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(共30张PPT)
第一部分　 基础过关
第六章　圆
第1讲　圆的基本性质
知识梳理
考点过关
课后演练
一、圆的有关概念
(1)圆的两个定义：
定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.
定义2：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.定点叫做圆心，定长叫做半径，以点O为圆心的圆记作☉O.
圆心
半径
(2)要确定一个圆，必须确定圆的圆心和半径.圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定.
连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径.
(3)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.小于半圆的弧叫做劣弧；大于半圆的弧叫做优弧.
(4)能够重合的两个圆叫做等圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
圆心
半径
圆心
半径
两点的线段
圆心的弦
两点间的部分
半圆
劣弧
优弧
等圆
同圆或等圆
等弧
1.下列说法正确的是 ( )
A.半圆是弧，弧也是半圆
B.过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径
C.弦是直径
D.直径是圆中最长的弦
D
2.下列说法正确的是 ( )
A.圆的直径有4条
B.长度相等的弧是等弧
C.如果☉A的周长是☉B周长的4倍，那么☉A的面积是☉B面积的8倍
D.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
温馨提示：长度相等的弧不一定是等弧，能够互相重合的弧才是等弧.
D
二、垂径定理及推论
(1)圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的任意一条直线.圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
(3)垂径定理的推论：
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
轴对称图形
过圆心的任意一条直线
中心对称
圆心
垂直于弦
平分弦所对的两条弧
经过圆心
3.在☉O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则☉O的半径为　5 cm　.
4.如图，在☉O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，则四边形ADOE是　正方　形.
温馨提示：有关弦的问题，常作弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心距为边的直角三角形，利用勾股定理知识求解.
5 cm
正方
三、弧、弦、圆心角之间的关系
(1)圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角.
(2)弧、弦、圆心角之间的关系定理及推论：
①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；
②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
圆心角
相等
相等
5.如图，AB，CD是☉O的两条弦.
(1)如果AB=CD，那么，∠AOB=∠COD；
(2)如果=，那么AB=CD，∠AOB=∠COD；
(3)如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD；
(4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，那么OE　=　OF.
温馨提示：有等弧或证明弧相等时，常连等弧所对的弦或作等(同)弧所对的圆周(心)角.
AB=CD
=
∠AOB=∠COD
=
AB=CD
=
四、圆周角定理及推论
(1)圆周角定义：顶点在圆上且角的两边都和圆相交的角叫做圆周角.
特征：①角的顶点在圆上；
②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对弧相等.
顶点在圆上且角的两边都和圆相交的角
圆上
相交
一半
相等
相等
6.如图所示，在☉O中，OC⊥AB，∠APC=27°，则∠BOC的度数为 ( )
A.13.5°　　　　B.27°
C.43° D.54°
温馨提示：在求圆周角或圆心角的度数时，通常要找出或构造出同弧(或等弧)所对的圆心角或圆周角.
D
五、圆的内接多边形
(1)如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.
(2)圆的内接四边形的对角互补.
互补
7.如图所示，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=108°，则∠DCE=　108°　.
108°
1.(2025宜宾)如图，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB=8，OC=5，则OD的长是 ( )
A.3 B.2 C.6 D.
垂径定理及其应用(★★★★☆)
A
2.(2025呼和浩特二模)往一个水平放置的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示.若油面宽AB=24 dm，油的最大深度为8 dm，则该圆柱形油槽截面圆的半径为 ( )
A.13 dm B.16 dm
C.17 dm D.26 dm
A
3.(2025包头模拟)如图，☉O的直径AB垂直于弦CD于点E，∠BCD=22.5°，OC=6，则CD的长为 ( )
A.3 B.6 C.6 D.12
圆周角定理及其推论(★★☆☆☆)
B
4.(2025长沙)如图，AC，BC为☉O的弦，连接OA，OB，OC.若∠AOB=40°，∠OCA=30°，则∠BCO的度数为 ( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
C
5.(2025东营)如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠BOD=130°，则∠ECD的度数是 ( )
A.50° B.55° C.65° D.70°
圆内接四边形(★★☆☆☆)
C
6.(2025包头模拟)如图，四边形ABCD内接于☉O，P为边AD上任意一点
(点P不与点A，D重合)，连接CP.若∠B=120°，则∠APC的度数可能为
( )
A.30° B.45° C.50° D.65°
D
7.(2025广安)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠BCD=120°，☉O的半径为6，则BD的长为　6　 .
6
1.(2025青海)如图，AB是☉O的直径，∠CAB=40°，则∠ADC的度数是
( )
A.80° B.50° C.40° D.25°
B
2.(2025重庆)如图，点A，B，C在☉O上，∠AOB=100°，∠C的度数是
( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
B
3.(2025新疆)如图，CD是☉O的直径，AB是弦，AB⊥CD，∠ADC=30°，则∠BOC= ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
C
4.(2025山西)如图，AB为☉O的直径，C，D是☉O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若=，则∠D的度数为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
B
5.(2025泸州)如图，四边形ABCD内接于☉O，BD为☉O的直径.若AB=AC，∠ACB=70°，则∠CBD= ( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
B
6. (2025安徽)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC=180°.
(1)求证：OC∥AD；
证明：因为∠AOC=2∠ABC，∠DAB+2∠ABC=180°，
所以∠DAB+∠AOC=180°.
所以OC∥AD.
(2)若AD=2，BC=2，求AB的长.
解：如图，连接BD，交OC于点E.
因为AB是☉O的直径，
所以∠ADB=90°，即AD⊥BD.
因为OC∥AD，所以OC⊥BD.
所以E是BD的中点.
又因为O是AB的中点，
所以OE是△ABD的中位线.所以OE=AD=1.
设半圆的半径为r，则CE=r-1.
由勾股定理知OB2-OE2=BE2=BC2-CE2，
即r2-1=-(r-1)2，
解得r1=3，r2=-2(舍去).
所以AB=2r=6.(共23张PPT)
第一部分　 基础过关
第六章　圆
第3讲　与圆有关的计算
知识梳理
考点过关
课后演练
一、正多边形和圆
名称 定义
中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心
半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径
中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角
边心距 正多边形的中心到正多边形边的距离叫做正多边形的边心距
1.如图所示，已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为
( )
A.2 B.3
C.4 D.6
B
二、弧长和扇形面积
(1)半径为r，n°的圆心角所对的弧长公式：l= .
(2)半径为r，n°的圆心角所对的扇形面积公式：S= .
l=
S=
2.(1)半径为4，圆心角为90°的扇形弧长为　2π　.
(2)50°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，则此弧所在圆的半径是　9 cm　.
3.(1)半径为4，圆心角为90°的扇形面积为　4π　.
(2)一个扇形的半径是24 cm，面积是240π cm2，则扇形的圆心角是　°　.
2π
9 cm
4π
　150°
三、圆锥的侧面积和全面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr.
①圆锥侧面积公式：S圆锥侧=πrl ；
②圆锥全面积公式：S圆锥全=πrl+π r2.
πrl
πrl+πr2
4.如图所示，圆锥的底面半径r=6，高h=8，则圆锥侧的面积是 ( )
A.15π B.30π　　
C.45π D.60π
温馨提示：圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，半径等于圆锥母线的长，面积等于圆锥的侧面积.
D
1.(2025山东)在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是 ( )
A.π B.2π
C.3π D.4π
正多边形与圆的计算(★★☆☆☆)
D
2.(2025上海)已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是36°或108 °.
〔高分笔记〕正多边形与圆的计算问题，常用方法是过圆心作垂直于弦的直线，进而可利用垂径定理、勾股定理或者特殊三角形的性质来解决问题.
36°或108°
3.(2025绥化)在☉O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，那么☉O的半径是 ( )
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
4.(2025连云港)如图，△ABC是☉O的内接三角形，∠BAC=45°.若☉O的半径为2，则劣弧的长为　π　.
弧长和扇形面积的计算(★★☆☆☆)
A
π
5.(2025赤峰三模)荷花寓意“家庭美满，生活和谐”.图1是一幅环形荷花装饰挂画，将其视为如图2所示的扇形环面(由扇形OAB挖去扇形OCD)，∠AOB=108°，OC的长度是10 cm，OA的长度是30 cm，则该环形荷花装饰挂画的面积是　240π　cm2.
240π
6.(2025成都)如图，☉O的半径为1，A，B，C是☉O上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 .
7.(2025巴彦淖尔模拟)如图，从一张腰长为90 cm、顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的底面半径为 ( )
A.15 cm B.12 cm
C.10 cm D.20 cm
圆锥的侧面展开图(★★☆☆☆)
A
8.(2025云南)若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为
40 cm，则该圆锥的底面圆的半径为 ( )
A.9 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm
B
1.(2025广安)如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为 ( )
A. B. C. D.5
A
2.(2025鄂尔多斯三模)如图，对折边长为4的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心、OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则阴影部分的面积为 ( )
A.4-π B.4-π C.16-π D.16-π
D
3.(2025深圳)在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F'处，如图，此时边AD'与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是 ( )
A.π B.3π C.2π+2 D.2+2π
B
4.(2025黑龙江)若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为15π.
5.(2025齐齐哈尔)若圆锥的底面半径为40 cm，母线长为90 cm，则其侧面展开图的圆心角为　160　度.
15π
160
6. (2025内蒙古)如图，AB是☉O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，OC=2，P是BA延长线上的一点，连接CP，交☉O于点D，连接AD，∠OCP=60°.过点P作☉O的切线，切点为E，交CO的延长线于点F.
(1)求劣弧CD的长；
解：(1)如图，连接OD.
在☉O中，OC=OD，因为∠OCP=60°，
所以△OCD是等边三角形.所以∠COD=60°.
因为OC=2，所以劣弧CD的长=.
(2)求∠DAB的度数；
因为OC⊥AB，所以∠POF=∠AOC=90°.
所以∠AOD=∠AOC-∠COD=30°.
因为在☉O中，OA=OD，
所以∠DAB=∠ADO==75°.
(3)求cos∠OFP的值.
如图，连接OE.
因为∠AOC=90°，∠OCP=60°，所以∠CPO=30°.
所以PO=.
因为PF是☉O的切线，所以∠OEF=90°，OE=OC=2.
所以∠OFP+∠FOE=90°.
因为∠POF=90°，所以∠POE+∠FOE=90°.
所以∠OFP=∠POE.
所以cos∠OFP=cos∠POE=.(共29张PPT)
第一部分　 基础过关
第六章　圆
第2讲　点、直线与圆的位置关系
知识梳理
考点过关
课后演练
一、点与圆的位置关系
设☉O的半径为r，点P到圆心的距离为d.
①当d>r时，点P在☉O外 ；
②当d=r时，点P在☉O上 ；
③当d外
上
内
1.☉O的半径r=10 cm，点P到圆心O的距离为d.
(1)当d=8 cm时，点P在☉O内 ；
(2)当d=10 cm时，点P在☉O上 ；
(3)当d=12 cm时，点P在☉O外 .
外
上
内
二、直线与圆的位置关系
(1)直线和圆的位置关系的定义：
①直线和圆有两个 公共点时，叫做直线和圆相交，此时直线叫做圆的割 线；
②直线和圆有一 个公共点时，叫做直线和圆相切，此时直线叫圆的切 线，唯一的公共点叫做切点；
③直线和圆无 公共点时，叫做直线和圆相离.
两个
割
一个
切
切点
无
(2)设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则：
直线与圆 交点个数 r与d关系
相离 0 d>r
相切 1 d=r
相交 2 d2.☉O的半径是6.5 cm，如果圆心与直线l的距离为d：
(1)当d=4.5 cm时，直线l和☉O相交，有　2　个公共点；
(2)当d=6.5 cm时，直线l和☉O相切，有　1　个公共点；
(3)当d=8 cm时，直线l和☉O相离，有　0　个公共点.
相交
2
相切
1
相离
0
三、切线的性质及判定
(1)性质：①切线与圆有唯一公共点；②切线与圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于过切点的半径.
(2)判定：方法①，与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
方法②，与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；
(不知道直线与圆是否有公共点时用到的方法，简称“作垂直，证半径”)
方法③，切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(知道直线与圆有公共点时用到的方法，简称“连半径，证垂直”)
(3)尺规作图：过圆外一点作圆的切线.
公共点
圆的半径
垂直
圆的切线
圆的切线
外端
垂直
3.下列说法中，不正确的是 ( )
A.与圆只有一个公共点的直线是圆的切线
B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线
D.垂直于半径的直线是圆的切线
D
4.如图所示，P为☉O外一点，PA为☉O的切线，A为切点，PO交☉O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为　3　.
3
四、切线长定理
(1)切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的距离叫做这点到圆的切线 长.
(2)定理：过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
这点到圆的切线长
相等
平分
5.如图是用一把直尺、含60°角的三角尺和光盘摆放而成的，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的唯一交点.若AB=3，则光盘的直径是
( )
A.6 B.3 C.6 D.3
温馨提示：在有关圆的切线长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换.
A
五、三角形的外心与内心
(1)三角形的外心：
定义：三角形外接圆的圆心；
性质：外心到三个顶点的距离相等；
作法：作三角形两边的垂直平分线，其交点为外接圆的圆心.
(2)三角形的内心：
定义：三角形内切圆的圆心；
性质：内心到三边的距离相等；
作法：作三角形两条角平分线，其交点为内切圆的圆心.
外接圆
相等
两边的垂直平分线
外接圆的圆心
内切圆
相等
两条角平分线
内切圆的圆心
6.如图所示，☉O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的 ( )
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高所在直线的交点
温馨提示：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆.
B
1.(2025福建)如图，PA与☉O相切于点A，PO的延长线交☉O于点C.AB∥PC，且交☉O于点B. 若∠P=30°，则∠BCP的大小为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
切线的性质与切线长定理(★★★★★)
C
2.(2025自贡)PA，PB分别与☉O相切于A，B两点.点C在☉O上，不与点A，B重合.若∠P=80°，则∠ACB的度数为 ( )
A.50° B.100° C.130° D.50°或130°
3.(2025安徽)如图，AB是☉O的弦，PB与☉O相切于点B，圆心O在线段PA上.已知∠P=50°，则∠PAB的大小为　20　°.
〔高分笔记〕遇切线，通常的方法是连接过切点的半径，利用切线垂直于过切点的半径，构建直角三角形，进而利用直角三角形进行求解或证明.
D
20
4. (2025鄂尔多斯模拟)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，O为AC上的一点，经过点A，E的☉O分别交AB，AC于点D，F，连接OD交AE于点M.
(1)求证：BC是☉O的切线；
切线的判定(★★★★★)
(1)证明：如图，连接OE.
因为AE平分∠BAC，所以∠BAC=2∠OAE.
因为OA=OE，所以∠OAE=∠OEA.所以∠FOE=2∠OAE.
所以∠FOE=∠BAC.所以OE∥AB.
因为∠B=90°，所以∠OEC=90°，即OE⊥BC.
又因为OE是☉O的半径，所以BC是☉O的切线.
(2)若CF=2，sin C=，求☉O的半径.
解：因为CF=2，sin C=.
因为OE=OF，所以OE=OF=3，即☉O的半径为3.
5. (2025青海)如图，线段AB经过圆心O，交☉O于点A，C，AD为☉O的弦，连接BD，∠A=∠B=30°.
(1)求证：直线BD是☉O的切线；
证明：如图，连接OD，因为∠A=∠B=30°，所以∠ADB=180°-∠A-∠B=120°.
因为OA=OD，所以∠A=∠ODA=30°.所以∠ODB=120°-30°=90°.所以OD⊥BD.
又因为OD是☉O的半径，所以直线BD是☉O的切线.
(2)已知BC=2，求的长.(结果保留π)
解：在Rt△DOB中，∠ODB=90°，∠B=30°，所以OD=OB.
设OD=OC=r，所以r=(r+2)，解得r=2.
因为∠DOB=∠A+∠ODA=60°，所以π.
6.(2025杭州三模)如图，☉O是△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点D，E，F，∠B=42°，P是 上的一点，则∠DPE的度数是 ( )
A.42° B.48° C.58° D.69°
三角形的内心与外心(★★☆☆☆)
D
7.已知A(0，3)，B(2，1)，C(2，-3)，则△ABC外心的坐标为 ( )
A.(-1，-2) B.(-2，-1)
C.(-2，-2) D.(-1，-1)
B
1.(2025石家庄模拟)如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，C为☉O上的一点.若∠ACB=70°，则∠P的度数为 ( )
A.70° B.50° C.40° D.20°
C
2.(2025云南)已知☉O的半径为5 cm，若点P在☉O上，则点P到圆心O的距离为　5　cm.
3.(2025宁夏模拟)如图，PA与☉O相切于点A，PO与弦AB交于点C，OB⊥OP.若OB=3，OC=1， 则PA的长为　4　.
5
4
4. (2025广州节选)已知☉O的半径为6，☉O所在平面内有一动点P，过点P可以引☉O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B.点P与圆心O的距离为d，则d的取值范围是d> 6.
5.(2025黑龙江)如图，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，AC是直径，∠BAC=35°，∠P=　70°　.
d>6
70°
6. (2025广东)如图，O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的☉O与边BC相切于点D. 求证：AD平分∠BAC.
证明：如图，连接OD.
因为☉O与边BC相切于点D，
所以OD⊥BC，即∠ODC=90°.
因为△ABC为直角三角形，
所以∠ODC=∠B=90°.
所以OD∥AB.所以∠1=∠3.
因为OD=OA，所以∠1=∠2.
所以∠3=∠2.所以AD平分∠BAC.

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