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11.3 课时2
用完全平方公式因式分解
1、掌握完全平方公式法因式分解的方法.
2、能用完全平方公式法进行因式分解.
利用平方差公式可以进行因式分解，用完全平方公式能进行因式分解吗
观察多项式 x2＋2x＋1和 m2－4mn＋4n2，它们有什么共同特征
这两个多项式都是三项，都满足 a2＋2ab＋b2 或 a2－2ab＋b2 的形式.
观察与发现：
怎样将上面两个多项式因式分解
x2＋2x＋1； m2－4mn＋4n2
把 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 或 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 的等号两边互换位置，就可以将多项式因式分解.
思考与交流：
x2＋2x＋1； m2－4mn＋4n2
运用乘法公式可得
x2＋2x＋1
＝ x2＋2 x 1＋12
＝ (x＋1)2.
m2－4mn－4n2
＝ m2－2 m 2n＋(2n)2
＝ (m－2n)2.
两数的平方和，加上(减去)这两数乘积的 2 倍，等于这两数和(差)的平方，即
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
形如 a2＋2ab＋b2 和 a2－2ab＋b2 的式子叫作完全平方式.我们可以利用乘法公式对某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.
例3.将下列各式因式分解：
(1) x2＋10x＋25； (2) 9a2－6ab＋b2.
解：x2＋10x＋25
＝ x2＋2 x 5＋52
＝ (x＋5)2.
解： 9a2－6ab＋b2
＝ (3a)2－2 3a b＋b2
＝ (3a－b)2.
例4.将下列各式因式分解：
(1) 3ax2－6axy＋3ay2； (2) －x2＋4xy－4y2；
解： 3ax2－6axy＋3ay2
＝ 3a(x2－2xy＋y2)
＝ 3a(x－y)2.
解： －x2＋4xy－4y2
＝ －(x2－4xy＋4y2)
＝ －(x－2y)2.
(3) (2x＋y)2－6(2x＋y)＋9.
解： (2x＋y)2－6(2x＋y)＋9
＝ (2x＋y)2－2 (2x＋y) 3＋32
＝ [(2x＋y)－3]2
＝ (2x＋y－3)2.
1. 将下列各式因式分解：
(1) m2＋m＋； (2) 9x3－18x2＋9x；
解：原式＝m2＋2 m ＋()2
＝(m＋)2
解：原式＝ 9x(x2－2x＋1)
＝ 9x(x－1)2.
(3) －4a2＋4a－1； (4) 3a2＋12ab＋12b2.
解：原式＝－(4a2－4a＋1)
＝－(2a－1)2
解：原式＝3(a2＋4ab＋4b2)
＝－3(a＋2b)2.
2. 按照完全平方公式，在括号内填入适当的整式：
(1) a2－12a＋( )＝( )2；
(2) 9b2＋( )＋16＝( )2；
(3) ( )2＋4xy＋4＝( )2；
(4) (x－y)2＋6(x－y)＋( ) ＝( )2.
36
a－6
24b
3b＋4
xy
xy＋2
9
x－y＋3
1.将下列各式因式分解：
(1) a2－49； (2) 25x2－36；
(3) x2＋8x＋16； (4) y2－10y＋25；
(5) 9a2＋6a＋1； (6) 81m2－144mn＋64n2.
解：原式＝(a＋7)(a－7).
解：原式＝(5x＋6)(5x－6).
解：原式＝(x＋4)2.
解：原式＝(y－5)2.
解：原式＝(3a＋1)2.
解：原式＝(9m－8n)2.
复习巩固
2.将下列各式因式分解：
(1) 3x2－12； (2) a4－16b4；
解：原式＝ 3(x2－4)
＝ 3(x＋2)(x－2).
解：原式＝(a2－4b2)(a2＋4b2)
＝(a＋2b)(a－2b)(a2＋4b2).
(3) 16x2＋16x＋4； (4) －a3＋2a2b－ab2.
解：原式＝ 4(4x2＋4x＋1)
＝ 4(2x＋1)2.
解：原式＝ －a(a2－2ab＋b2)
＝ －a(a－b)2.
3. 将下列各式因式分解：
(1) 4(x－2)2－16；
解：方法一：
原式＝ [2(x－2)]2－42
＝ (2x－4＋4)(2x－4－4)
＝ 2x(2x－8)
＝ 4x(x－4).
方法二：
原式＝ 4[(x－2)2－4]
＝ 4[(x－2)2－22]
＝ 4(x－2＋2)(x－2－2)
＝ 4x(x－4).
(2) (4a－3)2－(3a－4)2；
解：原式＝ [(4a－3)＋(3a－4)][(4a－3)－(3a－4)]
＝ (4a－3＋3a－4)(4a－3－3a＋4)
＝ (7a－7)(a＋1)
＝ 7(a－1)(a＋1).
(3) (p＋q)2＋4(p＋q)＋4； (4) 6x2y＋3x3＋3xy2.
解：原式＝(p＋q＋2)2
解：原式＝3x(2xy＋x2＋y2)
＝3x(x＋y)2
4.计算：
(1) 532－9； (2) 572＋6×57＋9；
解：原式＝532－32
＝(53＋3)(53－3)
＝56×50
＝2 800.
解：原式＝572＋2×3×57＋32
＝(57＋3)2
＝602
＝3 600.
(3) 1012－202＋1.
解：原式＝1012－2×101×1＋12
＝(101－1)2
＝1002
＝10 000.

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