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11.3 课时1
用平方差公式因式分解
第11章 因式分解
掌握平方差公式法因式分解的方法.
能用平方差公式法进行因式分解．
01
02
一般地,如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式化成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法。
1、什么是提公因式法因式分解？
2、如何确定一个多项式的公因式？
1看数字：取多项式每一项中数字因数的最大公约数。
2看字母：取多项式每一项中的相同字母。
3看指数：取多项式每一项中的相同字母的最小指数。
多项式的公因式可以是单项式也可以是多项式。
注意：
3、还记得我们学过的乘法公式吗？
平方差公式 （a-b）=a2-b2
（a+b）
完全平方公式 （a+b）2=a2+2ab+b2
热身训练
将下列各式进行因式分解。
1、12m2n+18mn3
2、-49m2+7mn-7m
3、m2n(a-b)+mn(b-a)2
=6mn(2m+3n2)
=-7m(7m-n+1)
=mn(a-b)(m+a-b)
借助此前所学的平方差公式能进行因式分解吗?
（a-b） = a2-b2
（a+b）
乘法运算
因式分解
观察：
它们都表示两项的差,且每一项都可以写成平方的形式。
=
x2-32
m2-(5n)2
=
多项式 x2-9 和 m2-25n2,它们有什么共同特征?
思考：
怎样将上面两个多项式因式分解?
把平方差公式等号两边互换位置,得a2-b2=(a+b)(a-b)。利用它就可以将上面的式子因式分解。
平方差公式:（a+b） =a2-b2
（a-b）
x2-9=x2-32=(x+3)(x-3);
m2-25n2=m2-(5n)2=(m+5n)(m-5n)。
观察：
=
x2-32
m2-(5n)2
=
多项式 x2-9 和 m2-25n2,它们有什么共同特征?
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积,即
a2-b2=(a+b)(a-b)。
公式法因式分解。
例1 将下列各式因式分解:
(1)4a2-9; (2)16a2-81b2。
解:(1) 4x2-9
=(2x)2-32
=(2x+3)(2x-3)。
(2) 16a2-81b2
=(4a)2-(9b)2
=(4a+9b)(4a-9b)。
思考：多项式满足什么特征时，才能利用平方差公式进行因式分解？
1、多项式表示两项的差。
2、每一项都可以写成平方的形式。
1、小明对下面这道题进行因式分解，他做对了吗？
(1)m2-36n2 =(m+36n)（m-36n）
(2)4x2+49y2 =(2x+7y)(2x-7y)
没有把36n2写成平方的形式！
不是两项的差的形式！
2、将下列各式因式分解
（1）1-9m2
(2) ????2-????24

(3) -16x2+y2
?
=(1+3m)(1-3m)
=y2-16x2=(y+4x)(y-4x)
=????+????2?????????2
?
例2 将下列各式因式分解:
(1)x4-y4; (2)(2a+b)2-(a+2b)2;
解:(1) x4-y4
=(x2)2-(x2)2
=(x2+y2)(x+y)(x-y)。
=(x2+y2)(x2-y2)
(2)(2a+b)2-(a+2b)2
=[(2a+b)+(a+2b)][(2a+b)-(a+2b)]
=(3a+3b)(a-b)
=3(a+b)(a-b)。
注意：
1、体会数学整体思想的运用。
2、所有的因式要分解到不能再继续分解为止。
(3)4a3b-ab。
例2 将下列各式因式分解:
解：4a3b-ab
=ab(4a2-1)
=ab(2a+1)(2a-1)。
方法点拨：
一提，二套，三检验。
1.将下列各式因式分解
（1）1-16m4
(2) (?????2)2-(????+1)29

(3) -3x2+12
(4)x2(m-n)+4(n-m)
?
=(1+4m2) (1+2m)（1-2m）
=3(2+x)(2-x)
=????+????3?53?????????3?73
?
=(m-n)(x+2)(x-2)
2.如图,每个图中先将n2(n≥3,n为正整数)个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,再将右上角的1个小正方形去掉,每个图形中剩下的小正方形能够重新拼成一个长和宽都不等于1的长方形吗? 为什么?
分析：
可以，理由为：
32-1=(3+1)(3-1)=4×2
42-1=(4+1)(4-1)=5×3，......
你这节课有什么收获？
1、公式法因式分解。
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积,即a2-b2=(a+b)(a-b)。
2、能利用平方差公式进行因式分解的多项式需满足的特征：
（1）多项式表示两项的差。
（2）每一项都可以写成平方的形式。
3、方法总结：
一提，二套，三检验。
将下列各式进行因式分解
1、4x2-y2
2、3x2-27y2
3、a2(x-y)+9b2(y-x)
4、(a-2b)2-4a2
5、a3b-ab
6、-81x4+1
=(2x+y)(2x-y)
=3(x+3y)(x-3y)
=(x-y)(a+3b)(a-3b)
=-(3a-2b)(a+2b)
=ab(a+1)(a-1)
=(1+9x2)(1+3x)(1-3x)

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