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昌平区2026年高三年级第一次统一练习
数 学 试 卷
2026. 4
本试卷共5页，共150 分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则集合
（A） （B）
（C） （D）
（2）如果复数的实部与虚部相等，那么
（A） （B） （C） （D）
（3）下列函数中，在区间上单调递减的是
（A） （B）
（C） （D）
（4）在的展开式中，的系数为
（A） （B） （C） （D）
（5）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上
小正方形的边长为1，则
（A） （B）
（C） （D）
（6）将函数图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图象.则下列说法正确的是
（A）是函数的图象的一条对称轴
（B）是函数的图象的一个对称中心
（C）在上是增函数
（D）在上是减函数
（7）已知双曲线的离心率为，则的值为
（A） （B） （C） （D）
（8）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，则“”是
“”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，,平面与平面的夹角为，则该四棱锥的侧面积为
（A） （B）
（C） （D）
（10）设函数，则下列结论中正确的是
（A）当时，在上单调递减
（B）当时，在上存在极值点
（C）当时，有最大值，无最小值
（D）存在，使得方程在上有且仅有两个不同实根
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共 25 分。
（11）当时，函数的最小值为_________ .
（12）已知为等差数列，为其前项和．若，，则____.
（13）已知圆与抛物线的准线的一个交点为，点关于轴的对称点在抛物线上，则______ ；若直线上存在点，使得，则的取值范围为______ .
（14）设函数 若存在最小值，则的一个取值为______，的最小值为________ .
（15）在棱长为2的正方体中，点满足，其中. 给出下列四个结论：
①当时，，的面积为定值；
②当时，，三棱锥的体积为定值；
③当时，存在唯一的，使得；
④当时，存在唯一的，使得平面.
其中所有正确结论的序号是_________________ .
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
在△中，，，的平分线与交于点.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求的长.
条件①：边上的高为；
条件②：△的面积为；
条件③：△的周长为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
(17)（本小题13分）
如图，在直三棱柱中，，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（18）（本小题14分）
教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于小时.为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查.将运动时长不少于小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足小时的学生视为“运动不达标”.现随机抽取名学生的问卷，获得数据如下表：
男生（人） 女生（人） 合计（人）
运动达标
运动不达标
合计
假设每名学生的运动是否达标相互独立，用频率估计概率.
（Ⅰ）从该校的男生中任选两人，估计这两人均为“运动不达标”的概率；
（Ⅱ）从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，估计的分布列和数学期望；
（Ⅲ）从该校随机抽取名学生，记其中“运动达标”的人数为.求使概率取得最大值时的的值.（直接写出结论）
（19）（本小题15分）
已知椭圆的焦点是长轴的四等分点，点和点
都在椭圆上，直线与轴交于点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点.在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.
（20）（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标；
（Ⅱ）求证：对于任意的，且，都有；
（Ⅲ）当时，求证：有且只有一个零点，且.
（21）（本小题15分）
设数列，若存在公比为的等比数列，使得
，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”.
（Ⅰ）写出数列的一个“等比分割数列”；
（Ⅱ）若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，求数列的公比的取值范围；
（Ⅲ）若数列的通项公式为，且数列存在“等比分割数列”，求的最大值.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）B （2）A （3）C （4）D （5）B
（6）D （7）B （8）C （9）A （10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12） （13）
（14） （范围内任一值即可） 　　 （15）②③ 　　　　
（第13题、第14题第一空３分，第二空２分；第15题答对一个给3分，答对二个给5分，错答得零分。）
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）在△中，因为，，
所以. ………1分
由正弦定理及得 ………2分
. ………4分
所以. ………5分
（Ⅱ）选择条件②：△的面积为.
由（Ⅰ）知，， ………8分
解得. ………9分
所以△为等腰三角形.
所以. ………10分
因为为的平分线，
所以. ………11分
由正弦定理，得. ………13分
选择条件③：△的周长为.
因为△的周长为，由（Ⅰ）知，
所以. ………6分
由余弦定理得 ………7分
. ………8分
解得. ………9分
所以△为等腰三角形.
所以. ………10分
因为为的平分线，
所以. ………11分
由正弦定理，得. ………13分
(17)（共13分）
解：（Ⅰ）法一：
在直三棱柱中，连接.
因为平面，
所以，
所以四边形是正方形.
所以. ………1分
因为，，，
所以平面.
所以. ………2分
因为，
所以平面. ………3分
因为平面，
所以. ………4分
法二：
因为，如图建立空间直角坐标系. ………1分
则
所以，. ………3分
因为，
所以. ………4分
（Ⅱ） ………5分
设平面的法向量为，则
即
令，则.所以. ………7分
设直线与平面所成角为，则
. ………9分
（Ⅲ）因为，
所以平面.
所以. ………10分
所以要在线段上存在点，使得平面，只需.
设.
则.
所以. ………11分
因为，
当，即时，.
所以在线段上存在点，当时，使得平面. ………13分
(18)（共14分）
解：（Ⅰ）根据题中数据，抽取的100名男生中有20人的“运动不达标”， ……1分
所以从该校的男生中任选一人为“运动不达标”的概率可以估计为.……2分
所以从该校的男生中任选两人，这两人均为“运动不达标”的概率估计为.
……3分
（Ⅱ）从该校男生中随机抽取一人为“运动达标”的概率估计为；
从该校女生中随机抽取一人为“运动达标”的概率估计为. ……5分
的可能取值为. ……6分
则可估计为；
可估计为；
可估计为. ……9分
所以的分布列为
故的数学期望可估计为 ……11分
（Ⅲ）. ……14分
（19）（共15分）
解：（I）由题意得解得 ………4分
所以椭圆的方程为 ………5分
(Ⅱ)因为点在椭圆上，
所以（）.
因为直线的方程为，
所以，即.
因为点与点关于轴对称，
所以.
因为直线的方程为，
所以，即.
“在轴上存在点，使得”等价于“存在点，使得”,即满足.
因为，，
所以.
所以.
所以在轴上存在点或，使得. ………15分
(20)（共15分）
解：（Ⅰ）当时，.
设，. ………1分
因为曲线在点处的切线与轴平行，
所以，即.
所以. ………2分
所以. ………3分
因为，
所以. ………4分
（Ⅱ）要证对于任意的，且，都有，
即证.
即证.
设. ………7分
只需证在上单调递增.
因为， ………8分
当时，，
所以当时，.
所以在上单调递增. ………9分
因为，，
所以.
所以对于任意的，且，都有. ………10分
（Ⅲ）因为，
所以当时，，
所以在上无零点. ………11分
因为，
所以当时，；
所以在上单调递增. ………12分
因为， ………13分
， ………14分
当时，成立，即.
所以在上有唯一的零点，且.
综上，当时，有且只有一个零点，且. ………15分
(21)（共15分）
解：（Ⅰ）.（答案不唯一） ………3分
（Ⅱ）由，可得.
当时，. ………4分
当时，. ………5分
令.
则单调递减. ………6分
所以的最小值为.
所以. ………7分
综上数列的公比的取值范围为. ………8分
（Ⅲ）首先证明当时，数列不存在“等比分割数列”.
假设当时，数列存在“等比分割数列”.
则. ………10分
由题意可知.
因为，且，
所以，即. ………11分
又因为，
所以.
与矛盾.
所以当时，数列不存在“等比分割数列”. ………12分
所以. ………13分
当时，数列，存在首项为，公比为的等比数列，满足
.
所以当时，数列存在“等比分割数列”. ………14分
所以的最大值为. ………15分
2

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