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(共30张PPT)
第一部分　 基础过关
第四章　三角形
第1讲　线、角、相交线与平行线
知识梳理
考点过关
课后演练
一、线的概念
线 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 (1)线段沿着一个方向无限延长就成为射线；线段向两方无限延长就成为直线；线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分. (2)直线的基本事实：两点确定一条直线； 线段的基本事实：两点之间，线段最短； 连接两点的线段的长度，叫做两点之间的距离. 1.如图所示，A，B，C是直线l上的三个点，图中共有线段条数是 ( )
A.1　　　　　　B.2
C.3 D.4
射线
直线
两点确定一条直线
两点之间，线段最短
线段的长度
C
垂直 (1)两条直线相交所成的角为90°时，则这两条直线相互垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足 . (2)从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　
2.如图所示，OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD　=　(填“>”“<”或“=”)PE.
温馨提示：(1)角平分线的性质定理和判定定理互为逆定理，在运用时要区分清楚；(2)两直线垂直时有角等于90°，反过来，有90°角时就有直线垂直；(3)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
垂直
垂线
垂足
垂线段的长度
垂线段
相等
平分线
=
二、垂直平分线
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　
3.如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点P，已知PA=5，则线段PB=　5　.
相等
垂直平分线
5
三、角
(1)定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，或者由一条射线绕着它的端点旋转形成的图形也叫做角. ①小于直角的角叫做锐角；大于直角而小于平角的角叫做钝角；度数是90°的角叫做直角. ②1周角=　2　平角=　4　直角=360°，1°=　60　'，1'=　60　″. (2)余角：两个角之和为　90　°. 补角：两个角之和为　180　°. 对顶角：一个角的两边是另一个角两边的反向延长线. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　
4.已知∠α与∠β互为余角，且∠α=23°，则∠β=　67°　.
5.已知∠A与∠B互为补角，且∠A=23°，则∠B=　157°　.
6.已知∠A与∠B互为对顶角，且∠A=23°，则∠B=　23°　.
温馨提示：(1)等角或同角的余角相等，等角或同角的补角相等；(2)对顶角相等.
锐角
钝角
直角
2
4
60
60
90
180
67°　
157°　
23°　
四、相交线与平行线
(1)相交线：同一平面内有一个交点的两条直线是相交线.
(2)平行线：同一平面内不相交的两条直线互相平行.
(3)平行线的判定及性质.
判定：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；
②同位角相等，两直线平行；
③内错角相等，两直线平行；
④同旁内角互补，两直线平行；
不相交
同位角
内错角
同旁内角互补
⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；
⑥平行于同一直线的两直线平行.
性质：①两直线平行，同位角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③两直线平行，同旁内角互补.
(4)两平行线的公垂线段的长度叫做两平行线之间的 距离.
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两平行线之间的距离
7.如图所示，下面推理过程正确的是 ( )
A.因为∠B=∠BCD，所以AB∥CD
B.因为AB∥CD，所以∠1=∠2
C.因为∠BAD+∠B=180°，所以AD∥BC
D.因为AD∥BC，所以∠1=∠B
C
温馨提示：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行.“在同一平面内”是其前提，离开了这个前提，不相交的直线就不一定平行了，因为在空间里存在着既不平行也不相交的两条直线，如正方体的有些棱所在的直线既不相交也不平行.
1.(2025贵州)下列图中能说明∠1=∠2一定成立的是 ( )
相交线(★★★★☆)
A
2.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD=110°，∠BOE=20°，则∠COE的度数为 ( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
B
3.一个角的补角为60°，则这个角的度数为 ( )
A.30° B.40° C.120° D.140°
角(★★★★☆)
C
4.(2025陕西)如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC.若∠1=52°，则∠2的度数为 ( )
A.76° B.74° C.64° D.52°
A
5.［教材改编］如图所示，可以得到DE∥BC的条件是 ( )
A.∠ACB=∠BAC
B.∠ABC+∠BAE=180°
C.∠ACB+∠BAD=180°
D.∠ACB=∠BAD
平行线的判定(★★★☆☆)
B
6.平面上五条直线l1，l2，l3，l4，l5相交的情形如图所示，根据图中所标示的角度，判断下列说法正确的是 ( )
A.l1与l2平行，l3与l4平行
B.l3与l4不平行，l4与l5不平行
C.l1与l2平行，l4与l5不平行
D.l1与l2平行，l4与l5平行
D
7.(2025新疆)如图，AB∥CD，∠1=50°，则∠2的度数是 ( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
平行线的性质(★★★★☆)
B
8.(2025辽宁)如图，点C在∠AOB的边OA上，CD⊥OB，垂足为D，DE∥OA.若∠EDB=40°，则∠ACD的度数为 ( )
A.50° B.120° C.130° D.140°
C
9.(2025凉山)如图，DF∥AB，∠BAC=120°，∠ACE=100°，则∠CED= ( )
A.30° B.40° C.60° D.80°
〔高分笔记〕遇到不只一组平行线时，要注意角度的相互转化.
B
1.下列图形中，MN的长为点M到直线a的距离的是 ( )
C
2.(2025呼伦贝尔模拟)若∠A=75°，则∠A的余角为 ( )
A.15° B.65° C.75° D.105°
A
3.(2025河南)如图，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为 ( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
C
4.(2025广西)在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示.测量线段AB的长度作为他此次跳远的成绩(最近着地点到起跳线的最短距离)，依据的数学原理是 ( )
A.垂线段最短
B.两点确定一条直线
C.两点之间，线段最短
D.两直线平行，内错角相等
A
5.(2025河北)榫卯结构的两个构件采取的是凹凸结合的连接方式，如图是其中一个构件的截面图，AD∥BC，∠ABC=70°，则∠BAD= ( )
A.70° B.100° C.110° D.130°
C
6.(2025湖北)数学中的“≠”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示.若∠1=56°，则∠2的度数是 ( )
A.34° B.44° C.46° D.56°
D
7.(2025呼和浩特模拟)如图，直线a，b被直线c所截.下列条件中，不能判定a∥b的是 ( )
A.∠2=∠4 B.∠1+∠4=180°
C.∠5=∠4 D.∠1=∠3
D
8.(2025烟台)如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD，∠1=30°，∠2=70°，则∠3的度数为 ( )
A.40° B.35° C.30° D.20°
A
9.(2025包头模拟)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD=50°，则∠BOC的度数为　140°　.
140°　
10.(2025通辽模拟)如图，E是AD延长线上一点.若添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为∠A+∠ABC=180°.
∠A+∠ABC=180°(共32张PPT)
第一部分　 基础过关
第四章　三角形
第5讲　锐角三角函数及其应用
知识梳理
考点过关
课后演练
一、锐角三角函数
基本概念：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.
∠A的正弦：sin A==；
∠A的余弦：cos A==；
∠A的正切：tan A==.
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cos A=，那么tan A的值是 ( )
A. B. C. D.
C
二、特殊角的三角函数值
几个特殊角的三角函数值：
三角函数 α
30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
1
2.在Rt△ABC中，cos A=，那么∠A的度数是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
C
三、解直角三角形
(1)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.
(2)直角三角形中的边角关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
①边与边的关系：a2+b2=c2；
②角与角的关系：∠A+∠B=90°；
③边与角的关系：sin A=cos B=，cos A=sin B=，tan A=，tan B=.
3.如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sin B=，AD=1，求BC的长.
解：在Rt△ABD中，因为sin B=，AD=1，
所以AB=3.
因为BD2=AB2-AD2，所以BD=.
在Rt△ADC中，因为∠C=45°，所以CD=AD=1.
所以BC=BD+DC=2+1.
四、仰角与俯角
(1)铅垂线：重力线方向的直线.
(2)水平线：与铅垂线垂直的直线.一般情况下，地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线.
(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角.
(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角.
4.如图所示，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是 ( )
A.∠BAD
B.∠ACB
C.∠BAC
D.∠DAC
D
五、坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面的夹角.
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即i==tan α，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡.
5.如图所示，某水库大坝的横截面为梯形ABCD，坝顶宽BC=3米，坝高为2米，背水坡AB的坡度i=1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°，则坝底AD的长度为(5+2 米.
(5+2)
六、方向角
方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角.
6.如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB的长是 ( )
A.2海里　　　　　 B.2sin 55°海里
C.2cos 55°海里 D.2tan 55°海里
温馨提示：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向.一般画图的方位为“上北下南，左西右东”.
C
1.(2025包头模拟)在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且(tan B-)(2sin A-)=0，则△ABC一定是 ( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.有一个角是60°的三角形
2.(2025广东)计算20-2sin 30°的结果是　0　.
锐角三角函数(★★★★☆)
D
0
3.(2025云南)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若AB=13，BC=5，则sin A=
( )
A. B.
C. D.
解直角三角形(★★★☆☆)
D
4.如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若BO=3，OD=DC，则BC的长为 ( )
A.3 B.3 C.6 D.3
〔高分笔记〕在解直角三角形时，若所求的线段(或角)不能直接求解，可以通过作出点到直线的距离或三角形的高线，转化成直角三角形进而求解.
B
5.(2025深圳)如图为人行天桥的示意图，若高BC的长为10米，斜道AC的长为30米，则sin A的值为 ( )
A. B.3 C. D.
三角函数的实际应用(★★★☆☆)
D
6.(2025内蒙古)如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量.他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处.从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°(A，B，C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A，B的距离为12 0 m.(结果保留根号)
120
7.(2025乌海模拟)如图，某东西方向的海岸线上有A，B两个码头，这两个码头相距60千米(AB=60). 有一艘船C在这两个码头附近航行，当船C航行了某一刻时，由码头A测得船C在北偏东55°，由码头B测得船C在北偏西35°.求码头A与船C的距离(AC的长).(结果保留3位有效数字，参考数据：sin 35°≈0.573 6，cos 35°≈0.819 2，tan 35°≈0.700 2)
解：由题意，得∠CAB=90°-∠PAC=90°-55°=35°，
∠CBA=90°-∠QBC=90°-35°=55°.
所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=90°.
在Rt△ACB中，AC=AB·cos∠CAB=60·cos 35°≈49.2(千米).
答：码头A与船C的距离约为49.2千米.
1.(2025天津)tan 45°-cos 45°的值等于 ( )
A.0 B.1 C.1- D.1-
A
2.(2025广西)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7，AC=3，则sin B= ( )
A. B. C. D.
B
3.某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为 ( )
A.米 B.米
C.米 D.米
B
4.(2025呼伦贝尔模拟)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5 cm，∠BAC的平分线交BC于点D，AD= cm，则BC=5 cm.
5
5.如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是　25　海里.
25
6.(2025呼和浩特模拟)一种可升降夹书阅读架(如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图(如图2)，测得底座AB高为2 cm，∠ABC=150°，支架BC为18 cm，面板长DE为24 cm，CD为6 cm，厚度忽略不计，则支点C离桌面l的高度为(9 +2)cm(结果保留根号).
(9+2)
7.(2025资阳)如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD.在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i=1∶3，AB=10 米，CD⊥BN(点A，B，C，D在同一竖直平面内).
(1)求平台BN的高度；
解：(1)
如图，过点B作BE⊥AM于点E，则∠AEB=90°.
因为斜坡AB的坡度i=，所以AE=3BE.
因为在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，
即(3BE)2+BE2=，所以BE=10米(负值舍去).
答：平台BN的高度是10米.
(2)求建筑物的高度(即CD的长).
如图，延长CD交AM于点F.
因为CD⊥BN，BN∥AM，所以CD⊥AM.所以四边形BDFE是矩形.
所以DF=BE=10米，BD=EF.设CD=x米，则CF=CD+DF=(x+10)米.
在Rt△ACF中，因为∠CAF=30°，所以AF=)(米).
在Rt△BCD中，因为∠CBD=60°，所以BD=x(米).
所以EF=BD=x米.由(1)有AE=3BE=3×10=30(米).
因为AF=AE+EF，所以-15.
所以CD=(15-15)米.
所以EF=BD=x米.由(1)有AE=3BE=3×10=30(米).
因为AF=AE+EF，所以-15.
所以CD=(15-15)米.
答：建筑物的高度为米.(共28张PPT)
第一部分　 基础过关
第四章　三角形
第4讲　特殊三角形
知识梳理
考点过关
课后演练
一、等腰三角形
定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角 形.
性质：①两腰相等，两底角相等；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；
③等腰三角形是轴对称图形，有　1　条对称轴.
判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形.
等腰三角形
重合
1
1.如图所示，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有 ( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
温馨提示：有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同时，在没有明确指定底角的等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进行讨论.注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然.
D
二、等边三角形
定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
性质：①三边相等；
②三个角相等，且都等于　60°　；
③等边三角形是轴对称图形，有　3　条对称轴.
判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形.
60°
3　
等腰三角形
2.如图所示，等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于 ( )
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
温馨提示：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形所具有的所有性质.
A
三、直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形.
性质：①直角三角形两个锐角互余；
②30°角所对的直角边等于斜边的一半；
③斜边上的中线等于斜边的一半；
④两直角边的平方和等于斜边的平方.
判定：①有一个角为90°的三角形是直角三角形；
②一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；
③如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
互余
一半
一半
3.如图所示，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为 .
温馨提示：勾股定理和逆定理在运用上不要混淆，勾股定理一般用于求边的长度，逆定理一般用作判定三角形的形状.
3
1.若等腰三角形的一个底角为70°，那么另外两个角的度数分别为 ( )
A.50°和70° B.40°和70°
C.55°和55° D.55°和70°
等腰三角形的性质与判定(★★★★☆)
B
2.(2025乌兰察布模拟)如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上的一点，且BA=BD，DA=DC，则∠C的度数为 ( )
A.30° B.36° C.40° D.45°
B
3.(2025赤峰模拟)如图，△ABC的内角平分线BQ与外角平分线CQ相交于点Q，过点Q作QH∥BC，交AB于点H，交AC于点R.若BH=5，HR=2，则CR的长为　3　.
〔高分笔记〕涉及等腰三角形的题目，若题目没有给出图形，往往意味着需要分类讨论.
3
4.(2025包头模拟)已知等腰三角形的一边长为6，一个内角为60°，则这个等腰三角形的周长为 ( )
A.18 B.20 C.21 D.24
等边三角形的性质与判定(★★★★☆)
A
5.(2025北京)如图，∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心、OA长为半径画弧，交射线ON于点B.若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为 ( )
A.80° B.100°
C.110° D.120°
B
6.如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE=DF.求证：△ABC是等边三角形.
证明：因为DE⊥AB，DF⊥BC，
所以∠AED=∠CFD=90°.
因为D为AC的中点，所以AD=CD.
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
所以Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
所以∠A=∠C.所以BA=BC.
因为AB=AC，所以AB=BC=AC.
所以△ABC是等边三角形.
7.下列各组线段能构成直角三角形的一组是 ( )
A.6，8，10　 B.7，12，13　 C.5，7，12　 D.3，5，6
直角三角形(★★★★☆)
A
8.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，P是BD的中点，若CP=4，则AD的长为 ( )
A.7 B.8
C.9 D.10
B
9.(2025连云港)如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙角线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为　2.4　m.
〔高分笔记〕在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边平方的关系，进而做出判断.
2.4
1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
A
2.(2025安徽)如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE=，则AC的长是 ( )
A.4 B.6
C.2 D.3
B
3.(2025贵州)如图，在 ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC=60°，以A为圆心、AB长为半径作弧，交BC于点E，则EC的长为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
D
4.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是有一块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为 ( )
A.7.5平方千米 B.15平方千米
C.75平方千米 D.750平方千米
A
5.(2025广西)如图，点A，D在BC的同侧，AB=BC=CA=2，BD=CD=，AD=-1 .
-1
6.(2025呼和浩特模拟)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD=ED=3，则BC的长为　6 　.
6
7. (2025长沙)如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，以点C为圆心、适当长为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P， 作射线CP交AB于点D.
(1)求∠BCD的度数；
解：(1)因为AB=AC，∠B=72°，
所以∠ACB=∠B=72°.
由作图可知，CD是∠ACB的平分线，
所以∠BCD=∠ACD=∠ACB=36°.
(2)若BC=2.5，求AD的长.
在△BCD中，由三角形内角和定理，得∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°，
所以∠BDC=∠B.所以CD=CB.
因为∠BDC=∠A+∠ACD，∠ACD=36°，
所以∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°.
所以∠A=∠ACD. 所以AD=CD.所以AD=BC.
因为BC=2.5，所以AD=2.5.
8. (2025河北)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC=AD，∠ACB=∠ADB，点F在ED上， ∠BAF=∠EAD.
(1)求证：△ABC≌△AFD；
证明：(1)因为∠BAF=∠EAD，
所以∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF，
即∠BAC=∠FAD.
又因为AC=AD，∠ACB=∠ADB，
所以△ABC≌△AFD(ASA).
(2)若BE=FE，求证：AC⊥BD.
由(1)知△ABC≌△AFD，所以AB=AF.
因为BE=FE，所以AE⊥BF，即AC⊥BD.(共25张PPT)
第一部分　 基础过关
第四章　三角形
第2讲　三角形的基本知识
知识梳理
考点过关
课后演练
一、三角形的边及主要线段
　　　　　　 　　　　　 　　　　　 (1)三角形任意两边之和大于第三边. (2)三角形三条中线、三条角平分线、三条高分别相交于一点. (3)三角形的中线把三角形分为两个面积相等的三角形. (4)三角形具有稳定性. (5)连接三角形任意两条边中点的线段叫做中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半. (6)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的一组数是 ( )
A.5，6，7 B.5，7，13
C.5，8，8 D.5，12，13
2.如图所示，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点.若AC=8，CD=5，则DE=　3　.
大于
B
3
二、三角形的角
(1)三角形的内角和等于180°，外角和等于360°. (2)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. (3)三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　
3.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠ACD的度数为 ( )
A.70° B.100° C.110° D.140°
180°
360°
C
三、三角形的分类
(1)等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. (2)等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形. (3)直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. (4)钝角三角形：有一个角大于90°的三角形叫做钝角三角形. (5)锐角三角形：三个内角都小于90°的三角形叫做锐角三角形. (6)三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，按边可分为不等边三角形和等腰三角形. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　
4.给出下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边的相等关系分类可分为等边三角形和不等边三角形；③三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.0个
B
1.下列图形中有稳定性的是 ( )
A.三角形 B.平行四边形
C.长方形 D.正方形
三角形的稳定性(★☆☆☆☆)
A
2.三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是 ( )
A.两点之间，线段最短
B.三角形的稳定性
C.三角形的任意两边之和大于第三边
D.三角形的内角和等于180°
B
3.(2025连云港)下列长度(单位：cm)的3根小木棒能搭成三角形的是 ( )
A.1，2，3 B.2，3，4
C.3，5，8 D.4，5，10
三角形的三边关系(★★☆☆☆)
B
4.(2025乌海模拟)现有3 cm，6 cm，9 cm，10 cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
5.(2025巴彦淖尔模拟)将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α等于 ( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
三角形的内角和定理及推论(★★★★☆)
D
6.(2025威海)如图，直线CF∥DE，∠ACB=90°，∠A=30°.若∠1=18°，则∠2等于 ( )
A.42° B.38° C.36° D.30°
〔高分笔记〕在三角形中求角的度数时，常用到三角形的内角和定理、外角与内角之间的数量关系、角平分线的定义、平行线的性质等，首先要明确所求的角和哪些三角形有关，若没有直接联系，可通过添加辅助线构建“桥梁”.
A
7.(2025连云港)如图，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
三角形的重要线段(★★★★☆)
C
8.(2025呼伦贝尔模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是AB，BC的中点，F是BD的中点.若AB=12，则EF=　3　.
3　
9.(2025包头模拟)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=　75°　.
75°　
1.(2025广东)如图，D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°，则∠EDF= ( )
A.20° B.40° C.70° D.110°
C
2.(2025南充)如图，把含有60°的直角三角板的斜边放在直线l上，则∠α的度数是 ( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
D
3.下列图形中，具有稳定性的是 ( )
B
4.(2025达州)如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为 ( )
A.21 B.14 C.13 D.9
C
5.如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EG，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是 ( )
A.线段DE B.线段BE
C.线段EF D.线段FG
B
6.(2025河北)平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n.若n为整数，则n的值可以为　2　.(写出一个即可)
7.(2025赤峰模拟)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，过点D作DE∥BC，交AC于点E.若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为39°.
2
39°
8.如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线.
(1)有四种说法：①BA=2BF；②∠ACE=∠ACB；③AE=BE；④CD⊥AB.其中错误的说法是　③　.
③
(2)若∠A=72°，∠ABC=28°，求∠DCE.
解：(2)因为∠A=72°，∠ABC=28°，所以∠ACB=80°.
因为CE是△ABC的角平分线，
所以∠ACE=∠BCE=40°.
因为∠A=72°，CD是△ABC的高，所以∠ACD=18°.
所以∠DCE=∠ACE-∠ACD=22°.
(3)若BG是△ABC的高，交CD于点H，∠A=72°，求∠DHB.
因为BG是△ABC的高，CD是△ABC的高，
所以∠AGH=∠ADC=90°.
因为∠A+∠ADC+∠DHG+∠AGH=360°，
所以∠DHG=108°.
所以∠DHB=180°-∠DHG=72°.
(4)若M是BC的中点，点D与点A重合，AB=16，BC=20，求FM的长.
因为∠A=90°，AB=16，BC=20，
所以AC==12.
因为FM是△ABC的中位线，所以FM=AC=6.(共25张PPT)
第一部分　 基础过关
第四章　三角形
第3讲　全等三角形
知识梳理
考点过关
课后演练
一、全等三角形的定义
(1)能够完全重合的两个图形叫做全等图形. (2)能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点叫做对应点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. (3)全等用符号“　≌　”表示，读作“全等于”.记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.如图所示，若△BOD≌△COE，则BO的对应边是CO，∠BDO的对应角是∠CEO.
全等
完全重合
对应点
对应边
对应角
≌　
全等于
对应
CO
∠CEO
二、全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应边相等；对应角相等. (2)全等三角形的对应角平分线、对应边的中线、对应边上的高相等. (3)全等三角形的周长相 等，面积相 等. 　　　　　 　　　　　　　　　　
2.如图所示，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A=36°，∠C'=24°，则∠B=120°.

相等
相等
相等
相等
相等
120°
三、全等三角形的判定
全等三角形的判定方法：
判定一：三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称“边边边”或“SSS”)；
判定二：有两边和它们的夹角分别对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)；
判定三：有两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(简称“角边角”或“ASA”)；
判定四：有两角及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等(简称“角角边”或“AAS”)；
判定五：有斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等(简称“斜边、直角边”或“HL”).
3.如图所示，a，b，c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是 ( )
温馨提示：(1)注意判定二是“边角边”而不是“边边角”，要区分清楚夹边；(2)对于直角三角形的判定，不只是“斜边、直角边”，其他的判定也可以运用.
D
1.［教材改编］数学综合与实践小组的同学想测量一个池塘两端A，B之间的距离，他们设计了如图所示的方案，在平地上选取能够直接到达点A和点B的一点C；连接BC并延长，使CE=BC；连接AC并延长，使CD=AC，连接DE并测量其长度，DE的长度就是A，B之间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是 ( )
A.SAS B.SSS
C.ASA D.AAS
全等三角形的判定(★★★★☆)
A
2.(2025青海)工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM=CN，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是 ( )
A.AAS B.SAS
C.SSS D.ASA
C
3.［条件开放］(2025鄂尔多斯模拟)如图所示，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D.请添加一个条件：∠B=∠ C，使△ABF≌△DCE.
∠B=∠C
4.(2025乌海模拟)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE=DF.求证：AB=AC.
证明：因为D是BC的中点，所以BD=CD.
因为DE⊥AB，DF⊥AC，
所以∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
所以Rt△BED≌△Rt△CFD(HL).
所以∠B=∠C.所以AB=AC.
5.如图所示，△ABC≌△CDE，若∠D=35°，∠ACB=45°，则∠DCE的度数为100°.
全等三角形的性质(★★★☆☆)
100°
6.(2025乌兰察布模拟)如图，△EFG≌△NMH，点H，G在线段EN上，若EH=1，NH=3，则HG的长为　2　.
2
7.如图所示，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.4 cm，DE=1.6 cm，求BE的长.
〔高分笔记〕遇全等，找准对应关系，进行角度和线段的转化，进而找到解决问题的突破口.
解：因为BE⊥CE，AD⊥CE，所以∠E=∠ADC=90°.所以∠EBC+∠BCE=90°.
因为∠ACB=90°，所以∠BCE+∠ACD=90°.所以∠EBC=∠DCA.
在△CEB和△ADC中，
所以△CEB≌△ADC(AAS).所以BE=CD，CE=AD=2.4 cm.
因为CD=CE-DE，DE=1.6 cm，所以CD=2.4-1.6=0.8(cm).所以BE=0.8 cm.
1.如图，△ABC≌△DCB.若AC=7，BE=5，则DE的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
A
2.如图，AB=AD，要利用“SSS”证明△ABC≌△ADC，只需要添加一个条件即可.添加的条件是 ( )
A.BC=DC B.BC=AC
C.BC=AD D.无法确定
A
3.(2025威海)我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是 ( )
A.BO=DO，AC⊥BD
B.∠DAC=∠BAC，AD=AB
C.∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA
D.∠ADC=∠ABC，BO=DO
D
4.(2025扬州)在如图所示的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是 ( )
A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C
C.BD=CD D.AD平分∠BAC
B
5.(2025巴彦淖尔模拟)如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线).你添加的条件是AC= BC.
AC=BC
6.(2025通辽模拟)如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角，且点E，A，B三点共线，CE=6，则阴影部分的面积是　18　.
18　
7. (2025南充)如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC.
(1)求证：△ABC≌△AED；
证明：(1)因为∠BAD=∠EAC，
所以∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD.
所以∠BAC=∠EAD.
在△ABC和△AED中，
所以△ABC≌△AED(SAS).
(2)求证：∠BCD=∠EDC.
由(1)得△ABC≌△AED，所以∠ACB=∠ADE.
因为AC=AD，所以∠ACD=∠ADC.
所以∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC.所以∠BCD=∠EDC.
8. (2025内江)如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC=DF，∠A=∠D，AB∥DE.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
证明：因为AB∥DE，所以∠B=∠E.
又因为AC=DF，∠A=∠D，
所以△ABC≌△DEF(AAS).
(2)若BF=4，FC=3，求BE的长.
解：因为△ABC≌△DEF，所以BC=EF.
所以BF+FC=CE+FC.
因为BF=4，FC=3，所以4+3=CE+3.
所以CE=4.
所以BE=BF+FC+CE=4+3+4=11.

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