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第十章
静电场中的能量
微专题2　带电粒子在交变电场中的运动及等效重力场问题
核心 目标 1．学会分析带电粒子在交变电场中的直线和曲线运动问题．
2．学会利用“等效法”解决带电粒子在电场和重力场中圆周运动的临界问题．
深度拓展 分类悟法
带电粒子在交变电场中的运动
1．此类题型一般有三种情况
(1) 粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解)．
(2) 粒子做往返运动(一般分段研究)．
(3) 粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究)．
2．分析时从两条思路出发
(1) 力和运动的关系．根据牛顿第二定律及运动学规律分析．
(2) 功能关系．
题型
1
3．注意：在交变电场作用下粒子所受的电场力发生改变，从而影响粒子的运动性质；由于电场力周期性变化，粒子的运动性质也具有周期性；研究带电粒子在交变电场中的运动需要分段研究，并辅以v-t图像，要特别注意带电粒子进入交变电场的时刻及交变电场的周期．
　　　(多选)如图甲所示，平行金属板中央有一个静止的电子(不计重力)，两极板间距离足够大．当两极板间加上如图乙所示的交变电压后，下列选项中，反映电子速度v、位移x和加速度a三个物理量随时间t的变化规律可能正确的是 (　　)
1
BC
解析：分析电子一个周期内的运动情况：0～时间内，电子从静止开始向B板做匀加速直线运动，～时间内沿原方向做匀减速直线运动，时刻速度为0.时间内向A板做匀加速直线运动，～T时间内做匀减速直线运动，T时刻速度为0.接着周而复始．电子做匀变速直线运动的x-t图像应是抛物线，A错误；根据匀变速运动速度图像是倾斜的直线可知，B图符合电子的运动情况，B正确，D错误；根据电子的运动情况：匀加速运动和匀减速运动交替产生，而匀变速运动的加速度大小不变，a-t图像应平行于横轴，C正确．
　　　如图甲所示，α粒子射线管由平行于x轴的平行金属板A、B组成，A、B板长度和极板间距均为L，A、B板中间有平行于x轴的绝缘细管C，开口在y轴上．粒子源P放置在A极板左下端，可以沿特定方向发射α粒子．当A、B板加上某一电压时，α粒子刚好能以速度v水平进入细管C，保持速度不变，再进入静电分析器中做匀速圆周运动．已知静电分析器中电场线的方向均沿半径方向指向圆心O，α粒子在静电分析器中运动的轨迹半径为L.之后α粒子垂直x轴进入第四象限(此时对应图乙t＝0时刻)，施加如图乙所示沿x轴方向
的交变电场．规定沿x轴正方向
为电场正方向．已知α粒子电荷
量大小为q、质量为m，重力不计．
求：
2
(1) 静电分析器中的场强大小E0.
答案：(1) 　
解析：(1) 在静电分析器中，由牛顿第二定律有qE0＝m
可得E0＝
(2) α粒子从粒子源P发射时的初速度大小．
答案：(2) v　
解析：(2) 由题意可知，α粒子的运动可以认为是反方向的类平抛运动，设运动时间为t，则有
水平方向有L＝vt
竖直方向有·t
则初速度大小v0＝
解得v0＝v
(3) 当t＝T时，α粒子的坐标．
答案：(3) (L，－vT)
解析：(3) α粒子进入第四象限沿y轴方向做匀速直线运动，沿x轴方向，第一个内做匀加速直线运动，第二个内做匀减速直线运动，第三个内做反向匀加速直线运动，第四个内再做匀减速直线运动．由运动的对称性可知α粒子在x轴上一个周期内的位移为0，在－y方向上α粒子做匀速直线运动，故t＝T时，α粒子的纵坐标为y＝－vT在t＝T时，α粒子的坐标为(L，－vT)
突破带电粒子在交变电场中运动问题的策略
1．要抓住带电粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件．
2．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过极板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动．
U-t 图
轨迹 图
vy-t 图
解决电场(复合场)中的圆周运动问题，应分析向心力的来源，向心力的来源有可能是重力和静电力的合力，也有可能是单独的静电力．有时可以把复合场中的圆周运动等效为竖直平面内的圆周运动，找出等效“最高点”和“最低点”．
用等效法解此类题的关键在于正确得出等效重力场，然后再对比正常重力场下小球做圆周运动的规律，找出等效“最高点”和“最低点”．
带电体在电场(复合场)中的圆周运动
题型
2
　　　半径为R的光滑绝缘圆形轨道固定在竖直平面内，O为圆轨道圆心，A点和C点为圆周的最高点和最低点，B点与D点的连线过圆心O且∠DOC＝45°.空间存在一与圆形轨道平面平行的匀强电场，一质量为m.电荷量为q的带正电小球(可视为质点)恰好能静止于D点处，此时小球对轨道的压力为重力的倍，已知重力加速度为g.
(1) 求匀强电场的电场强度E的大小和方向．
答案：(1) ，水平向左　
3
解析：(1) 小球在D点的受力如图所示
由平衡条件可得F＝qE＝mg
故电场强度大小为E＝，方向水平向左
(2) 若该小球从D点运动到C点，则该过程中小球的电势能变化量ΔEp是多少？
答案：(2) mgR　
解析：(2) 从D点到C点，电场力做功为
W＝－qER sin 45°＝－mgR
则小球的电势能变化量为ΔEp＝mgR
(3) 现给位于D点的小球以垂直OD方向的初速度v0，要使小球能做完整的圆周运动且不脱离圆轨道，则小球初速度v0至少为多大？
答案：(3)
解析：(3) 电场力qE与重力mg的合力为mg，且与水平方向成45°.
若小球恰好能做完整的圆周运动，此时的v0最小，则在B点有
从D点运动到B点，由动能定理得－
解得v0＝
等效重力场问题的解题策略
1．先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个等效重力，将a＝视为等效重力加速度．
2．再将物体在重力场中的
运动规律迁移到等效重力场中分
析求解即可．
随堂内化 即时巩固
1．(多选)如图甲所示，M、N为正对竖直放置的平行金属板，A、B为两极板中线上的两点．当M、N板间不加电压时，一带电小球从A点由静止释放经时间T到达B点，此时速度为v.若两极板间加上如图乙所示的交变电压，t＝0时，将带电小球仍从A点由静止释放，小球运动过程中始终未接触极板，则t＝T时，小球 (　　)
A．在B点上方　　　　
B．恰好到达B点
C．速度大于v　　　　
D．速度等于v
BD
解析：0～T时间内由静止释放该小球在竖直方向上依然做自由落体运动；假设小球带正电，0～在水平方向上向右加速运动，～向右减速运动到0，再反向向左做加速运动，～T再向左做减速运动，因加速和减速的加速度大小相等，则合运动又回到B点，此时水平速度仍为0，则小球到达B点的速度仍为v，B、D正确，A、C错误．
2．如图所示，光滑绝缘轨道由水平段AB和圆形轨道BCD组成，B在圆心正下方，轨道上的C、D两点与圆心等高，圆轨道半径为R.整个装置处在水平向右的匀强电场中，电场强度大小为E＝.现将一小球从A点由静止释放．已知小球质量为m.电荷量为q，且带正电，重力加速度为g，不计空气阻力．
(1) 若AB＝2R，求小球运动到C点时对轨道的
压力大小．
答案：(1) 5mg　
解析：(1) 小球从A点到C点由动能定理有
qE·3R－mgR＝
在C点由牛顿第二定律有NC－qE＝m
解得NC＝5mg
由牛顿第三定律可知，小球运动到C点时对轨道的压力大小为5mg
(2) 若小球能沿圆轨道运动到D点，则AB间的距离至少为多大？
答案：(2) R
解析：(2) 如图所示
重力和电场力的合力即等效重力大小为
G′＝mg
方向与竖直方向成45°斜向右下方．等效最高点O′在CD半圆的左侧圆弧的中点，小球只要能过O′点，就一定能过D点．在等效最高点等效重力G′指向圆心O，小球刚好通过O′点时，有
设AB的距离为x，小球从A点到O′的过程，由动能定理得－mgR(1＋sin 45°)＋qE(x－Rsin 45°)＝－0
解得x＝R微专题2　带电粒子在交变电场中的运动及等效重力场问题
1. 如图所示，在竖直向上的匀强电场中，一根不可伸长的轻质绝缘细绳一端系着一个带电小球，另一端固定于O点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高点为a，最低点为b.若不计空气阻力，则(　　)
A. 小球带负电
B. 小球所受电场力与重力的大小相等
C. 小球在从a点运动到b点的过程中，电势能减小
D. 在运动过程中小球的机械能守恒
2. 如图所示，在水平向右的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳一端固定在O点，另一端拴一个质量为m、带电荷量为q的小球.把细绳拉到竖直状态，小球从最低点A由静止释放后沿圆弧运动，当细绳刚好水平时，小球到达位置B且速度恰好为0.已知重力加速度为g，若不计空气阻力，则(　　)
A. 小球最终将静止在B点
B. 小球运动到B点时，细绳的拉力为0
C. 匀强电场的场强大小为
D. 在此过程中，小球的电势能一直增加
3. 如图所示，绝缘光滑半圆形轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强为E.在与圆心等高处放有一质量为m、带电荷量为＋q的小球，由静止开始沿轨道运动.下列说法中正确的是(　　)
A. 小球在运动过程中机械能守恒
B. 小球经过环的最低点时速度最大
C. 小球经过环的最低点时对轨道压力为mg＋Eq
D. 小球经过环的最低点时对轨道压力为3(mg－qE)
4. (多选)某电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示.当t＝0时，在该电场中由静止释放一个带电粒子，设带电粒子只受电场力作用，则下列说法中正确的是(　　)
A. 带电粒子将始终向同一个方向运动
B. 带电粒子在0~3 s内的初、末位置间的电势差为0
C. 2 s末带电粒子回到原出发点
D. 在0~2 s内，电场力所做的总功不为0
5. (多选)如图甲所示，两平行金属板MN、PQ的极板长和极板间的距离相等，大小为d，极板间存在如图乙所示的随时间周期性变化的电场，电场方向与两极板垂直.在t＝0时刻，一不计重力的带电粒子沿极板间的中线垂直电场方向射入电场，粒子射入电场时的速度为v0，t＝T时刻粒子刚好沿MN板右边缘射出电场，则(　　)
甲
乙
A. 该粒子射出电场时的速度方向一定是垂直电场方向的
B. 在t＝时刻，该粒子的速度大小为v0
C. 若该粒子在时刻以速度v0进入电场，则两极板间的最大偏移量为
D. 若该粒子的入射速度变为2v0，则该粒子将打在金属板MN上
6. 如图所示，竖直平面内有一水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E＝1×102 V/m，其中有一个半径为R＝2 m的竖直光滑圆环，现有一质量为m＝0.08 kg、电荷量为q＝6×10－3 C的带正电小球(可视为质点)在最低点A点，给小球一个初动能，让其恰能在圆环内做完整的圆周运动，不考虑小球运动过程中电荷量的变化.已知cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2.求：
(1) 小球所受电场力与重力的合力F.
(2) 小球在A点的初动能Ek.
7. (多选)如图甲所示，A、B是一对平行的金属板，在两极板间加上一周期为T的交变电压UBA，UBA随时间t的变化规律如图乙所示.现有一电子从A极板上的小孔进入两极板间的电场区域，设电子的初速度和重力可忽略.则(　　)
甲
乙
A. 若电子是在t＝0时刻进入的，它将一直向B极板运动
B. 若电子是在t＝时刻进入的，它可能时而向B极板运动，时而向A极板运动，最后打在B极板上
C. 若电子是在t＝T时刻进入的，它可能时而向B极板运动，时而向A极板运动，最后打在B极板上
D. 若电子是在t＝时刻进入的，它可能时而向B极板运动，时而向A极板运动
8. (多选)如图所示，在竖直平面内有水平向右、场强为E＝1×104 N/C的匀强电场.在匀强电场中有一根长L＝2 m的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系一质量为0.08 kg的带电小球，它静止时悬线与竖直方向成37°角，若小球获得初速度恰能绕O点在竖直平面内做完整的圆周运动，取小球在静止时的位置为电势能零点和重力势能零点，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2.下列说法中正确的是(　　)
A. 小球的电荷量q＝3×10－5 C
B. 小球动能的最小值为1 J
C. 小球在运动至圆周轨迹上的最高点时有机械能的最小值
D. 小球绕O点在竖直平面内做圆周运动的电势能和机械能之和保持不变，且为5 J
9. 如图甲所示，真空中的电极能连续不断均匀地放出初速度为零、质量为m、电荷量为q的粒子，经加速电场加速，由小孔穿出，沿两个彼此绝缘且靠近的水平金属板A、B间的中线平行于极板射入偏转电场，A、B两板距离为d，A、B板长为L，A、B两板间加周期为T的变化电场，UAB如图乙所示，已知U0＝，能从偏转电场板间飞出的粒子在偏转电场中运动的时间也为T.忽略极板边缘处电场的影响，不计粒子的重力以及粒子之间的相互作用，粒子打到极板上后即消失.
(1) 求加速电场中的U1.
(2) 若t＝时刻粒子进入偏转电场两极板之间，粒子能否飞出极板？如果能，那么粒子的偏移量y是多少？如果不能，那么粒子在偏转电场里平行于极板方向的位移x是多少？
(3) 若发射时间足够长，求能够从两极板间飞出的粒子占总入射粒子数的百分率.
甲
乙
微专题2　带电粒子在交变电场中的运动及等效重力场问题
1. B　解析：小球在竖直平面内做匀速圆周运动，由合外力提供向心力，小球受到重力、电场力和细绳的拉力作用，电场力应与重力平衡，即小球所受电场力与重力等大、反向，则知小球带正电，A错误，B正确；小球在从a点运动到b点的过程中，电场力做负功，小球的电势能增大，C错误；由于电场力做功，所以小球在运动过程中机械能不守恒，D错误.
2. C　解析：小球在B点时，受到竖直向下的重力、水平向右的电场力和水平向左的拉力，合力不为0，不可能静止在B点，A错误；小球做圆周运动，其在B点的速度为0，向心力为0，T＝qE，B错误；小球从A点到B点，由动能定理可得－mgL＋qEL＝0，E＝，C正确；小球从A点到B点的过程中，电场力做正功，电势能减小，D错误.
3. B　解析：小球在运动过程中电场力做功改变机械能，所以小球机械能不守恒，A错误；小球在下滑过程中电场力和重力做正功，小球速度变大，到达最低点时速度最大，之后上滑过程中电场力和重力做负功，小球速度减小，B正确；小球从静止下滑到轨道最低点，根据动能定理有mgR＋qER＝mv2，在最低点有N－mg－qE＝m，解得N＝3(mg＋qE)，根据牛顿第三定律可知小球经过环的最低点时对轨道的压力为3(mg＋qE)，C、D错误.
4. BD　解析：带电粒子在第1 s内做匀加速直线运动，在第2 s内先匀减速后反向匀加速，所以不是始终向同一方向运动，A错误；带电粒子在第1 s内做匀加速直线运动，位移为x1＝＝a，1 s末的速度为v1＝at1＝a，在第2 s内加速度大小是之前的2倍，方向与之前相反，第2 s内的位移为x2＝v1t2－×2a＝a－a＝0，第2 s末的速度为v2＝v1－2at2＝－a，则2 s末带电粒子仍处于1 s末的位置，第3 s内的加速度与第1 s内相同，有x3＝v2t3＋＝－a＋a＝－a，则带电粒子在这3 s内的总位移为x＝x1＋x2＋x3＝0，即带电粒子在3 s末回到出发点，则电场力做功为0，电势能变化为0，电势差为0，B正确；根据对B选项的分析可知，3 s末带电粒子回到原出发点，C错误；带电粒子在2 s末速度不为0，所以电场力的总功不为0，D正确.
5. AB　解析：粒子射入电场在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上前半个周期内先做匀加速直线运动，电场力做正功，在后半个周期内做匀减速直线运动，电场力做负功，竖直速度又减小为0，故从MN边缘离开电场时速度是水平方向的，A正确；在时刻，粒子在水平方向上的分速度为v0，因为两平行金属板MN、PQ的极板长和极板间距离相等，则有d＝v0T，d＝·，则t＝时刻v'y＝v0，根据平行四边形定则可知，粒子的速度为v＝＝＝v0，B正确；当该粒子在时刻以速度v0进入电场，则此时粒子在竖直方向上的电场力作用下，先做匀加速，再匀减速，接着再匀加速和匀减速后回到中线位置，t＝0时刻＝a··2，t＝时刻y'＝a··2，解得两极板间最大偏移量为y'＝，C错误；若该粒子的入射速度变为2v0，则此时粒子通过金属板的时间为t＝，则在电场力不变的情况下，根据粒子运动的对称性可知，粒子偏转的位移为，D错误.
6. (1) 1 N，方向与竖直方向的夹角为37°斜向右下方　(2) 4.6 J
解析：(1) 因为重力与电场力均为恒力，所以二者的合力大小为F＝＝mg＝1 N
方向与竖直方向的夹角为θ，有tan θ＝＝
可得合力与竖直方向的夹角为θ＝37°斜向右下方.
(2) 小球恰能在圆环内做完整的圆周运动，则在其等效最高点，有F＝m
小球从等效最高点至A点的过程中，由动能定理有
F(R＋Rcos θ)＝Ek－mv2
联立求得小球在A点的初动能Ek＝4.6 J.
7. AB　解析：根据电子进入电场后的受力情况和运动情况，作出如图所示的图像.
甲
乙
丙
丁
由图丁可知，当电子在t＝0时刻进入电场时，电子一直向B极板运动，A正确；若电子在时刻进入电场，则由图丁知，电子向B极板运动的位移大于向A极板运动的位移，因此最后仍能打在B极板上，B正确；若电子在时刻进入电场，则由图丁知，在第一个周期电子即返回至A极板，C错误；若电子在时刻进入电场，则它一靠近小孔便受到排斥力，根本不能进入电场，D错误.
8. BD　解析：小球静止时受到重力、电场力和绳子的拉力，根据受力平衡可得，电场力F＝qE＝mgtan θ，则小球的电荷量q＝＝6×10－5 C，故A错误；在静止时的合力反向延长线与轨迹的交点为动能的最小位置.此时合力可以看成等效重力，即F向＝＝，可得小球动能的最小值＝··L＝1 J，故B正确；除了重力只有电场力做功改变小球的机械能，所以机械能的最小值的位置是圆轨道的最左边，故C错误；小球绕O点在竖直平面内做圆周运动的电势能和机械能之和保持不变，大小为小球获得的初动能，由动能定理可知E＝＋·2L＝5 J，故D正确.
9. (1) 　(2) 不能，L　(3) 50%
解析：(1) 粒子在加速电场中有qU1＝
粒子在偏转电场中有L＝v0T
联立解得v0＝，U1＝
(2) t＝时刻进入偏转电场的粒子在至T时间内做类平抛运动，有 q＝ma，y1＝
联立解得a＝，y1＝
因y1<，粒子在t＝T时还未打到极板上，此时
vy＝a
假设粒子能飞出极板.粒子在T至时间内做匀速直线运动y2＝vy
解得vy＝，y2＝
故粒子的偏移量为y＝y1＋y2＝d
因y>，假设不成立，粒子不能飞出极板.
设粒子在t1时刻打到极板上，则有＝y1＋vy(t1－T)
又x＝v0
解得x＝L
(3) 电场周期性变化，现研究第一个周期内哪个时间段进入偏转电场的粒子能够从两极板间飞出.
设粒子在时刻t∈进入偏转电场，如果粒子运动时间T后的偏移量y＝＋vyt
随t增大，y增大，当y＝时，解得t＝
设粒子在时刻t∈进入偏转电场，如果粒子运动时间T后的偏移量y＝＋a(T－t)
随t增大，y减小，当y＝时，解得t＝T
所以在第一个周期内，当0≤t<和Tk＝×100%＝50%微专题2　带电粒子在交变电场中的运动及等效重力场问题
核心 目标 1．学会分析带电粒子在交变电场中的直线和曲线运动问题．
2．学会利用“等效法”解决带电粒子在电场和重力场中圆周运动的临界问题．
题型1　带电粒子在交变电场中的运动
1．此类题型一般有三种情况
(1) 粒子做单向直线运动(一般用牛顿运动定律求解)．
(2) 粒子做往返运动(一般分段研究)．
(3) 粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究)．
2．分析时从两条思路出发
(1) 力和运动的关系．根据牛顿第二定律及运动学规律分析．
(2) 功能关系．
3．注意：在交变电场作用下粒子所受的电场力发生改变，从而影响粒子的运动性质；由于电场力周期性变化，粒子的运动性质也具有周期性；研究带电粒子在交变电场中的运动需要分段研究，并辅以v-t图像，要特别注意带电粒子进入交变电场的时刻及交变电场的周期．
　(多选)如图甲所示，平行金属板中央有一个静止的电子(不计重力)，两极板间距离足够大．当两极板间加上如图乙所示的交变电压后，下列选项中，反映电子速度v、位移x和加速度a三个物理量随时间t的变化规律可能正确的是(　BC　)
甲 乙
A B
C D
解析：分析电子一个周期内的运动情况：0～时间内，电子从静止开始向B板做匀加速直线运动，～时间内沿原方向做匀减速直线运动，时刻速度为0.时间内向A板做匀加速直线运动，～T时间内做匀减速直线运动，T时刻速度为0.接着周而复始．电子做匀变速直线运动的x-t图像应是抛物线，A错误；根据匀变速运动速度图像是倾斜的直线可知，B图符合电子的运动情况，B正确，D错误；根据电子的运动情况：匀加速运动和匀减速运动交替产生，而匀变速运动的加速度大小不变，a-t图像应平行于横轴，C正确．
　如图甲所示，α粒子射线管由平行于x轴的平行金属板A、B组成，A、B板长度和极板间距均为L，A、B板中间有平行于x轴的绝缘细管C，开口在y轴上．粒子源P放置在A极板左下端，可以沿特定方向发射α粒子．当A、B板加上某一电压时，α粒子刚好能以速度v水平进入细管C，保持速度不变，再进入静电分析器中做匀速圆周运动．已知静电分析器中电场线的方向均沿半径方向指向圆心O，α粒子在静电分析器中运动的轨迹半径为L.之后α粒子垂直x轴进入第四象限(此时对应图乙t＝0时刻)，施加如图乙所示沿x轴方向的交变电场．规定沿x轴正方向为电场正方向．已知α粒子电荷量大小为q、质量为m，重力不计．求：
甲 乙
(1) 静电分析器中的场强大小E0.
(2) α粒子从粒子源P发射时的初速度大小．
(3) 当t＝T时，α粒子的坐标．
答案：(1) 　(2) v　(3) (L，－vT)
解析：(1) 在静电分析器中，由牛顿第二定律有qE0＝m
可得E0＝
(2) 由题意可知，α粒子的运动可以认为是反方向的类平抛运动，设运动时间为t，则有
水平方向有L＝vt
竖直方向有·t
则初速度大小v0＝
解得v0＝v
(3) α粒子进入第四象限沿y轴方向做匀速直线运动，沿x轴方向，第一个内做匀加速直线运动，第二个内做匀减速直线运动，第三个内做反向匀加速直线运动，第四个内再做匀减速直线运动．由运动的对称性可知α粒子在x轴上一个周期内的位移为0，在－y方向上α粒子做匀速直线运动，故t＝T时，α粒子的纵坐标为y＝－vT在t＝T时，α粒子的坐标为(L，－vT)
突破带电粒子在交变电场中运动问题的策略
1．要抓住带电粒子运动时间上的周期性和空间上的对称性，求解粒子运动过程中的速度、位移、做功或确定与物理过程相关的临界条件．
2．对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过极板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动．
U-t 图
轨迹 图
vy-t 图
题型2　带电体在电场(复合场)中的圆周运动
解决电场(复合场)中的圆周运动问题，应分析向心力的来源，向心力的来源有可能是重力和静电力的合力，也有可能是单独的静电力．有时可以把复合场中的圆周运动等效为竖直平面内的圆周运动，找出等效“最高点”和“最低点”．
用等效法解此类题的关键在于正确得出等效重力场，然后再对比正常重力场下小球做圆周运动的规律，找出等效“最高点”和“最低点”．
　半径为R的光滑绝缘圆形轨道固定在竖直平面内，O为圆轨道圆心，A点和C点为圆周的最高点和最低点，B点与D点的连线过圆心O且∠DOC＝45°.空间存在一与圆形轨道平面平行的匀强电场，一质量为m.电荷量为q的带正电小球(可视为质点)恰好能静止于D点处，此时小球对轨道的压力为重力的倍，已知重力加速度为g.
(1) 求匀强电场的电场强度E的大小和方向．
(2) 若该小球从D点运动到C点，则该过程中小球的电势能变化量ΔEp是多少？
(3) 现给位于D点的小球以垂直OD方向的初速度v0，要使小球能做完整的圆周运动且不脱离圆轨道，则小球初速度v0至少为多大？
答案：(1) ，水平向左　(2) mgR　(3)
解析：(1) 小球在D点的受力如图所示
由平衡条件可得F＝qE＝mg
故电场强度大小为E＝，方向水平向左
(2) 从D点到C点，电场力做功为
W＝－qER sin 45°＝－mgR
则小球的电势能变化量为ΔEp＝mgR
(3) 电场力qE与重力mg的合力为mg，且与水平方向成45°.
若小球恰好能做完整的圆周运动，此时的v0最小，则在B点有
从D点运动到B点，由动能定理得
－
解得v0＝
等效重力场问题的解题策略
1．先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个等效重力，将a＝视为等效重力加速度．
2．再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可．
1．(多选)如图甲所示，M、N为正对竖直放置的平行金属板，A、B为两极板中线上的两点．当M、N板间不加电压时，一带电小球从A点由静止释放经时间T到达B点，此时速度为v.若两极板间加上如图乙所示的交变电压，t＝0时，将带电小球仍从A点由静止释放，小球运动过程中始终未接触极板，则t＝T时，小球(　BD　)
甲 乙
A．在B点上方　　　　 B．恰好到达B点
C．速度大于v　　　　 D．速度等于v
解析：0～T时间内由静止释放该小球在竖直方向上依然做自由落体运动；假设小球带正电，0～在水平方向上向右加速运动，～向右减速运动到0，再反向向左做加速运动，～T再向左做减速运动，因加速和减速的加速度大小相等，则合运动又回到B点，此时水平速度仍为0，则小球到达B点的速度仍为v，B、D正确，A、C错误．
2．如图所示，光滑绝缘轨道由水平段AB和圆形轨道BCD组成，B在圆心正下方，轨道上的C、D两点与圆心等高，圆轨道半径为R.整个装置处在水平向右的匀强电场中，电场强度大小为E＝.现将一小球从A点由静止释放．已知小球质量为m.电荷量为q，且带正电，重力加速度为g，不计空气阻力．
(1) 若AB＝2R，求小球运动到C点时对轨道的压力大小．
(2) 若小球能沿圆轨道运动到D点，则AB间的距离至少为多大？
答案：(1) 5mg　(2) R
解析：(1) 小球从A点到C点由动能定理有
qE·3R－mgR＝
在C点由牛顿第二定律有NC－qE＝m
解得NC＝5mg
由牛顿第三定律可知，小球运动到C点时对轨道的压力大小为5mg
(2) 如图所示
重力和电场力的合力即等效重力大小为
G′＝mg
方向与竖直方向成45°斜向右下方．等效最高点O′在CD半圆的左侧圆弧的中点，小球只要能过O′点，就一定能过D点．在等效最高点等效重力G′指向圆心O，小球刚好通过O′点时，有
设AB的距离为x，小球从A点到O′的过程，由动能定理得－mgR(1＋sin 45°)＋qE(x－Rsin 45°)＝－0
解得x＝R

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