资源简介

(共32张PPT)
第一部分　 基础过关
第二章　方程与不等式
第1讲　一次方程(组)
知识梳理
考点过关
课后演练
一、方程的概念及其解
方程的 概念 (1)方程的概念：含有未知数的等式，叫做方程. (2)一元一次方程与二元一次方程的概念. 1.下列方程是二元一次方程的是 ( )
A.2x+3y=6　　　　　B.π-4x=3
C.+y=6 D.=3
2.若(m-1)x|m|+5=0是关于x的一元一次方程，则m的值为　-1　.
温馨提示：(1)π是常数；(2)一次方程中的一次项系数不能为0.
类别 含有几个 未知数 未知数的 次数 等号两边
都是
一元一 次方程
二元一 次方程
未知数
一个
一次
整式
两个
一次
整式
A
-1
方程 的解 方程的解的概念：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解. 3.填空(填“是”或“不是”).
(1)x=2是方程4x+6=14的解；
(2)x=2不是方程3x+(10-x)=20的解.
未知数
是
不是
二、二元一次方程组的概念及其解
概念 共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程组，叫做 二元一次方程组. 4.下列方程组中，是二元一次方程组的是
( )
A.　　　B.
C. D.
二元一次方程组
D
二元 一次 方程 组的 解 二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 5.若是关于x，y的二元一次方程ax-3y=1的解，则a的值为　7　.
公共解
7
三、等式的性质
(1)等式的性质1：等式两边加(或减) 同一个数(或式子)，结果仍相等， 即：若a=b，则a±c=b±c. (2)等式的性质2：等式两边乘同一个数(或式子)，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等，即：若a=b，则ac=bc，=(d≠0). 6.下列方程的变形，符合等式性质的是
( )
A.由2x-3=7，得2x=7-3
B.由2x-3=x-1，得2x-x=-1+3
C.由-3x=5，得x=5+3
D.由-x=1，得x=4
温馨提示：利用性质2解方程时需注意：方程两边同时除以同一个不为0的数或式子，即除数不能为0.
同一个数(或式子)
相等
同一个数(或式子)
同一个不为0的数(或式子)
相等
B
四、解一元一次方程及二元一次方程组
(1)解一元一次方程的基本步骤： ①去分 母； ②去 括号； ③移项； ④合并同类项； ⑤系数化 为1. (2)解二元一次方程组的基本思想是消元： ①代入消元法； ②加减消元法. (3)解二元一次方程组的方法步骤： 二元一次方程组 一元一次方程. 7.解方程：x+=1-.
8.(2025通辽模拟)解方程组：
去分母
去括号
系数化为1
消元
解：去分母，得6x+3(x-1)=6-2(x+2).
去括号、移项，得6x+3x+2x=3+6-4.
合并同类项，得11x=5.
系数化为1，得x=.
解：①×3-②，得y=1.
把y=1代入①，得x=4.
所以原方程组的解为
温馨提示：去分母时要找最小公倍数；去括号时别漏乘，且注意括号外的符号：外正里不变，外负里改变；移项时要注意变号.
五、一次方程(组)的应用
常见题型：
(1)行程问题：路程=速度×时间.
①相遇问题：s总=s甲+s乙.
②追及问题：(同地异时)s前=s后；
(异地同时)s前+s距=s后.
(2)航行问题：v顺=v静+v水，v逆=v静-v水.
(3)工程问题：工作效率=.
①甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率；②通常把工作总量看作“1”.
(4)利息问题：利息=本金×利率×期数；
本息和=本金+利息.
(5)利润问题：利润=售价-进价；利润率=×100%.
(6)数字问题.
(7)增长率问题.
(8)配套问题.
(9)球赛积分问题.
(10)电话计费问题.
9.中国陶瓷闻名世界，某陶瓷厂生产某种茶具，其茶具生产车间共有25名工人生产茶壶和茶杯.若该种茶具由1个茶壶和6个茶杯配成一套.已知一名工人一天可以生产3个茶壶或7个茶杯，要使一天生产的茶壶和茶杯正好配套，应分别安排多少名工人生产茶壶和茶杯？
解：设应安排x名工人生产茶壶，则安排(25-x)名工人生产茶杯.
根据题意，得6×3x=7(25-x)，解得x=7，
所以25-x=25-7=18(名).
答：应安排7名工人生产茶壶，18名工人生产茶杯.
1.(2025鄂尔多斯模拟)已知x=3是关于x的一元一次方程4x-m+1=0的解，则m的值是 ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
2.(2025深圳)若关于x的方程x+a=5的解为x=1，则a=　4　.
一元一次方程的解(★☆☆☆☆)
D
4　
3.(2025包头模拟)现规定一种新运算：aΔb=2a-3b，若4Δx=14，则x=
　-2　.
解一元一次方程(★★☆☆☆)
　-2
4.(2025连云港)《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”(凫：野鸭.所提问题即“野鸭与大雁分别从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇”)设经过x天能够相遇，根据题意，得 ( )
A.x+x=1 B.x-x=1 C.7x+9x=1 D.9x-7x=1
一元一次方程的应用(★★★☆☆)
A
5.(2025烟台)某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为 ( )
A.350元 B.320元
C.270元 D.220元
A
6.若是方程组的一个解，则a+b的值为 ( )
A.-2 B.2 C.-3 D.3
　二元一次方程组的解(★☆☆☆☆)
C
7.(2025巴彦淖尔模拟)解方程组：
解二元一次方程组(★★☆☆☆)
解：①-②，得-3x=3，解得x=-1.
把x=-1代入①，得-1-3y=5，解得y=-2.
故原方程组的解是
8.(2025吉林)吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元，求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数.
二元一次方程组的应用(★★★★☆)
解：设游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒.
由题意，得
答：该游客购买了甲种商品6盒，乙种商品4盒.
〔高分笔记〕当要求的未知量有两个时，可以用字母x表示其中一个，再根据两个未知量之间的关系，用含x的式子表示另一个量，解方程后，再代入求出另一个未知量的值.
1.(2025天津)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为 ( )
A.240x=150(x+12) B.240x=150(x-12)
C.150x=240(x+12) D.150x=240(x-12)
A
2.(2025遂宁)已知x=2是方程3a-2x=2的解，则a=　2　.
2　
3.(2025湖南)衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很关键.青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格遵守国家法律法规.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.
例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的.
命题：如果a，b，c为实数，且满足a+b=-c，那么2=1.
推理过程如下：
第一步：根据上述命题条件有a+b=-c；　①
第二步：根据七年级学过的整式运算法则有a=2a-a，b=2b-b，c=2c-c；　②
第三步：把②代入①，可得(2a-a)+(2b-b)=-(2c-c)；　③
第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2(a+b+c)=a+b+c；　④
第五步：把④两边同时除以(a+b+c)，得2=1.　⑤
请你判断上述推理过程中，第五 步是错误的，它违背了数学的基本法则.
五
4.(2025眉山)解方程：2(x-1)=2+x.
解：去括号，得2x-2=2+x.移项，得2x-x=2+2.合并同类项，得x=4.
5.(2025乌海模拟)解方程组：
解：②×3-①，得11y=22，解得y=2.
把y=2代入②，解得x=1.故原方程组的解为
6.(2025深圳)某学校采购体育用品，需要购买三种球类.已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球、足球的价格情况如下表：
请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价.
①篮球、足球、排球各买一个花费140元
②购买2个足球比购买1个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
解：设每个篮球x元，每个足球y元.
由题意，得(三个方程组任选一个即可)，
解得
答：每个篮球60元，每个足球50元.(共28张PPT)
第一部分　 基础过关
第二章　方程与不等式
第2讲　一元二次方程
知识梳理
考点过关
课后演练
一、一元二次方程的定义及其解
(1)只含有　1　个未知数，并且未知数的最高次数是　2　的整式方程，是一元二次方程，其一般形式：ax2+bx +c=0(a，b，c为常数，a≠0)，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项. (2)一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 1.若方程(m+1)-2x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=　3　.
2.将一元二次方程3x(x-1)=5(x+2)化成一般形式为3x2-8x-10 =0，其中二次项系数为　3　，一次项系数为　-8　，常数项为　-10　.
1
2
ax2+bx+c=0
3
3x2-8x-10=0
3
-8
-10
二、一元二次方程的常用解法
解法 形式 方程的根
直接开 平方法 x2=p(p≥0)或 (mx+n)2=p(p≥0，m≠0) x=±
x=
配方法 (x+m)2=n(n≥0) x=± -m
公式法 ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0) x=
因式分解法(包 含十字相乘法) (x-m)(x-n)=0 x=　m　或 x=　n　
x2-(p+q)x+pq=0 x=　p　或 x=　q　
±
±-m
m
n
p
q　
3.(1)解方程(x+3)2=25可得x1=　2　，x2=　-8　；
(2)解方程x2-2x+1=0可得x 1；
(3)解方程x2-x-1=0可得x1=，x2=；
(4)解方程(x-1)(x-2)=0可得x1=　1　，x2=　2　.
2　
-8　
x1=x2=1
1　
2　
三、一元二次方程的根的判别式与根的情况
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b2-4a c. 在实数范围内，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由其系数a，b，c确定： ①当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ=b2-4ac<0时，方程没有实数根. 4.一元二次方程x2-2x=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
温馨提示：判别式用来判定一元二次方程根的情况，而二次函数是没有判别式的，但它的零点方程有判别式.
b2-4ac
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
A
四、一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，若方程的两根为x1=，x2=，则x1+x2=　- 　，x1·x2= 　. 关于一元二次方程中根与系数之间的关系叫做韦达定理. 5.若x1，x2是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根，则x1+x2+x1x2= ( )

A.-3 B.-1
C.1 D.3
温馨提示：常见的运用韦达定理求值的类型有：(1)+=(x1+x2)2-2x1x2；(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2；(3)+=；(4)+==.
-
A
五、一元二次方程解的应用
平均增 长率、 降低率 问题 增长率=×100%. 设a为原来的量，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+x)n=b；设a为原来的量，x为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量，则有a(1-x) n=b. 6.某市2023年底森林覆盖率为64%.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2025年底森林覆盖率已达到69%.设这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是 ( )
A.0.64(1+x)=0.69　 B.0.64(1+x)2=0.69
C.0.64(1+2x)=0.69 D.0.64(1+2x)2=0.69
a(1-x)n=b
B
树干 问题 (1)设b为总支数，x为每次分支所得到的支数，则有1+x+x2=b. (2)设b为传播两轮后的总感染人数，x为每轮传播中1人导致的新增感染人数，则有(1+x)2=b. 7.(1)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出　9　个小分支.
(2)有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，则每轮传染中平均每人传染了　15　个人.
9　
15　
利润、 利息 问题 利润=售价-进价. 纯利润=售价-进价-其他费用. 利润率=×100%. 总利润=单件利润×销售量. 本息和=本金+利息. 利息=本金×利率×期数. 8.某商品的利润为每件10元时，能卖500件，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10件.为了赚8 000元利润，设涨价为x元，则可列得方程 ( )
A.(10+x)(500+10x)=8 000
B.(10+x)(500-10x)=8 000
C.(10-x)(500+10x)=8 000
D.(10-x)(500-10x)=8 000
图形 面积 问题 矩形的面积=长×宽. 三角形的面积=×底×高. 总面积=部分面积之和. 9.用一条长40 cm的绳子围成一个面积为75 cm2的矩形，此时矩形的长与宽分别为15 cm，5 cm.
进价
本金
B
15 cm，5 cm
互赠、 握手 问题 双循环问题：x人互赠礼物，则礼物共有x(x-1)件； 单循环问题：x人两两握手，则共握手的次数为x(x-1). 10.(1)参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，则共有　10　个队参加比赛.
(2)有n支球队参加足球小组联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共比赛6场，则n=　4　.
温馨提示：解一元二次方程的应用题，切勿忘记检验两个根是否都符合实际要求.
10
4
1.下列方程中，是一元二次方程的是 ( )
A.2x2-9=0　　　 B.x=
C.x2+7x-3y=0　　 D.x2+4=(x-1)(x-2)
2.若x=1是方程2x2-3x+5-a=0的根，则a的值是　　.
一元二次方程的定义及其解(★☆☆☆☆)
A
4
3.(2025呼伦贝尔模拟)解方程：x2-1=2(x+1).
一元二次方程的常用解法(★★☆☆☆)
解：(方法一：因式分解法)(x+1)(x-1)=2(x+1)，(x+1)(x-3)=0.
所以x+1=0或x-3=0.所以x1=-1，x2=3.
(方法二：配方法)整理，得x2-2x=3.配方，得(x-1)2=4.两边开平方，得x-1=±2.解得x1=-1，x2=3.
(方法三：公式法)整理，得x2-2x-3=0.因为a=1，b=-2，c=-3，所以Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0.所以x==1±2.所以x1=-1，x2=3.
4.(2025北京)若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值为 ( )
A.-4 B.-1 C.1 D.4
一元二次方程根的判别式与根的情况(★★★☆☆)
C
5.(2025广州)关于x的方程x2-x+k2+2=0的根的情况为 ( )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根
C
6.(2025河北)若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7.一元二次方程x2+4x-3=0的两根为x1，x2，则(x1-x2)2的值是　28　.
一元二次方程的根与系数的关系(★★★★☆)
C
28
8.(2025包头模拟)一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元/件时，平均每天可售出20件.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施.经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件.若该商店每天要实现1 400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价x元，则由题意可列出的方程为 ( )
A.(60-x)(20+4x)=1 400 B.(40-x)(20+4x)=1 400
C.(60-x)(20+2x)=1 400 D.(40-x)(20+0.5x)=1 400
一元二次方程解的应用(★★★★☆)
B
9.(2025新疆)如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个面积为40 m2的矩形场地.设矩形的宽为x m，根据题意，可列得方程( )
A.x(24-2x)=40
B.x(24-x)=40
C.2x(24-2x)=40
D.2x(24-x)=40
A
1.(2025安徽)下列方程中，有两个不相等的实数根的是 ( )
A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0
C.x2+x+1=0 D.x2+x-1=0
D
2.(2025广西)已知x1，x2是方程x2-20x-25=0的两个实数根，则x1+x2= ( )
A.-25 B.-20
C.20 D.25
C
3.(2025内江)若关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是 ( )
A.a≤2 B.a<2
C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1
C
4.(2025云南)某书店今年3月份盈利6 000元，5月份盈利6 200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是 ( )
A.6 000(1+x)2=6 200 B.6 000(1-x)2=6 200
C.6 000(1+2x)=6 200 D.6 000x2=6 200
A
5.(2025乌兰察布模拟)若关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为　-1　.
1
6.(2025赤峰模拟)解方程：x2-2x-8=0.
解：分解因式，得(x-4)(x+2)=0，解得x1=4，x2=-2.
7.(2025威海)如图，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块，请求出小路的宽度.
解：设小路的宽度为x m.
由题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9，
整理，得2x2-17x+8=0，
解得x=或x=8(舍去).
答：小路的宽度为m.
8.(2025南充)设x1，x2是关于x的方程(x-1)(x-2)=m2的两根.
(1)当x1=-1时，求x2及m的值；
解：把x1=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2，得m2=6，所以m=±，
所以(x-1)(x-2)=6，即x2-3x-4=0，解得x1=-1，x2=4，
故x2=4，m=±.
(2)求证：(x1-1)(x2-1)≤0.
证明：方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0，
因为Δ=4m2+1>0，
所以原方程有两个不相同实数根.
由根与系数的关系得x1+x2=3，x1x2=2-m2，
因为(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=2-m2-3+1=-m2≤0，
所以(x1-1)(x2-1)≤0.(共34张PPT)
第一部分　 基础过关
第二章　方程与不等式
第4讲　一元一次不等式(组)
知识梳理
考点过关
课后演练
一、不等式的有关概念
不等式的概念及分类 (1)用不等号(“<”“≤”“>”“≥”或“≠”)表示不等关 系的式子叫做不等式. (2)不等式常分两类：①表示大小关系的不等式；②表示不等关系的不等式. (3)常见不等式的基本符号有： 正数>0；负数<0；至少≥； 非正数≤0；非负数≥0；至多≤； 超过>；不小于≥；最少≥； 不超过≤；不大于≤；最多≤. 1.下列表达式中：
①x=1；②2x-2y<0；
③-3<0；④x≠3；
⑤x2+xy+y2.
其中是不等式的是② ④.(填序号)
2.一罐饮料净重500克，罐上标注脂肪含量≤0.5%，则这罐饮料中脂肪含量最多
2. 5克.
不等关系
②③④
2.5
不等式的解集 (1)一个含有未知数的不等式的解的全体叫做不等式的解集. (2)求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 3.(2025通辽模拟)不等式2x≥x-1的解集在数轴上表示正确的是 ( )
A　 B
C　　 D
温馨提示：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围，是所有解的集合.解集与解的关系：解集包括解，所有的解组成了解集.
未知数
解集
B
二、不等式的基本性质
不等式的三个基本性质 (1)性质1：不等式的两边都加上(或减去) 同一个数(或式子)，不等号的方向不变，即：如果a>b，那么a±c>b±c. (2)性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，即：如果a>b，c>0，那么ac>bc或>. (3)性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即：如果a>b，c<0，那么acA.a-1B.2a<2b
C.<
D.-a<-b
温馨提示：乘除一个数或整式时，一定要注意这个数或整式的正负性.
同一个数(或式子)
不变
不变
改变
D
三、一元一次不等式
概念及其一般形式 (1)只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，未知数的系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式. (2)一元一次不等式的一般形式：ax+b>0或ax+b≥0或ax+b<0或ax+b≤0(a≠0). 5.下列不等式中是一元一次不等式的是①④.(填序号)
①x>-3；②xy≥1；③x2<3；
④-≤1.
一个
①④
解一元一次不等式的步聚 (1)去分母； (2)去括 号； (3)移项 ； (4)合并同类 项； (5)系数化为1. 在步骤(1)(5)的变形中，一定要注意不等号的方向是否需要改变. 6.解不等式：
温馨提示：漏乘、变号是解不等式时特别需要注意的地方，在用数轴表达解集时应注意点的空心和实心之分.
去括号
移项
合并同类项
解：去分母，得5x-1>-3x-3.
移项，得5x+3x>-3+1.
合并同类项，得8x>-2.
系数化为1，得x>-.
不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
四、一元一次不等式组
概念及其解集 几个含有一个未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集. 7.下列不是一元一次不等式组的是 ( )
A.　　　　　　　B.
C. D.
公共部分
C
在解不等式的过程中要注意：(1)未知数的系数化为1时，如果不等式两边乘或除以负数，不等号的方向要改变；(2)用数轴表示不等式(组)的解集时要注意：大于向右画，小于向左画，同时注意空心圆圈与实心点的区别.
由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有以下四种情况：
类型(ax>b 同大取大
xa中间找
无解 大大小小
解不了
x>b
xa无解
8.分别写出下列四个不等式组的公共解集.
(1)　　　　　　　(2)
(3) (4)
【答案】(1)x≥2　(2)x<-3　(3)无解 (4)-39.解不等式组
解：由2(x+1)>x-1，解得x>-3.
由>3x，解得x<1.
故不等式的解集为-3温馨提示：若是求由多个(两个以上)一次不等式组成的不等式组的解集，可两两先取公共部分，再由所得多个公共部分找其最终的公共部分；或通过画数轴的方法把多个不等式的解集表示出来，再找公共部分.
五、不等式(组)的应用
(1)列不等式(组)解应用题的基本步骤和列方程(组)解应用题的步骤相类似. (2)列不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的不同之处：后者寻找的是等量关系，前者寻找的是不等量关系，并且解不等式(组)所得的结果通常为一个解集，需从解集中找出符合题意的答案. 10.小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶.已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买　3　瓶甲饮料.

温馨提示：解应用题判断是列不等式(组)还是列方程(组)的关键在于：审题时寻找题中有无关键字眼，如“至多”“至少”“超过”“不足”等.
3　
1.据气象部门记载，2025年9月28日，呼和浩特最高气温是22 ℃，最低气温是8 ℃，则当天呼和浩特气温t(℃)的变化范围是 ( )
A.t>22 B.t≤8
C.8不等式的有关概念(★★☆☆☆)
D
2.(2025鄂尔多斯模拟)下列说法中不一定成立的是 ( )
A.若a>b，则a+c>b+c
B.若a+c>b+c，则a>b
C.若a>b，则ac2>bc2
D.若ac2>bc2，则a>b
不等式的基本性质(★★★☆☆)
C
3.(2025江西)不等式-x+1>0的解集为x< 1.
4.(2025巴彦淖尔模拟)小明解不等式-≤1的过程如图所示，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程.
一元一次不等式的解法(★★☆☆☆)
x<1
解：错误的是①②⑤；正确解答过程如下：
去分母，得3(1+x)-2(2x+1)≤6.
去括号，得3+3x-4x-2≤6.
移项，得3x-4x≤6-3+2.
合并同类项，得-x≤5.
两边都除以-1，得x≥-5.
5.(2025内蒙古)不等式组的解集在数轴上表示正确的是 ( )
一元一次不等式组的解法(★★★☆☆)
C
6.(2025深圳)解一元一次不等式组并在如图所示的数轴上表示出来.
解：由不等式①，得x≥- 1.
由不等式②，得x< 4.
在数轴上表示为：
所以原不等式组的解集为-1≤x <4.
答案图
x≥-1
x<4
-1≤x<4
7.(2025内蒙古)
智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均a秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个.
不等式(组)的应用
(1)求a的值；
解：(1)由题意，得=25，解得a=8.经检验，a=8是原方程的解，且符合题意，所以a的值为8.
(2)现需要一定数量的苹果发往外地，采摘工作由多个机器人共同完成，每个机器人搭载4个相同的机械手，那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时，才能使采摘的苹果个数不少于10 000个？
1小时=3 600 s.设需要x个这样的机器人.由题意，得.因为x为正整数，所以x的最小值为6.
答：至少需要6个这样的机器人.
8.有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人.
(1)请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
解：(1)设1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为x人和y人.
根据题意，得
答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人.
(2)某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点.若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用.
设租用甲种客车a辆.
依题意，得解得4≤a<6.
因为a取整数，所以a=4或a=5.
因为5×400+1×280>4×400+2×280，
所以a=4时，租车费用最低，最低费用为4×400+2×280=2 160(元).
答：最节省的租车方案是租用甲种客车4辆，乙种客车2辆；最低费用为2 160元.
〔高分笔记〕求实际问题中的“至多”“至少”这类问题，常采用不等式锁定范围，即先根据题目的问题，直接设出未知数，列出不等式，求出相应的范围，再根据题目要求，求出相应的整数解或正整数解.
1.(2025广西)有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水(a>b)，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是 ( )
A.a+c>b+c B.a+c=b+c
C.a+cA
2.(2025吉林)不等式x-3>2的解集为 ( )
A.x>5 B.x<5
C.x>-1 D.x<-1
A
3.(2025福建)不等式x+1≤2的解集在数轴上表示正确的是 ( )
C
4.(2025山西)不等式组的解集是 ( )
A.x<2 B.x≥3 C.25.(2025泸州)若点(1，a-2)在第一象限，则a的取值范围是a>2 .
C
a>2
6.(2025南充)不等式组的解集是x>2，则m的取值范围是m≤ 3.
7.(2025黑龙江)关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是-2≤a<- 1.
m≤3
-2≤a<-1
8.(2025连云港)
如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等.
(1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？
解：(1)制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形硬纸片和4个长方形硬纸片，乙种需要2个正方形硬纸片和3个长方形硬纸片.
设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个.
根据题意，得
答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个.
(2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？
设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片，则w=2m+(100-m)=100+m.
由k=1>0，知w随m的增大而增大，所以当m最小时，w有最小值.
根据题意，得m≥，其中最小整数解为34.所以当m=34时，w=100+34=134.
答：至少需要134张正方形硬纸片.(共22张PPT)
第一部分　 基础过关
第二章　方程与不等式
第3讲　分式方程
知识梳理
考点过关
课后演练
一、分式方程的定义及其解
概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 1.下列式子是分式方程的有　③④　.(填序号)
①+2；②-1=0；③=2；
④+=7；⑤=.
温馨提示：π代表的是圆周率这一个特殊数字，不是未知数.
未知数
③④
分式 方程 的解 在分式方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根(使方程中的分母为0)，因此解分式方程要验根，其方法是代入最简公分母中，看分母是不是为　0　. 　　　　　　　　　　　　 　　　　　
2.已知x=2是分式方程+=1的解，那么实数k的值为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
最简公分母
0
B
二、解分式方程
基本 思想 把分式方程转化为整式方程. 3.分式与的最简公分母是x(x-3).
4.解分式方程+=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是 ( )
A.x+2=3　　　　　　B.x-2=3
C.x-2=3(2x-1) D.x+2=3(2x-1)
温馨提示：找最简公分母是解分式方程的关键，而因式分解又是找最简公分母的突破口.
整式方程
x(x-3)
C
解分 式方 程的 步骤 (1)去分母：方程的两边都乘 最简公分 母，约去分母，化成 整式方 . (2)解方程. (3)验根：把整式方程的根代入 最简公分母 中，看结果是不是0.若为0，为增根，需舍去；若不为0，是此方程的解. 5.(2025乌海模拟)解方程：=.
温馨提示：验根时，将根代入最简公分母中是能一步检测出根有无意义的最优方法，无须代入分式的各个分母中.
最简公分母
整式方程
最简公分母
解：去分母，得5(x+2)=3(2x-1).
去括号，得5x+10=6x-3.
移项，得5x-6x=-10-3.
合并同类项，得-x=-13.
系数化为1，得x=13.
检验：当x=13时，(x+2)(2x-1)≠0，
所以x=13是原分式方程的解.
三、列分式方程解应用题
解应用题的一般步骤： ①审清题意； ②合理设未知数； ③找相等的量； ④列、解方程； ⑤检验； ⑥作答. 6.(2025绥化)用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列出的方程为 ( )
A. =　　　　　　　　　B. =
C. = D. =

温馨提示：检验过程中要做到双验根，既要检验是否为方程的增根，又要检验根是否符合题意.
C
1.(2025呼伦贝尔模拟)分式方程-=1去分母，得 ( )
A.1+(1-x)=x-2 B.1-(1-x)=x-2
C.1-(1-x)=1 D.1+(1-x)=1
2.(2025宜宾)分式方程+=0的解为x=1 .
分式方程及其解法(★★☆☆☆)
A
x=1
3.(2025包头模拟)已知关于x的方程=1的解是负数，则a的取值范围是
( )
A.a<1 B.a<1且a≠0
C.a>1 D.a>1且a≠0
由分式方程根的情况确定字母的值或范围(★★★★☆)
B
4.(2025齐齐哈尔)如果关于x的分式方程+=2无解，那么实数m的值是 ( )
A.m=1 B.m=-1
C. m=1或m=-1 D. m≠1且m≠-1
C
〔高分笔记〕（1）有增根，即意味这个根是使得方程分母为0的值，由此判断出增根是多少；
（2）注意增根不是分式方程的解，当已知分式方程的解的范围时，要把增根排除.
5.［数学文化］(2025呼和浩特模拟)《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载有这样一道题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文.只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈(1丈=10尺).已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文.问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列出的方程是 ( )
A. -120= B. +=120
C. 120+= D. =+120
列分式方程解应用题(★★★☆☆)
B
6.(2025云南)某化工厂采用机器人A、机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1 000千克所用时间相等，求机器人A、机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料.
解：设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运(x+20)千克化工原料.
由题意，得，解得x=80.
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，
所以x+20=100.
答；机器人A每小时搬运80千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料.
1.(2025湖南)将分式方程=去分母后得到的整式方程为 ( )
A.x+1=2x B.x+2=1
C.1=2x D.x=2(x+1)
A
2.(2025深圳)某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵.若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是 ( )
A.-=3 B.-=3
C.=2× D.=2×
A
3.(2025黑龙江)已知关于x的分式方程-=3的解为负数，则k的取值范围为 ( )
A.k<-4 B.k>-4
C.k<-4且k≠- D.k>-4且k≠-
4.(2025长沙)分式方程=的解为x= .
5.(2025凉山)若关于x的分式方程+=3无解，则m=　-1　.
A
x=
-1
6.(2025广东)在解分式方程=-2时，小李的解法如下：
第一步：·(x-2)=-·(x-2)-2，
第二步：1-x=-1-2，
第三步：-x=-1-2-1，
第四步：x=4.
第五步：检验：当x=4时，x-2≠0.
第六步：所以原分式方程的解为x=4.
小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确，若不正确，请写出你的解答过程.
解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘一个不为0的数(或式子)，等式仍然成立.
小李的解答过程不正确，正确解答如下：
-2，1-x=-1-2(x-2)，1-x=-1-2x+4，-x+2x=-1+4-1，
解得x=2.
经检验，x=2是增根，
所以原方程无解.
7.［生活实际］(2025山西)如图，我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里.
解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里.
根据题意，得=22，
解得x=2.
经检验，x=2是原方程的根，且符合题意.
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里.

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