资源简介

11.3 课时2
用完全平方公式因式分解
第11章 因式分解
掌握完全平方公式法因式分解的方法.
能用完全平方公式法进行因式分解．
01
02
1、什么样的多项式可以利用平方差公式进行因式分解？
（1）多项式表示两项的差.
（2）每一项都可以写成平方的形式.
2、两个数的平方差等于
这两个数的和与这两个数的差的乘积.
3、还记得我们学过的完全平方公式吗？
完全平方公式 （a+b）2=a2+2ab+b2
将下列各式进行因式分解.
1、-(-m)2+9n2
2、(2m+n)2-(m+2n)2
3、32m2-2m4
=(3n+m)(3n-m)
=3(m+n)(m-n)
=2m2(4+m)(4-m)
方法总结：
一提，二套，三检验.
利用平方差公式可以进行因式分解,用完全平方公式能进行因式分解吗?
观察：
观察多项式x2+2x+1和m2-4mn+4n2,它们有什么共同特征?
x2+2x+1
m2-4mn+4n2
=x2 + 2·x·1 + 12
（a+b）2 =a2 + 2ab + b2
=m2 + 2·m·2n+(2n)2
多项式特征：
这两个多项式都是三项,都满足a2+2ab+b2 或a2-2ab+b2 的形式.
=(x+1)2
=(m+2n)2
思考：怎样将上面两个多项式因式分解？
两数的平方和,加上(减去)这两数乘积的2倍,等于这两数和(差)的平方,即a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.
公式法因式分解.
完全平方式
例3 将下列各式因式分解:
(1)x2+10x+25; (2)9a2-6ab+b2.
解:(1)x2+10x+25
=x2+2·x·5+52
=(x+5)2.
(2) 9a2-6ab+b2
=(3a)2-2·3a·b+b2
=(3a-b)2.
思考：多项式满足什么特征时，才能利用完全平方公式进行因式分解？
1、多项式由三项组成.
2、要满足a2±2ab+b2的形式.
将下列各式因式分解
（1）9m2-6m+1
(2) 4????2+2????????+????24

(3) y2-8y+16
?
=(3m-1)2
=(y-4)2
=2????+????22
?
例4 将下列各式因式分解:
(1)3ax2-6axy+3ay2; (2)-x2+4xy-4y2; (3)(2x+y)2-6(2x+y)+9
解:(1) 3ax2-6axy+3ay2
=3a(x2-2xy+y2)
=3a(x-y)2.
(2)-x2+4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
(3)(2x+y)2-6(2x+y)+9
=(2x+y)2-2·(2x+y)·3+32
=[(2x+y)-3]2
=(2x+y-3)2.
注意：
体会数学整体思想的运用.
一提，二套，三检验.
方法总结：
将下列各式因式分解
（1）ax2-10ax+25a
(2) 4xy-4xy2-x

(3) x4-18x2+81
(4)(m2+5)2-12(m2+5)+36
?
=a(x-5)2
=(x+3)2(x-3)2
=-x(2y-1)2
=(m+1)2(m-1)2
你这节课有什么收获？
1、公式法因式分解.
两数的平方和,加上(减去)这两数乘积的2倍,等于这两数和(差)的平方,即a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.
2、能利用平方差公式进行因式分解的多项式需满足的特征：
（1）多项式由三项组成.
（2）要满足a2±2ab+b2的形式.
3、方法总结：
一提，二套，三检验.
1、按照完全平方公式，在括号内填入适当的整式.
（1）m2-14m+( )=( )2
（2）4m2-( )+25=( )2
（3）(m-n)2+12(m-n)+( )=( )2
36
m-7
49
m-n+6
2m-5
10m
2、将下列各式进行因式分解
（1）x3-6x2+9x
（2）(m-n)2+m-n+14
（3）-m4+8m2-16
（4）50n-20n(x-y)+2n(x-y)2
（5）(m2+1)2-4m2
（6）m2(m-1)-4(1-m)2
?
=x(x-3)2
=(m-n+12)2
?
=2n(x-y-5)2
=-(m+2)2(m-2)2
=(m+1)2(m-1)2
=(m-1)(m-2)2
3. 将下列各式因式分解：
(1) x2(x－y)＋y2(y－x)； (2) a5－149a3；
?
解：原式＝x2(x－y)－y2(x－y)
＝(x－y)(x2－y2)
＝(x－y)(x－y)(x＋y)
＝ (x－y)2(x＋y).
解：原式＝ a3(a2－149)
＝ a3(a＋17)(a－17)
?
(3) m2(m－1)－4(1－m)2； (4) (a2＋2a)＋2(a2＋2a)＋1.
解：原式＝m2(m－1)－4(m－1)2
＝(m－1)[m2－4(m－1)]
＝(m－1)(m2－4m＋4)
＝(m－1)(m－2)2.
解：原式＝(a2＋2a＋1)2
＝[(a＋1)2]2
＝(a＋1)4.

展开更多......

收起↑