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绝密★启用前
2026年数学花园探秘“迎春杯”科普活动上海复赛试卷
(五年级组2026年3月)
选手须知：
1、本卷共三部分，第一部分：认知题，共计40分：第二部分：填空题1，共计32分：
第三部分：填空题山，共计48分
2、答题前请将自已的姓名，座位号写在规定的位置
3、答题时不能使用计算工具
4、答题时间结束时试卷、答题卡和草稿纸将被收回
学生诚信协议：活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流
或讨论，我确定以下的答案均为我个人独立完成的成果。否则愿接受本次成绩无效的处罚.
签名：
一、认知题（每题10分，共40分)
【材料】：排序不等式：设a≤a,≤.≤a,b,≤b,≤≤bn为两组数，
C,C,…,Cn是b,b,…,b的任一排列，则
abn+abn-1+…+anb≤aC+a,C3+…+a,cn≤a,b+a,b+…+anbn
(反序和≤乱序和≤顺序和)，当且仅当a=a2=…=a,b=b=…=b
时，反序和等于顺序和.
【引例】：已知a,b,c为正数，求证：c++b≥a+b+c
a b c
证明：不妨设a≥b≥c>0
则ab≥ac≥bc,1≥1≥
c b a
由排序不等式可得：顺序和2乱序和
顺序和：ab.上+ac+bc.上=ab+e+c
b
a cb a
乱序和：ab上+ac.上+bc=b+a+c
b
所以b+a+bc≥b+a+c
c b a
即bc+ac+a驰
≥a+b+c,命题得证
a b c
当且仅当a=b=c,等号成立
-1-
【题目】：
1.设a,b,c为正数，利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc.
2.已知a,b,c为正数，求证：
a
≥上++
3.设a,a,a,…,an是n个互不相同的正整数，求证：
++++++
n2
4.已知a,b,c>0,求证、a一
b
+c。≤3
2a+b+c a+2b+c a+b+2c4
-2-
二、填空题I(每题8分，共32分)
5.己知P,Q都是质数，并且P×11-Q×93=2003,则
P×Q=】
6.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行.当乙驶过AB中
点15千米时，两车相遇：若乙比甲晚出发8分钟，则两车恰好相遇在AB
中点，相遇后继续往前，当乙到达A地时，甲距离B地还有25千米，AB
两地的距离为
千米
7.如果一个数至少为两位数，它的每一位数总比其右边位置的数大，
则称之为“下降数”，且规定下降数不是10的倍数，那么这样的下降
数共有
个
8.在100×100的方格棋盘的每个格子中都写上一个整数，使得任意两
个相邻（有公共边）的方格中的两数之差（大减小)都不超过20.那
么棋盘上至少有
个方格中写有同一个数.
三、填空题Ⅱ（每题12分，共48分）
9.如图，给定一个半径为10厘米的圆
和一个边长为15厘米的等边三角形，
将等边三角形围绕圆作平行移动，保持
三角形的上下方向不变（图形不旋转不
翻折，移动过程中每个时刻的三角形的
三边，与初始时刻的三角形的三边分别
平行)，而且使三角形与圆总有一个接
触点，这样等边三角形绕圆移动一周后
等边三角形所覆盖过的区域的外周长
是
厘米.（π取3.14）
-3-

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