小为200 V/m
3
D
解析：因φa－φb＝φd－φc，可得φc＝6 V，A错误；bc边中点f的电势为φf＝＝2 V，故B错误；因af电势相等，则af为等势面，场强方向垂直af，方向由c指向b，C错误；匀强电场的场强大小为E＝V/m＝200 V/m，D正确．
　　　(多选)如图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点．在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是 (　　)
解析：根据匀强电场的特点可知，H、F点的电势分别为φH＝4 V，φF＝3 V，G点的电势φG＝V＝4 V，则φH＝φG，由于等势面与电场线垂直，因此电场线垂直GH，A错误，B正确；又由于φC＝φF＝3 V，因此电场线与CF垂直，C正确，D错误．
BC
4
UAB＝Ed的两个推论
1．在匀强电场中，沿任意一个方向，电势变化都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等．如图甲所示，对任一线段AB的中点C的电势均满足φC＝.
2．在匀强电场中，相互平行且长度相等的线段
两端点的电势差相等．如图乙所示，若AB∥CD且
AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)．
随堂内化 即时巩固
1．如图所示，在某电场中画出了四条电场线，C、D两点是A、B连线的三等分点．已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝0，则 (　　)
A．C点的电势φC＝20 V B．C点的电势φC<20 V
C．C点的电势φC>20 V D．无法判断C点的电势
解析：越靠近A点电场线越密集，可知AC之间的平均场强大于AB之间的平均场强，因UAB＝>UAB＝10 V，可得30 V－φC>10 V，即φC<20 V，故B正确．
B
2．(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V．下列说法中正确的是 (　　　)
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的电势能低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
ABD
解析：如图所示，设a、c之间d点的电势与b点相同，则，解得d点的坐标为(3.5 cm，6 cm)，则直线bd为等势线，过c点作bd的垂线，交点为f，由几何知识可得cf的长度为3.6 cm，则电场强度的大小E＝ V/cm
＝2.5 V/cm，A正确；因为ac＝Ob且ac∥Ob，所以有Uac＝UOb，
解得坐标原点O处的电势为1 V，B正确；a点电势比b点电势低，
电子在a点的电势能比在b点的电势能高，C错误；电子从b点运
动到c点，电场力做功为(26－17)eV＝9 eV，D正确．课时3　电势差与电场强度的关系
1. 如图所示，匀强电场场强E＝100 V/m，A、B两点相距10 cm，A、B连线与电场线的夹角为60°，则UAB的值为(　　)
A. －10 V B. 10 V
C. 5 V D. 5 V
2. 如图所示，正方形ABCD处在一个匀强电场中，电场线与正方形所在平面平行.已知A、B、C三点的电势依次为φA＝6.0 V，φB＝4.0 V，φC＝2.0 V，则下列说法中正确的是(　　)
A. D点的电势φD＝0 V
B. D点的电势φD＝2 V
C. 电场线的方向与AC的连线垂直
D. 电场线的方向与BD的连线垂直
3. 如图所示，在平面直角坐标系中有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则该电场的电场强度(　　)
A. 方向垂直x轴
B. 大小为100 V/m
C. 大小为100 V/m
D. 方向垂直AB连线
4. 如图所示，A、B、C三点在匀强电场中，AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm，把一个电荷量q＝1×10－5C的正电荷从A点移到B点，电场力不做功；从B点移到C点，电场力做功为－×10－3 J，则该匀强电场的场强大小和方向是(　　)
A. 866 V/m，垂直AC向上
B. 866 V/m，垂直AC向下
C. 866 V/m，垂直AB斜向上
D. 1 000 V/m，垂直AB斜向下
5. (多选)如图所示是某种高压电干燥装置的电场分布图，电极O和大导体板分别接在高压电源两极，两极间产生强电场，图中实线为电场线、虚线为等势面，电场中a、b、c三点在同一条电场线上，且长度ab＝bc，下列关系正确的有(　　)
A. a、b、c三点的电势关系为φa>φb>φc
B. a、b、c三点的场强关系为EaC. ab、bc间的电势差关系为Uab＝Ubc
D. 带负电粒子在a、b、c三点的电势能关系为Epa6. 如图所示，两平行带电金属板相距为d，两极板间有A、B、C三点，AC连线平行于两极板，BC连线垂直于两极板.AB间距为dAB，BC间距为dBC，AC间距为.已知两极板间的电场可视为匀强电场，且电场强度大小为E，则下列说法中正确的是(　　)
A. A、B两点间电势差为EdAB
B. B、C两点间电势差为EdBC
C. A、C两点间电势差为
D. 两极板间的电势差为
7. 煤气灶打火装置的原理是尖端放电，打火时放电端与灶体间的电场线如图所示，其中a、b、c为同一直线电场线上的三点，cd垂直电场线abc，已知ab＝bc.下列说法中正确的是(　　)
A. 放电端O接电源的负极
B. d点和c点的电势一样高
C. a点的电场强度比d点的电场强度小
D. ab间的电势差等于bc间的电势差
8. (多选)如图所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1 V、2 V、3 V，正六边形所在平面与电场线平行.下列说法中正确的是(　　)
A. 通过CD和AF的直线应为电场中的两条等势线
B. 匀强电场的电场强度大小为10 V/m
C. 匀强电场的场强方向为由C指向A
D. 将一个电子由E点移到D点，电子的电势能将减少1.6×10－19 J
9. (多选)如图所示，一匀强电场方向与直角三角形ACD平面平行，∠CDA＝90°，∠CAD＝53°，AC边长度为15 cm，过D点作AC的垂线垂足为E，A、C、D三点的电势分别为27 V、－10.5 V和13.5 V.cos 53°＝0.6，由以上信息可以得出(　　)
A. E点的电势为10.5 V
B. 匀强电场的方向由A指向C
C. 匀强电场的大小为250 V/m
D. 把一电子从C点移到E点，电场力做的功为21 eV
10. (多选)如图所示的坐标系xOy平面内有一匀强电场，虚线与横坐标轴围成一矩形，其坐标值已标出.已知a点电势为7 V，c点电势为3 V，d点电势为1 V.下列说法中正确的是(　　)
A. e点电势为5 V
B. 电场强度大小为25 V/m
C. 匀强电场的方向由a指向b
D. 电子在b点的电势能比O点少2 eV
11. 如图所示，在竖直平面内存在匀强电场，其电场线如图中实线所示，方向未知，将带电荷量为q＝－1.0×10－6 C的点电荷由A点沿水平线移至B点，其电势能增加了3×10－5 J，已知A、B两点间的距离为2 cm，两点连线与电场线成60°角.
(1) 求A、B两点间的电势差.
(2) 若A点的电势φA＝－1 V，求B点的电势φB.
(3) 求匀强电场场强E的大小，并判断其方向.
课时3　电势差与电场强度的关系
1. C　解析：根据匀强电场电势差与场强的关系得UAB＝EdAB，dAB＝AB·cos 60°，联立可得UAB＝5 V，C正确.
2. D　解析：匀强电场中同一方向上相同距离的两点间电势差绝对值相等，所以φA－φB＝φD－φC，解得φD＝4 V，即BD连线为等势线，电场线的方向与BD的连线垂直，A、B、C错误，D正确.
3. C　解析：坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，则OA中点C的电势为φC＝＝ V＝3 V＝φB，则BC连线为等势面，场强方向与等势面垂直，可知场强方向垂直BC斜向下，如图所示，A、D错误；场强大小E＝＝ V/m＝100 V/m，B错误，C正确.
4. D　解析：把正电荷从A点移到B点，电场力不做功，可知AB为一条等势线，则电场强度方向一定垂直于AB.B、C两点间的电势差为UBC＝＝－×102 V，C点到AB的距离为d＝sin 60°＝10 cm，该匀强电场的场强大小E＝＝1 000 V/m，因为B点电势比C点电势低，所以电场强度方向垂直于AB斜向下，D正确.
5. AD　解析：沿电场线电势逐渐降低，可知a、b、c三点的电势关系为φa>φb>φc，A正确；电场线越密集，场强越大，可知a、b、c三点的场强关系为Ea>Eb>Ec，B错误；根据U＝Ed，因ab间的平均场强大于cd间的平均场强，可知ab、bc间的电势差关系为Uab>Ubc，C正确；因为φa>φb>φc，负电荷在高电势点的电势能较小，可知带负电粒子在a、b、c三点的电势能关系为Epa6. B　解析：在匀强电场中，可根据U＝Ed求出两点之间的电势差大小，但要指出的是，d为两点之间距离沿电场方向的投影，并非两点之间的直线距离，则A、B两点间的电势差为EdCB，B、C两点间的电势差为EdBC，A错误，B正确；A、C两点处于同一等势线上，电势差为0，C错误；根据U＝Ed可知，两极板间的电势差为Ed，D错误.
7. A　解析：由电场线的分布可知，放电端O应接电源的负极，A正确；等势线与电场线垂直，过c、d两点作出等势线，如图所示，电场线由高等势面指向低等势面，所以d点的电势比c点的电势高，B错误；又电场线的疏密程度反应电场强度的大小，电场线越密集，电场强度越大，所以a点的电场强度大于d点的电场强度，C错误；由电场线的分布情况可知，ab段的平均电场强度要大于bc段的电场强度，根据U＝Ed定性分析可得，ab间的电势差大于bc间的电势差，D错误.
8. ACD　解析：连接AC，AC中点的电势为2 V，由正六边形对称性，则EB、AF、CD均为电场中的等势线，A正确；匀强电场的场强大小E＝＝＝＝ V/m，B错误；电场线方向与EB垂直，即为C→A，C正确；ED与AB平行，则ED的电势差为－1 V，将一个电子由E点移到D点，电场力做正功，电子的电势能减少ΔEp＝eUED＝1.6×10－19 J，D正确.
9. BC　解析：三角形ACD中，根据几何关系可得xAD＝15 cm×cos 53°＝9 cm，xAE＝9 cm×cos 53°＝5.4 cm，xEC＝15 cm－5.4 cm＝9.6 cm，根据匀强电场的特点有UAE＝×5.4 cm＝13.5 V，而UAE＝φA－φE，解得φE＝13.5 V，故D、E两点电势相等，DE为等势线，可得电场强度的方向沿AC方向，且由A→C，故A错误，B正确；匀强电场的大小为E＝＝250 V/m，故C正确；把一电子从C点移到E点，电场力做的功为W＝－e·(φC－φE)＝24 eV，故D错误.
10. AD　解析：由于ae与cd平行且相等，由匀强电场的特点可知φa－φe＝φc－φd，解得φe＝5V，A正确；b是ac连线中点，则b点的电势为φb＝＝5V＝φe，则be连线所在的直线为一个等势面，设连接eb、aO交于f点，四边形abOe为正方形，则aO⊥eb，可知aO为匀强电场的一条电场线，方向由a指向O，则Uaf＝φa－φb＝2V，由几何关系知af＝＝cm＝4cm，则匀强电场的电场强度大小E＝＝25V/m，B、C错误；O为ed的中点，则O点电势为φO＝＝3V，电子在O点的电势能为EpO＝－eφO＝－3eV，电子在b点的电势能为Epb＝－eφb＝－5 eV，由Epb－EpO＝－2 eV可知，电子在b点的电势能比O点少2 eV，D正确.
11. (1) 30 V　(2) －31 V　(3) 3 000 V/m，沿电场线指向左下方
解析：(1) 由题意可知，静电力做负功WAB＝－3×10－5 J
由UAB＝，得UAB＝30 V
(2) UAB＝φA－φB
则φB＝φA－UAB＝－31 V
(3) A、B两点沿电场线方向的距离为
d＝2×10－2cos 60°m＝1×10－2 m
则E＝＝3 000 V/m
方向：沿电场线指向左下方.课时3　电势差与电场强度的关系
核心 目标 1．理解匀强电场中电势差与电场强度的定量关系及其物理意义，理解电场强度与电势无关，知道其单位为“伏每米”．
2．知道等分原理，理解匀强电场中UAB＝Ed的两个推论，能求解电场强度．
考向1　对关系式E＝的理解
E＝表明了电场强度与电势差的关系．
(1) 大小关系：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．
(2) 方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向．
(3) 物理意义：电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间位置变化的快慢，但不能由E＝说E与d成反比
　在水深超过200 m的深海，光线极少，能见度极低，有一种电鳗具有特殊的适应性，能通过自身发出的生物电获取食物、威胁敌害、保护自己．若该电鳗的头尾相当于两个电极，它在海水中产生的电场强度达到104 N/C，可击昏敌害，则身长50 cm的电鳗，在放电时产生的瞬间电压约为(　C　)
A．50 V　　　　 B．500 V
C．5 000 V　　　　 D．50 000 V
解析：根据电势差与电场强度的关系U＝Ed，解得U＝Ed＝104×0.5 V＝5 000 V，故C正确．
　如图所示，在直角△ABC中，BC＝4 cm，∠C＝30°，匀强电场的电场线平行于△ABC所在平面，A、B、C点的电势分别为4 V、－2 V、4 V.下列说法中正确的是(　D　)
A．电场强度的方向沿AB方向
B．电场强度的方向沿AC方向
C．电场强度的大小为150 V/m
D．一个电子从A点移动到C点，电场力做功为0
解析：A点和C点电势相等，故AC为一条等势线，又电场线与等势线垂直，所以电场方向垂直于AC，且指向B，A、B错误；电场强度的大小为E＝×102 V/m＝300 V/m，C错误；在等势线上移动电荷时电场力不做功，所以电子从A点移动到C点时，电场力做功为0，D正确．
电势差的三种求法
1．运用定义式UAB＝φA－φB求解．
2．运用关系式UAB＝求解．
3．运用关系式UAB＝Ed(匀强电场)求解．
注意：应用公式E＝及UAB＝Ed时，都要先判断UAB的正负：若UAB>0，公式适用；若UAB<0，则E＝，UAB＝－Ed.
考向2　等分法、两个推论及电场强度的求解
1．用“等分法”求电势
(1) 在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落(或升高)都是均匀的，故在同一直线上间距相同的两点间电势差相等．如果把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的，采用这种等分间距求电势的方法，叫作等分法．
(2) 若已知电场中某几点的电势，要求其他点的电势时，一般采用“等分法”在电场中找与待求点的电势相同的等势点．等分法也常用在画电场线的问题中．
2．确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势面(线)，然后根据电场线与等势面(线)垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面(线)指向电势低的等势面(线)．
　如图所示，边长为4 cm的菱形abcd位于匀强电场中，菱形平面与电场强度方向平行，∠abc为60°.已知点a、b、d的电势分别为φa＝2 V，φb＝－2 V，φd＝10 V，则(　D　)
A．c点的电势为φc＝－10 V
B．bc边中点的电势为0
C．匀强电场的场强方向由a指向b
D．匀强电场的场强大小为200 V/m
解析：因φa－φb＝φd－φc，可得φc＝6 V，A错误；bc边中点f的电势为φf＝＝2 V，故B错误；因af电势相等，则af为等势面，场强方向垂直af，方向由c指向b，C错误；匀强电场的场强大小为E＝V/m＝200 V/m，D正确．
　(多选)如图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点．在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是(　BC　)
A B
C D
解析：根据匀强电场的特点可知，H、F点的电势分别为φH＝4 V，φF＝3 V，G点的电势φG＝V＝4 V，则φH＝φG，由于等势面与电场线垂直，因此电场线垂直GH，A错误，B正确；又由于φC＝φF＝3 V，因此电场线与CF垂直，C正确，D错误．
UAB＝Ed的两个推论
1．在匀强电场中，沿任意一个方向，电势变化都是均匀的，故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等．如图甲所示，对任一线段AB的中点C的电势均满足φC＝.
　　
2．在匀强电场中，相互平行且长度相等的线段两端点的电势差相等．如图乙所示，若AB∥CD且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)．
1．如图所示，在某电场中画出了四条电场线，C、D两点是A、B连线的三等分点．已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝0，则(　B　)
A．C点的电势φC＝20 V
B．C点的电势φC<20 V
C．C点的电势φC>20 V
D．无法判断C点的电势
解析：越靠近A点电场线越密集，可知AC之间的平均场强大于AB之间的平均场强，因UAB＝>UAB＝10 V，可得30 V－φC>10 V，即φC<20 V，故B正确．
2．(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V．下列说法中正确的是(　ABD　)
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子在a点的电势能比在b点的电势能低7 eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
解析：如图所示，设a、c之间d点的电势与b点相同，则，解得d点的坐标为(3.5 cm，6 cm)，则直线bd为等势线，过c点作bd的垂线，交点为f，由几何知识可得cf的长度为3.6 cm，则电场强度的大小E＝ V/cm＝2.5 V/cm，A正确；因为ac＝Ob且ac∥Ob，所以有Uac＝UOb，解得坐标原点O处的电势为1 V，B正确；a点电势比b点电势低，电子在a点的电势能比在b点的电势能高，C错误；电子从b点运动到c点，电场力做功为(26－17)eV＝9 eV，D正确．

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