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数学参考答案与解析
1.D2.D3.A4.C5.A
6.C【解析】由题意f(x)=a·b=sinx+sinxcos2x=2 sinxcos2x,
【法一】由cos2x=1-sin2x,得f(x）=2 sinx-2sin3x,
令sinx=t,t∈[-1,1]，得g(t)=2t-2r→g'(t)=2-62,
知80在[-山，停1单润运减，[-1单调递增，在虹停，]单拥递减
又g-)=0=g9》4,
得)=a:b的最大值为故选C
【法二】因为f(x)=2 sinxcos2x奇函数，又求其最大值，可只研究sinx>0,c0s2x>0,
sincos'cost
又(sinxcos2x)2=4sim2xco%x·co%≤4（
2+
2
3
当且仅自-=分ow:=号时辛号成主，
故儿)=2imaw:的最大值为1g故递C
7B【解折1由)=点e(0,1)U(1,+),且了()=
In2x
当xe(0,1)时，'(x)<0,则f(x)单调递减，当x∈(1，e)时，f'(x)<0,则f(x)单调递减，
当e(e,+)时()>0，则八)单调运增，且八)=盖在x=e取得极小值e得其简图如下左图所示
3
e
11119119111119111111111
2
-2
-e-1
-2
etl
又y=x-1)可由)=点作如下变换得到，先将x)的图象向右平移一个长度单位，得到y=x
1)的图象，再将y=(x-1)图象y轴左侧的图象去掉，y轴右侧的图象对称到y轴左侧，得到y=八|x|-1)
的图象，然后将y=∫(x|-1)的图象x轴下方的图象对称到x轴上方，去掉原来下方图象得到函数y=
f(|x-1)的图象如上右图.故选B.
【数学答案第1页（共8页）】
8.B【解析】如图，由题意知抛物线准线方程为l:=-1,
延长BF交y2=4x于点C,由抛物线性质知，点A,C关于x轴对称.
分别过点B,C作直线1：x=-1的垂线，垂足为B',C',
IBFI IBB'I,ICFI ICC'I,
过点C作直线BB'的垂线，垂足为D,则ICCI=IDB'I,
不妨设|CCI=x,得IBF1=2x,IBCI=3x,
IDBI =IBB'I-IDB'I=2x-x=x,
0
在aDaC中，L8BF-8-京分得血LBBF-29
3
中-29文181=1BB1,得-22，
IBFI
3
所以un∠BBM:22,文∠BgW=∠BNR,女大=m∠BMF-2是装达B
9.ABC
10.CD【解析】对于A选项，若an=c(c为常数)则取i=1,j=2,k=3,S,=c,S2=2c,S,=3c成等差数列，故常
数列不具有性质P.
对于B选项，若an=n,可取i=3,j=6,k=8,S3=6,S6=21,Sg=36成等差数列，故不具有性质P.
对于C选项，an=2”,可得Sn=2m1-2,S=2+1-2,S,=2+1-2,S4=2+1-2
若S,5,5成等差数列，22-4=21-2+2+1-2，即2+2=2l+2+1,又i等式22=2++2两边同除以2+得，2+1-=2-+1，左边为偶数，右边为奇数，
所以不存在i对于D选项，an=n!得Sn=1！+2!+3!+…+n!
当1≤i若Sk-S,=(+1)!+(G+2)!+…+k!,
得S-S:=(i+1)!+(i+2)!+(i+3)！+…+j1,
而(G+1)!=(G+1j!>1+2!+3!+…+j!,
所以(0+1)！+(+2)！+…+k!>1!+2!+3!+…+!>(i+1)!+(i+2)!+(i+3)!+…+j!=S-S
即S-S,>S-S所以S,S,S不成等差数列，则D选项数列具有性质P.
综上，故选CD
0≤x≤1
11.BCD【解析】由条件|(x,y,z)I0≤x≤y≤z≤1}可知所有，点一定在0≤y≤1围成的正方体内，再由x≤y,
0≤z≤1
y≤z,可知满足条件的点构成图中的三棱锥O-ABC.经计算得BCD正确，故选BCD.
12.±2【解析】(x-a)5的展开式的通项公式为T,+1=C5x-(-a)',r=0,1,2,…,5,所以x3的系数为
C(-a)2=40,解得a=±2.故答案为±2
【数学答案第2页（共8页）】数学试题
本试卷共 4页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本
试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1.已知集合 则
A.{-1} B.{-1,3} C.{-1,0} D.{-1,0,3}
2.在平面直角坐标系中曲线 的长度为
A.π C.2π
3.等比数列{bn}中 则
A.2 B.±2 C.-2 D.
4.已知复数 则
A. B. C. D.
5.已知每门大炮击中某目标的概率是 0.4，现在 n 门大炮向此目标各射击一次.如果此目标至少被击中
一次的概率超过 92%，至少需要大炮的门数是(参考数据：
A.5 B.6 C.7 D.8
6.我国通信技术飞速发展，部分领域全球领先.某卫星信号测试中，专家将通信信号抽象为向量 a=(sin
x,cos2x),接收端参考信号抽象为向量 b=(1, sinx),定义信号匹配度函数 f(x)=a·b,则 f(x)的最大
值为
A. B. C. D.
7.已知函数 则函数 y=|f(|x|-1)|的单调递增区间为
A. (1-e,0),(e-1,+∞) B. (-e-1,-2),(1,2),(e+1,+∞)
C. (-e-1,-1),(e+1,+∞) D. (-e-1,-2),(-2,-1),(e+1,+∞)
8.已知抛物线 的焦点为 F，过点 M(-1，0)作斜率为 k 的直线交抛物线于第一象限内的 A，B
两点,若|BF|=2|AF|,则 k=
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.定义在 R 上的奇函数 f(x)周期为 2，则
A. f(2x)-f(2x+2)=0 B. f(-2x)+f(2x)=0
C. f(x)+f(2-x)=0 D. f(x)+f(2+x)=0
10.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若不存在 i具有性质 P.则下列选项中数列具有性质 P 的有
A. B. C. D.
11.空间直角坐标系中，满足条件{(x，y，z)|0≤x≤y≤z≤1}的点构成一几何体，则该几何体
A.为正多面体 B.体积为
C.外接球体积为 D.内切球表面积为(
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知二项式 展开式中 x 的系数为 40，则实数 a= .
13.函数 的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是 ，焦距是
14.设定义在 R 上的函数 有三个不同的零点 x ,x ,x ,且.
则 的值是 .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本题满分 13 分)
在 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 asin(B-C)+bsin(A-C)=csinC.
(1)证明:
(2)若 求 面积的最大值.
16.(本题满分 15 分)
如 图 ， 直 四 棱 柱 的 底 面 ABCD 为 直 角 梯 形 ，
三棱锥 的体积是四棱柱 体积的
(1)证明:
(2)若 求平面 与平面 夹角的余弦值.
17.(本题满分 15 分)
已知函数
(1)求函数 f(x)的最大值;
(2)已知 为数列 的前 n 项和，证明：
18. (本题满分 17 分)
已知椭圆 E的中心在原点，坐标轴为对称轴，其中一个焦点为 F(1，0)，离心率为 直线 OA，
OB 与椭圆 E交于不同的两点 A，B，且直线 OA，OB 的斜率之积为
(1)证明: 为定值；
(2)以椭圆 E上一动点 M为圆心作与直线 OA，OB 均相切的圆，探究圆 M的面积是否为定值，若
是定值，求出圆 M的面积，若不是定值，说明理由；
(3)求四边形 OAMB 面积的最大值.
19.(本题满分 17 分)
单循环赛制是指所有参赛队伍(或选手)相互之间都轮流进行比赛，每两支队伍之间只比赛一次，
最后按照各队在全部比赛中的得分、胜负场次等成绩指标来排定名次.现有 n 支球队进行单循
环赛，规定每场比赛获胜队得 1分，负的队得 0分，且无平局，最后按各队在全部比赛中的积
分从高到低排列名次，积分最高者为冠军.并将第 i 支球队的胜场数记为 x ，负场数记为 y ，
(1)当 n=6 时，求单循环赛的总比赛场数，并计算 的值；
(2)证明:
(3)现 n 支球队分为甲、乙两组，其中甲组球队比乙组球队多 5支，甲，乙球队混合在一起进行
单循环赛，若甲组球队总得分是乙组球队总得分的 7倍，请判断冠军是甲组中的球队，还是
乙组中的球队，并说明理由.

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