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专题09 一次函数与反比例函数的综合问题（5大题型）
一次函数与反比例函数的综合问题是中考高频考点，主要考查两类函数的解析式求解、图象性质、交点问题，以及与几何图形（三角形、特殊四边形）、动点的综合应用。题型覆盖选择、填空、解答题，难度中等，核心是熟练掌握两类函数的基本性质，结合坐标法、数形结合思想、分类讨论思想解题，规范书写步骤，避免因自变量取值范围、分类不全丢分。
题型一： 比较大小(取值范围问题)
【例题1】（2025 广安）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y（m为常数，m≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标是（﹣8，1），点B的坐标是（n，﹣4）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）根据函数图象直接写出关于x的不等式kx+b的解集．
【答案】（1）一次函数的解析式为yx﹣3，反比例函数的解析式为y；
（2）x＜﹣8或0＜x＜2．
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：（1）把点A（﹣8，1）代入y，
得1，解得m＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为y，
把点B（n，﹣4）代入y，得﹣4，解得n＝2，
∴B（2，﹣4），
把A（﹣8，1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b得，
∴解得，
∴一次函数的解析式为yx﹣3；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为x＜﹣8或0＜x＜2，
∴关于x的不等式kx+b的解集x＜﹣8或0＜x＜2．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
求交点：联立一次函数与反比例函数解析式，解方程组得交点横坐标。 画图象：根据函数图象分布，确定上下位置关系。 定范围：以交点横坐标为分界，结合x≠0，写出一次函数值大于 / 小于反比例函数值的 x 取值范围。 4. 注意：分象限讨论，勿忘x≠0。
1．（2026·湖北黄石·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，．
(1)直接写出点、的坐标；
(2)求一次函数的解析式；
(3)根据图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解不等式，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键．
（1）运用反比例函数解析式求出点、的坐标即可；
（2）使用待定系数法求出一次函数的解析式；
（3）根据图象判断不等式的解集即可．
【详解】（1）解：将代入，得，
∴点坐标为，
将代入，得，
∴点坐标为；
（2）解：将 ，代入，得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（3）解：不等式，意味着反比例函数图象低于一次函数的图象，且两个函数的图象都在轴下方，
将代入，得，
解得：，
由图象可知，不等式的解集为．
2．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点．
(1)求，，，的值；
(2)若点与点关于轴对称，连接，，求的面积；
(3)根据图象，直接写出不等式的解集．
【答案】(1)的值为2，的值为，的值为1，的值为1
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形变化—轴对称，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，则可求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值；
（2）根据（1）所求可得直线的表达式，求出点C的坐标，进而得到点D的坐标，再根据列式求解即可；
（3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入，得，
反比例函数的表达式为．
把代入，得
．
把点和点代入一次函数，得
，解得
的值为2，的值为，的值为1，的值为1；
（2）解：由（1）可知直线的表达式为，
在中，当时，，
点的坐标为，
又点与点关于轴对称，
，
．
；
3．如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C． 点D，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，轴于点A，轴于点B，且，．
(1)求点D的坐标；
(2)求一次函数与反比例函数的表达式；
(3)根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
（1）把代入，得到，即可求解，
（2）证明得到，进而得到，根据可得，即得到，代入一次函数与反比例函数的表达式即可求解；
（3）根据一次函数的图象在反比例函数图象的下方即可求解；
【详解】（1）解：把代入得，，
∴点的坐标为；
（2）解：∵轴于点，
∴轴，
∴，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
把代入反比例函数得，，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
把代入一次函数得，，
∴，
∴一次函数的表达式为；
（3）解：由图可得，当时，一次函数的值小于反比例函数的值．
4．（2026·湖北·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图像于点，连接，．若，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（1）先根据点B的坐标，利用待定系数法可得反比例函数的解析式，从而可得点A的坐标，再根据点A、B的坐标，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
（2）先根据一次函数的解析式求出点C的坐标，根据反比例函数的解析式求出点M的坐标，再根据建立不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：将点代入，得，
则反比例函数的解析式为；
将点代入到反比例函数中，
得，
解得，即，
将点、代入中，
得，
解得，
则一次函数的解析式为；
（2）对于一次函数，
当时，，即，
∴，
∵轴，且，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得．
）解：根据图象知，不等式的解集为或．
题型二： 求三角形面积问题
【例题1】（2025 安徽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+4（a≠0）与反比例函数y（k≠0）的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2．
（1）求a与k的值；
（2）设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C，D，求△COD的面积．
【答案】（1）a，k＝6；
（2）16．
【分析】（1）把A点、B点代入y＝ax+4和反比例函数y，，即可求出a和k的值；
（2）根据（1）得出一次函数的表达式，进而求出C点和D点坐标，进而得出OC和OD的长度，即可求出△COD的面积．
【详解】解：（1）由题意得，
解得；
（2）由（1）知直线AB对应的一次函数表达式为，
令y＝0，得x＝8，所以OC＝8，
令x＝0，得y＝4，所以OD＝4，
故△COD的面积为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．
求关键点：求函数交点、与坐标轴交点坐标。 选底定高：以在坐标轴上的边为底，对应点纵坐标 / 横坐标为高。 公式计算：S= × 底 × 高；不规则三角形用割补法。 4. 坐标法：利用坐标差值算底和高，避免复杂几何转化。
1．（2025 扬州）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣1，6），B（m，﹣2）．
（1）求反比例函数、一次函数的表达式；
（2）求△OAB的面积．
【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为y＝﹣2x+4；（2）8．
【分析】（1）将点A（﹣1，6）代入可得反比例函数的解析式，再求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得；
（2）设一次函数的图象与x轴的交点为点C，先求出点C的坐标，再根据△OAB的面积等于△AOC 与△BOC 的面积之和即可得．
【详解】解：（1）由题意得：将点A（﹣1，6）代入，得：k＝﹣1×6＝﹣6，
所以反比例函数的表达式为，
将点B（m，﹣2）代入可得：，
∴B（3，﹣2），
将点A（﹣1，6），B（3，﹣2）代入y＝ax+b 得：，
解得，
所以一次函数的表达式为y＝﹣2x+4；
（2）如图，设一次函数的图象与x轴的交点为点C，
将y＝0代入一次函数y＝﹣2x+4得：﹣2x+4＝0，解得x＝2，
∴C（2，0），
∴OC＝2，
由（1）已得：A（﹣1，6），B（3，﹣2），
∴△AOC的OC边上的高为|6|＝6，△BOC的OC边上的高为|﹣2|＝2，
∴△OAB 的面积为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
【答案】(1)反比例函数的解析式为
(2)的面积为3
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握反比例函数和一次函数的性质．
（1）先将点代入到一次函数解析式中，求得点的坐标，进而求得k的值，即可解答；
（2）根据轴，得到点C的坐标，从而求得的长度，再根据一次函数的图象与轴相交于点，令，即可得到点A的坐标，从而求得的长度，最后由三角形面积公式即可解答．
【详解】（1）解：点是直线与反比例函数交点，
点坐标满足一次函数解析式，
，
，
，
，
，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：轴，，
，轴，
，
一次函数的图象与轴相交于点，
令，则，
，
，
，
的面积为3．
3．（2025 山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2．
（1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
（2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积．
【答案】（1）反比例函数的解析式为；点B的坐标为（0，4）；
（2）10．
【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，令x＝0，求出y的值，即可得点B的坐标；
（2）点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形ABDO的面积等于△AOB，△BOD面积的和即可求解．
【详解】解：（1）∵点C的坐标为（1，6），且在反比例函数的图象上，
∴，即k＝6，
∴反比例函数的解析式为；
设直线AC的解析式为y＝ax+b（a≠0），
把A、C两点坐标分别代入得：
，
解得：，
即直线AC的解析式为y＝2x+4；
上式中，令x＝0，y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
（2）∵点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2，
∴，
解得：x＝3；由题意知，OA＝2，OB＝4，
∴S四边形AODB＝S△AOB+S△BOD
＝10．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图象与性质是关键．
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，并与的图象在第一象限交于点C，轴，垂足为D，点B是的中点．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点是点C关于x轴的对称点，请求出的面积．
【答案】(1)一次函数的解析式为：；反比例函数的解析式为：
(2)24
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
（1）把，代入中，即可求得一次函数的解析式，根据，求得C点坐标，进而求得反比例函数解析式；
（2）交x轴于M点，，求得M点的坐标，即可求得的面积．
【详解】（1）解：∵直线y=kx+b交x轴于点A（-4，0），交y轴于点B（0，3）
∴把，代入中，
，
得，，
∴一次函数的解析式为：，
∵轴，垂足为D，点B是的中点，
∴，
∴，
∴C点的横坐标为4，把横坐标代入，
∴C点坐标为，
把代入，
∴求得，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：若点是点C关于x轴的对称点，
∴的坐标为，
设直线的解析式为，
把， 点代入，
∴，，
的解析式为，
交x轴于M点，
∴M点的坐标为，
∴
．
题型三： 与动点和三角形面积问题
【例题1】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的表达式及的值；
(2)若为反比例函数图象上的点，且，求满足条件的点坐标．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，求正切值．
（1）先求得点的坐标，待定系数法求得，进而求得的坐标和点的坐标，根据正切的定义，即可求解；
（2）先求得，则，进而根据三角形的面积公式可得，即可求解．
【详解】（1）解：将点代入中，
得，
，
将代入反比例函数中，得，
则反比例函数的表达式为：．
在中，令，则，
令，则．
在中，．
（2）由（1）得，，
，
．
，
在中，当时，，此时；
当时，，此时．
故点的坐标为或．
设动点坐标：设动点为 (x, y)，代入对应函数解析式表示坐标。 表示底 / 高：用含 x 的式子表示底边长或高。 列面积表达式：S= × 底 × 高，得到函数关系式。 4. 求解：根据面积等量关系列方程，求 x；结合取值范围取舍。
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)请直接写出关于的不等式的解集；
(3)若过点且平行于轴的直线与直线交于点为该直线上一动点，当的面积为21时，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)或
(3)点P的坐标为或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并灵活运用反比例函数的性质是关键．
（1）依据题意，由在反比例函数的图象上，则，可得反比例函数的解析式，将代入，求出后可得的坐标，再由待定系数法可得一次函数的解析式即可；
（2）根据一次函数的图象在反比例函数图象的下方时，的取值范围即为答案；
（3）设直线与直线的交点坐标为，把代入得，即，设，则，解出的值即可解答．
【详解】（1）解：由题意，在反比例函数的图象上，
．
反比例函数为，
将代入，
．
．
由题意，将，分别代入，得
，
解得，
一次函数为；
（2）解：∵当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式的解集为或；
（3）如图，
把代入得，
即，
设，
△的面积为21，
，
，
解得或，
的坐标为或．
2．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若是第二象限内双曲线上的点（不与点重合），连接，过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接．若的面积为，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，将代入，求得，再将点代入即可求解；
（2）设点，则，则．可得，分类讨论计算即可．
【详解】（1）解：由题意，将代入，
可知，
∴，
∴．
又点在上，
∴．
∴反比例函数为．
（2）解：如图，

设点，则，
∴．
∴,
由，
解得，，
则，
①由图可知，在第二象限当时，，
∴化简为，
∵，
∴此种情况不存在．
②由图可知，在第二象限当时，，
∴化简为，
解得或．
又∵，
∴．
综上，．
3．（2026·河南·一模）如图，点是反比例函数的图象上一点，是直线延长线上的一点，且，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连接，若．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)是线段的中点，将沿轴向左平移 个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求平移前点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为
(2)平移前点的坐标为
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，平移的性质，熟练掌握相关知识是关键．
（1）设点的坐标为，根据，可得点的坐标为，进而求出点的坐标为，结合，计算出的值；
（2）点的坐标为，结合题干可求出点的坐标为．由平移的性质可知，平移后的点的坐标为，将点坐标代入反比例函数的解析式，求出的值，从而得到平移前点的坐标．
【详解】（1）解：设点的坐标为，
∵是直线延长线上的一点，且，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴，
把代入，得，
，
解得，，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：设点的坐标为，
由（1）可知，点的坐标为，
∵是线段的中点，
∴点的坐标为，
将点向左平移个单位长度，所得的点的坐标为，
将，代入，得，
，
解得，，
∴平移前点的坐标为．
4．（2023·宁夏银川·二模）如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点，交反比例函数的图像于点C，其中．
(1)求直线与反比例函数的解析式；
(2)点P为线段上一个动点，过点P作轴，交反比例函数图像于点Q，连接，当面积最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)直线的解析式为；反比例函数的解析式为；
(2)点P的坐标为．
【分析】（1）过点C作轴于点F，通过证得，求得，，即可求得，即可求得，代入即可求得反比例函数的解析式，把点，分别代入，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）表示出Q的坐标，即可利用三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质，即可求得结论．
【详解】（1）解：∵点，，
∴，
过点C作轴于点F，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
把点，分别代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵点P为线段上一个动点，
∴设，
∵轴，
∴，
∴，
当时，的面积最大，其最大值为24，点P的坐标为．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，一次函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数的性质，表示出点的坐标是解题的关键．
题型四：与线段关系问题
【例题1】（2025 南充）如图，一次函数与反比例函数图象交于点A（﹣3，1），B（1，n）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）点C在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为a，过点C作x轴的垂线，交AB于点D，CD，求a的值．
【答案】（1）y＝﹣x﹣2，y＝﹣3；（2）a＝﹣6．
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）由题意可得，D（a，﹣a﹣2），因为，所以，即2a2+11a﹣6＝0，然后解方程并检验即可．
【详解】解：（1）设反比例函数解析式为，
∵经过点A（﹣3，1），
∴k1＝﹣3，
∴反比例函数为，
∵B（1，n）在图象上，n＝﹣3，
∴B（1，﹣3），
设一次函数解析式为y＝k2x+b（k2≠0），
∴.，
解得，
∴一次函数为y＝﹣x﹣2；
（2）∵CD⊥x轴，
∴，D（a，﹣a﹣2），
∵，
∴，即2a2+11a﹣6＝0，
∴a1＝﹣6，，
∵点C在第二象限，
∴a＝﹣6．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
坐标表示线段：两点横坐标 / 纵坐标相减得线段长（加绝对值）。 等量关系列方程：根据线段相等、倍数、和差关系列式。 联立求解：结合函数解析式，求点坐标或参数值。 4. 检验：验证点是否在函数图象上，排除增根。
1．如图1，已知反比例函数与直线交于点，B两点（点A在点B的左侧），点P是双曲线上第一象限内一动点．
(1)求反比例函数解析式及点B坐标；
(2)当的面积为8时，求此时P点坐标；
(3)如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线的垂线，交于点C，交x轴于点F，交y轴于点E，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式，求出a的值后，再代入反比例函数的解析式，求出k的值；
（2）过点P作y轴的平行线，交直线于点G，设点P的坐标为，则点G的坐标为．将转化为和，根据列方程并求解出t的值，从而得出点P的坐标；
（3）过点A作的平行线，交x轴于点H，连接，容易证出，，则，．在直角中，使用勾股定理可以得到与的关系．
【详解】（1）解：将点代入直线，得，
解得，
∴点A坐标为，
∵反比例函数的图象与直线都关于原点对称，
∴点A和点B也关于原点对称，
∴点B坐标为，
将点代入反比例函数，得，
解得，
∴反比例函数解析式为．
（2）解：如图过点P作y轴的平行线，交直线于点G，设点P的坐标为，
∵轴，
∴，
∴点G的坐标为，
∴，
点到的距离为，点到的距离为，
∴，
∵，
∴，即，
当时，
化简，得，
因式分解，得，
∴或（负值舍去）；
当时，
化简，得，
因式分解，得，
∴或（负值舍去）；
综上所述，或9，则点P的坐标为或．
（3）解：为定值，理由如下：
如图，过点A作的平行线，交x轴于点H，连接，
∵点A和点B关于原点对称，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
在直角中，，
∴,
∴为定值．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，直线围成的三角形面积问题，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握一次函数的解析式是解题关键．
2．（2024·广东·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于， 两点．
(1)求a的值；
(2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围；
(3)点P在线段上，连接，交反比例函数的图象于点Q，若，求点P的坐标．
【答案】(1)a的值为8
(2)的取值范围为或
(3)点的坐标为或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用（包括解析式求解、图象与不等式关系）、线段比例的坐标转化（利用共线点坐标比例关系）．解题的关键是：（1）利用反比例函数过已知点求参数，进而求未知点纵坐标；（2）结合两函数交点横坐标与图象位置判断不等式解；（3）通过“共线于原点的点横纵坐标成比例”转化线段比例，结合反比例函数性质求点坐标．
（1）将代入反比例函数求，再将代入反比例函数求；
（2）根据两交点、的横坐标，观察图象确定反比例函数在一次函数上方时的范围；
（3）先求一次函数解析式，设，由得，结合、、共线得的横纵坐标为的，代入反比例函数求，进而得坐标．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入，得，
解得，
∴反比例函数解析式为，
又∵点在的图象上，
∴将代入，得．
∴a的值为8．
（2）解：由（1）知两函数交点为、，观察图象可知，当反比例函数图象在一次函数图象上方时，的取值范围为或．
（3）解：∵一次函数过、，
∴代入得，
用第一个方程减第二个方程：，即，
解得，
将代入，得，即，
解得，
∴一次函数解析式为，
设点的坐标为（，因在线段上），
∵，且、、在同一直线上，
∴，即，
∵点在上，且为原点，
∴的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的（共线于原点的点，坐标成比例），
∴的坐标为，
又∵点在反比例函数的图象上，
∴将代入，得，
化简右边：，方程变为，
两边同乘去分母：，
即，
两边除以得，
因式分解：，
解得或，
当时，，此时；
当时，，此时，均在线段上，
故点的坐标为或．
3．（2024·四川成都·三模）如图，直线与双曲线的图象交于两点．
(1)若点坐标为点坐标为，求直线的解析式；
(2)在（1）的基础上，若点是双曲线上一点，，求点的坐标；
(3)若点坐标为点坐标为，点是线段上一动点，过点作轴，垂足为，并交双曲线于点，若当取最大值时，有，则的值为多少？
【答案】(1)
(2)点的坐标为或
(3)
【分析】（1）将点坐标为点坐标为代入y可得，从而得到，利用待定系数法列方程组求解即可得直线的解析式；
（2）过作轴，交于，如图所示，由（1）中，利用待定系数法求出反比例函数解析式，设，则，分两种情况：当点在直线下方的双曲线上；当点在直线上方的双曲线上（分点左侧部分或右侧部分两种情况），由，利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法列方程求解即可得到答案；
（3）根据在线段上，设出坐标，根据轴，垂足为，表示出坐标，进而表示出坐标，得到与，代入，利用二次函数性质求出最大值，以及此时的值，进而确定出坐标，代入双曲线解析式求出的值．
【详解】（1）解：∵直线与双曲线的交于两点，点坐标为点坐标为，
，
解得，
，
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：过作轴，交于，如图所示：
由（1）知，，
，
∴双曲线的解析式为y，
∵点是双曲线上一点，
∴设，则，
当点在直线下方的双曲线上，则，
，
∵，且，
∴，则，
由于，则当时，方程无解；
当点在直线上方的双曲线上（分点左侧部分或右侧部分两种情况），则，
，
∵，且或，
∴，则，
即，
或；
则点的坐标为或；
（3）解：∵直线与双曲线的交于两点，点坐标为点坐标为，
∴，，
将，代入得，
解得，
即直线为，
点是线段上一动点，
∴设，其中，
轴，
，
交双曲线于点，
，
，，
∴，
∵，，
∴当时，最大值为，即，
把代入得，
∴，
∴，即的值为．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，综合性强、难度较大，考查了反比例函数图象与性质、待定系数法确定一次函数表达式、待定系数法确定反比例解析式、平面直角坐标系中三角形的面积求法、解一元二次方程、二次函数的性质以及两点间的距离求法等知识，数形结合，熟练掌握函数与几何综合问题的求法是解决问题的关键．
4．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，且．
(1)求k的值；
(2)平移线段，使得点A的对应点C落在反比例函数的图象上，点B的对应点D落在x轴上．连接，求四边形的面积；
(3)在反比例函数的图象上取一点E、且E在直线的下方．设直线与直线相交于点F，当时，求满足条件的点E的坐标．
【答案】(1)
(2)；
(3)或或
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，平移的性质，利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
（1）设线段交轴于点，得到，求出的解析式为，求得，利用待定系数法即可求出答案；
（2）求出和，得到，即可求出答案；
（3）分三种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：如图，设线段交轴于点，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则
,
解得，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵对应点D落在轴上，
∴向下平移4个单位，
∵的对应点为点，
∴点的纵坐标为
∵点C落在反比例函数的图象上，
∴
∴点向右平移2个单位，向下平移4个单位得到点C，
∴，
∴，
∴四边形的面积为；
（3）解：设，，
直线的解析式为，
当点在第三象限时，
当点是的中点时，，
∴，
解得或（舍去）
∴，
当时，，，
∴
∴
∴，
解得（舍去）或
∴，
当点在第一象限时，
当时，，，
∴
∴
∴，
解得或（舍去）
∴，
当点是的中点时，，
∴，
解得（舍去）或，
∴，此时点E在直线的上方，不符合题意，舍．
综上可知，或或
题型五： 与特殊四边形问题
【例题1】（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标；
(3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)M点的坐标为或
(3)Q点坐标为
【分析】（1）将点代入，可求函数解析式，从而求出，将点A、B代入，可求一次函数解析式；
（2）连接，由O是的中点，可得的面积，设，根据的面积，求出t的值即可求M点坐标；
（3）设，，根据平行四边形对角线情况分三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：将点代入，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点A、B代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：连接，
∵直线与反比例函数交于C点，
∴A、C关于原点对称，
∴，
∴O是的中点，
∵的面积为8，
∴的面积，
设，
∴的面积，
当时，解得，
∴；
当时，解得，
∴；
综上所述：M点的坐标为或；
（3）解：存在点Q，理由如下：
设，，
当为对角线时，，
解得，
∴；
当为对角线时，，无解；
当为对角线时，，
解得，
∴；
点在反比例函数的图象的右支上，
∴．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
定四边形类型：平行四边形、矩形、菱形等，用判定定理转化为坐标关系。 坐标特征转化：→ 平行四边形：对边平行且相等、对角线互相平分；→ 矩形：对角线相等 + 平行四边形；→ 菱形：邻边相等 + 平行四边形。 列方程求解：用中点坐标公式、距离公式求点坐标。 4. 分类讨论：不同顶点为对角线端点，多情况分析。
1．（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点．
(1)点D的坐标为________；
(2)不等式的解集是________；
(3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积．
【答案】(1)
(2)或
(3)20
【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质：
（1）将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标；
（2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围；
（3）作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案．
【详解】（1）解：将代入得，
∴，
∴，
∵点与关于原点对称，
∴；
故答案为：；
（2）解：将代入得，
即反比例函数解析式为：，
由图象知，当或时，，
故答案为：或；
（3）解：作于，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴菱形的面积为．
2．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点P在轴上，当最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)点E在这个反比例函数的图象上，理由见解析
(2)①，；②
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）设点，连接交于H，推出，得到点的坐标，即可得解；
（2）①由四边形为正方形得到，垂直平分，设点，求出的值，即可得到点和点的坐标，进而求解；
②延长交轴于P，此时点即为所求，设直线的解析式为，求解即可．
【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图象上，理由如下：
设点，
∵点C关于直线的对称点为点E，
∴，平分，
如图，连接交于H，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵轴于D，
∴轴，
∴，
∵，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①∵四边形为正方形，
∴，垂直平分，
∴，
设点，
∴，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，，
代入得，
，
解得；
②∵点在轴上，
∴，，
∴，
∴，
∴，当且仅当、、三点共线时取等号；
延长交轴于P，此时点P即为符合条件的点；
由①知，，，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
故当最大时，点P的坐标为．
3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标；
(3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键．
（1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案；
（2）设，则，，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题；
（3）首先求出点的坐标，设，，再利用中点坐标公式可得点的横坐标，从而解决问题．
【详解】（1）解：过点作轴于，

对于一次函数，
当时，，
，
的面积为1．
，
，
当时，，
，
将点代入反比例函数得：
，
反比例函数解析式为；
（2）解：设，则，
，，
，
，
解得，
点在直线下方的双曲线上，
，
当时，，
；
（3）解：所有符合条件的点的坐标为或；理由如下：
当时，
解得或，
经检验，或都是方程的根，
，
设，，其中，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，，
当、为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：（舍去）；
综上所述，点的坐标为或．
4．（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过、两点．
(1)求点的坐标并直接写出、的值；
(2)在反比例函数图象上点的右方有一点，使，求点的坐标；
(3)如图，过点作轴，垂足为点，交的图象于点，点为轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)点或；
(3)存在，或或．
【分析】（1）过点作轴于点，作轴于点，结合正方形的性质用“角角边”证明、，再由全等三角形的性质即可求出点、的坐标，求出坐标后分别代入反比例函数即可得出、的值；
（2）延长交轴于点，由点、的坐标求出直线的解析式及线段的长，可得点坐标，过点作交轴于点，作交延长线为，结合题中所给的求出，再结合解直角三角形的应用、勾股定理求出，可得点坐标，从而求出直线解析式，由点是直线与反比例函数的交点，联立反比例函数解析式和直线解析式即可求出点横坐标，继而得解；
（3）先求出点坐标、的长，设点、，分三种情况讨论：当为对角线时；当为对角线时，当为对角线时．
【详解】（1）解：过点作轴于点，作轴于点，
，
正方形中，，，
平面直角坐标系中，
，，
，
在和中，
，
，
又，，
则，，
则点，
同理可得，，
，，
则点，
将点、的坐标分别代入两个函数表达式得：，；
（2）解：延长交轴于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，，
令，则，则点，
过点作交轴于点，作交延长线为，
则，
，
由直线的表达式知，，
，，
，
直线的表达式为：，由（1）知反比例函数的表达式为：，
点是直线与反比例函数的交点，
，
解得：或，
即点或；
（3）解：存在，理由：
当时，，即点，
设点、，
由点、的坐标得，
当为对角线时，
由中点坐标公式和得：
，解得：，
即点；
当或为对角线时，
同理可得：（无解）或，
解得：，
即点或，
综上，或或．
【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定与性质、求反比例函数解析式、求一次函数解析式、解直角三角形的应用、勾股定理、一次函数与反比例函数综合、反比例函数与几何综合、一元二次方程的实际应用，解题关键是分类讨论．
5．（2025·河北唐山·模拟预测）矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E；
(1)当点F运动到边的中点时，求点E的坐标；
(2)连接，求的正切值；
(3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意易得点、的坐标，再根据中点的性质得到点F的坐标，利用待定系数法求出的值，进而得到点E的坐标；
（2）根据反比例函数的图像性质得到点F、E的坐标，进而得到、的值，再利用计算即可；
（3）过点E作于点H，则、，根据折叠的性质得到、、，易证得，根据相似三角形的性质得到，进而得到，在中，利用勾股定理求出k的值，进而得到此时反比例函数的解析式．
【详解】（1）解：、，
、，
点F是边的中点，
，
点F在反比例函数的图像上，
，
，
反比例函数的解析式为，
将点的纵坐标代入得：，
，
；
（2）解：点的横坐标为，
，
，
点的纵坐标为，
，
，
在中，；
（3）解：过点E作于点H，如图：
、，
，
由折叠可知，、、，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
此时反比例函数的解析式为．
1．（2025 天津）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵反比例函数的k＝﹣9＜0，
∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
∵点A（﹣3，y1）在第二象限，
∴y1＞0，
又∵1＜3，
∴y2＜y3＜0，
∴y2＜y3＜y1．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
2．（2025 广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y的一支上．若点A的坐标为（4，），则第三级阶梯的高EF＝（　　）
A．4 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题涉及反比例函数的性质，已知点A在反比例函数y上，可先求出k的值，再根据“双曲线阶梯”的线段平行关系，设出相关点的坐标，利用反比例函数表达式列出等式，进而求出EF的长度．
【解答】解：∵点A（4，）在双曲线y上，
∴k＝46，
∴反比例函数的解析式为y，
∵BC＝1且BC与x轴平行，AB与y轴平行，点A坐标为（4，），
∴点C的横坐标比点A的横坐标小1，即横坐标为3，
∵点C在y上，
∴C点坐标为（3，2），
同理，DE＝1，则点E的横坐标为2，把x＝2代入y，则y＝3，
∴求得E点坐标为（2，3），
FG＝1，则点G的横坐标为1，把x＝1代入y，则y＝6，
∴G点坐标为（1，6），
观察图象可知，EF的长度等于点G的纵坐标减去点E的纵坐标，
即EF＝6﹣3＝3．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于理解反比例函数上点的坐标特征以及“双曲线阶梯”的线段位置关系．
3．（2025 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线y（k≠0）上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为﹣1，∠AOB＝∠ABO＝45°，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点A作MN∥x轴，交y轴于点N，作BM⊥MN，垂足为M，先证明△BMA≌△ANO（AAS），利用全等三角形性质得到点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：如图，过点A作MN∥x轴，交y轴于点N，作BM⊥MN，垂足为M，
∵∠AOB＝∠ABO＝45°，
∴AB＝AO，∠BAO＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
在△BMA和△ANO中，
，
∴△BMA≌△ANO（AAS），
∴AN＝BM＝1，ON＝AM，
∵点A的横坐标为﹣1，
∴A（﹣1，﹣k），
∴ON＝AM＝﹣k，
∴B（﹣1+k，﹣k﹣1），
∵点A、B在反比例函数图象上，
∴k＝（﹣1+k）（﹣1﹣k）＝1﹣k2，
整理得k2+k﹣1＝0，
解得k（舍去）或k．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键．
4．（2025 陕西）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点，则k的值为 　 　 ．
【答案】9．
【分析】先根据题意得出﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6，解得m＝3，n＝3，即A（3，3），再把A（3，3）代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点，
∴A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点关于原点O对称，
即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数，
∴﹣m＝m﹣6，﹣n＝n﹣6，
∴m＝3，n＝3，
∴A（3，3），
把A（3，3）代入，
得，
解得k＝9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，掌握以上性质是解题的关键．
5．（2025 新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线y（k2≠0）交于A（1，4），B（﹣4，n）两点，过点A作直线AC⊥AB交x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是　 　 ．
【答案】20．
【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为k，求出n的值，设C（c，0），根据AC⊥AB，利用勾股定理求出c的值，进而求出AB，AC的长，进而求出△ABC的面积即可．
【详解】解：∵直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线交于A（1，4），B（﹣4，n）两点，
∴1×4＝﹣4n，
∴n＝﹣1，
∴B（﹣4，﹣1），
设C（c，0），
则：AB2＝（1+4）2+（4+1）2＝50，AC2＝（c﹣1）2+42＝（c﹣1）2+16，BC2＝（c+4）2+12＝（c+4）2+1，
∵AC⊥AB，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴（c+4）2+1＝（c﹣1）2+16+50，
解得：c＝5，
∴C（5，0），
∴AC2＝（5﹣1）2+16＝32，
∴，
∵AB2＝50，
∴，
∴△ABC的面积是，
故答案为：20．
【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，掌握反比例函数是解题的关键．
6．（2025 甘肃）如图，一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A，交反比例函数y（k≠0，x＜0）的图象于点B（﹣1，a）．将一次函数y＝x+4的图象向下平移m（m＞0）个单位长度，所得的图象交x轴于点C．
（1）求反比例函数y的表达式；
（2）当△ABC的面积为3时，求m的值．
【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）m＝2．
【分析】（1）由点B在一次函数y＝x+4的图象上可求出点B的坐标，代入反比例函数表达式即可求出k；
（2）一次函数y＝x+4的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后的图象的表达式为y＝x+4﹣m，可求出点A的坐标（﹣4，0），点C坐标为（m﹣4，0），则AC＝m，再根据点B坐标可知△ABC的高，由△ABC的面积为3可列出关于m的方程，求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：﹣1+4＝a，
解得：a＝3，
∴点B坐标为（﹣1，3），代入比例函数y得：k＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为；
（2）一次函数y＝x+4的图象向下平移m（m＞0）个单位长度后的图象的表达式为y＝x+4﹣m，
令y＝0得：x+4﹣m＝0，
解得：x＝m﹣4，
∴点C坐标为（m﹣4，0），
∵一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A，
∴点A的坐标（﹣4，0），
∴AC＝m，
∵点B坐标为（﹣1，3），
∴，
∴m＝2．
【点睛】本题考查了函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，待定系数法求反比例函数的表达式等，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
7．（2025 眉山）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y的图象相交于A（1，4）、B（4，m）两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，求点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y；一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）P（﹣5，0）或（，0）．
【分析】（1）把A（1，4）代入y得4，得到反比例函数的解析式为y；把B（4，m）代入y得到B（4，1），把A（1，4）、B（4，1）代入y＝ax+b，解方程组得到一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）设P（m，0），根据勾股定理得到OA＝OD，求得OC＝5，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论．
【详解】解：（1）把A（1，4）代入y得4，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y；
把B（4，m）代入y得m1，
∴B（4，1），
∵一次函数y＝ax+b与反比例函数y的图象相交于A（1，4）、B（4，1）两点，
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）设P（m，0），
∵点D与点A关于点O对称，A（1，4），
∴OA＝OD，
∵直线AB与x轴交于C（5，0）
∴OC＝5，
∵△AOC与△POD相似，∠AOC＝∠POD，
∴或，
∴或，
∴OP＝5，OP，
∴P（﹣5，0）或（，0）．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
8．（2025 遂宁）如图，一次函数y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于A（﹣2，﹣2）、B（a，1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的关系式；
（2）结合图形，请直接写出不等式x＜0；
（3）点P（0，b）是y轴上的一点，若△ABP是以AB为直角边的直角三角形，求b的值．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y；一次函数解析式为yx﹣1；
（2）不等式x＜0的解集为﹣2＜x＜0或x＞2；
（3点P的坐标是（0，﹣6）或（0，9）．
【分析】（1）根据待定系数法即可得到答案；
（2）根据图象和A，B两点坐标可得出不等式x＜0的x的取值范围；
（3）根据直线AB的解析式和题意设出另一条直角边的解析式，然后分两种情况分别讨论即可求得P的坐标．
【详解】解：（1）∵A（﹣2，﹣2）在反比例函数y（k≠0）的图象上，
∴k＝（﹣2）×（﹣2）＝4，
∴反比例函数的解析式为y；
又∵B（a，1）在反比例函数y的图象上，
∴a＝3，
∴B（4，1），
把A（﹣2，﹣2），B（4，1）代入y＝mx+n（m≠0）得：
，
解得，
∴一次函数解析式为yx﹣1；
（2）解方程组得，，
∴不等式x＜0的解集为﹣2＜x＜0或x＞2；
（3）∵P（0，b）是y轴上的一点，且满足△ABP是以AB为直角边的直角三角形，AB的解析式为yx﹣1，
∴设另一条直角边的解析式为y＝﹣2x+b，
当直角顶点是A时，则有﹣2＝﹣2×（﹣2）+b，
解得b＝﹣6，
当直角顶点是B时，则有1＝﹣2×4+b，
解得b＝9，
∴点P的坐标是（0，﹣6）或（0，9）．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，求不等式的解集，直角三角形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
9．（2025 泸州）如图，一次函数y＝2x+b的图象与反比例函数y的图象的一个交点为A（2，6）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）将一次函数y＝2x+b的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y的图象相交于点B，C，求S△ABC的值．
【答案】（1）y＝2x+2，y＝12；（2）42．
【分析】（1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案；
（2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线BC解析式为y＝2x﹣10，则可求出B（﹣1，﹣12），C（6，2），过点A作ATⅡy轴交直线BC于T，则T（2，﹣6），再根据S△ABC＝S△ABT+S△ACT列式求解即可．
【详解】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过A（2，6），
∴6＝2×2+b，
∴b＝2，
∴一次函数解析式为 y＝2x+2；
∵反比例函数的图象经过A（2，6），
∴，
∴m＝12，
∴反比例函数解析式为；
（2）将一次函数y＝2x+2的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点B，C，
∴直线BC解析式为y＝2x+2﹣12＝2x﹣10，
联立，
解得或，
∴B（﹣1，﹣12），C（6，2），
如图所示，过点A作AT∥y轴交直线BC于T，
∵A（2，6），
∴点T的横坐标为2，
在y＝2x﹣10中，当x＝2时，y＝2×2﹣10＝﹣6，
∴T（2，﹣6），
∴AT＝6﹣（﹣6）＝12，
∴S△ABC＝S△ABT+S△ACT
＝18+24
＝42．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的问题，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键．
10．（2025 内江）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝k2x+b的图象相交于A（a，6）、B（﹣6，1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x+b0的解集；
（3）过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D．若点C横坐标为﹣4，求△BOD的面积．
【答案】（1）y，y＝x+7；（2）﹣6≤x≤﹣1；（3）8．
【分析】（1）先根据点B（﹣6，1）利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，x的取值范围；
（3）根据题意得出B（﹣6，1），D（﹣2，3），根据反比例函数k的几何意义得出S△BFO＝S△DEO＝3，则S△BOD＝S梯形BFED＝8，即可求解．
【详解】解：（1）∵反比例函数的图象过点B（﹣6，1），
∴k1＝﹣6×1＝﹣6，
故反比例函数的表达式为，
把点A（a，6）代入反比例函数得，，
解得a＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，6），
∵一次函数的图象经过A（﹣1，6）、B（﹣6，1）两点，
∴，解得，
故一次函数的表达式为y＝x+7；
（2）∵，
∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方，
∴﹣6≤x≤﹣1；
（3）∵点C横坐标为﹣4，代入y＝x+7，
解得：y＝﹣4+7＝3，
∴C（﹣4，3），
当y＝3时，代入，得，
解得：x＝﹣2，
∴D（﹣2，3），
如图，过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，
∵B（﹣6，1），D（﹣2，3），
∴DE＝3，BF＝1，EF＝﹣2﹣（﹣6）＝4，
∵S△BOD+S△BFO＝S梯形BFED+S△DEO，S△BFO＝S△DEO＝3，
∴S△BOD＝S梯形BFED（DE+BF）EF（3+1）×4＝8．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数k的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键．
11．（2025 苏州）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点D．连接CD．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值．
【答案】（1）点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，4）；
（2）k的值为16．
【分析】（1）在y＝2x+4中，令y＝0可得点A的坐标为（﹣2，0），令x＝0得点B的坐标为（0，4）；
（2）过点C作CE⊥BD，垂足为E，由△BCD是以BD为底边的等腰三角形可得BE＝DE，从而C（，8），根据点C在一次函数y＝2x+4的图象上，有8＝24，
即可解得k＝16．
【详解】解：（1）在y＝2x+4中，令y＝0得2x+4＝0，
解得x＝﹣2，
∴点A的坐标为（﹣2，0），
在y＝2x+4中，令x＝0得y＝4，
∴点B的坐标为（0，4）；
（2）过点C作CE⊥BD，垂足为E，如图：
∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形，
∴CB＝CD，
∵CE⊥BD，
∴BE＝DE，
在y中，令y＝4得x，
∴D（，4），
∴BE＝DE，
在y中，令x得y＝8，
∴C（，8），
∵点C在一次函数y＝2x+4的图象上，
∴8＝24，
解得k＝16，
∴k的值为16．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及反比例函数和一次函数图象上点坐标的特征，等腰三角形性质及应用等，解题的关键是用方字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
12．（2025 自贡）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y的图象交于点A（﹣2，a），点B是线段OA上异于端点的一点，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D．
（1）求k的值；
（2）若BD＝2，求点B坐标；
（3）双曲线y关于y轴对称的图象为y′，直接写出射线OA绕点O旋转90°后与y′的交点坐标．
【答案】（1）k＝﹣2；（2）；（3）射线OA绕点O旋转90°后与y的交点坐标为 （4，2）或 （﹣4，﹣2）．
【分析】（1）点A（﹣2，a）在反比例函数上，可得 a＝4，即A（﹣2，4），将A（﹣2，4）代入正比例函数 y＝kx中，进一步求解即可；
（2）设B（m，﹣2m），结合过点B作y轴的垂线．交反比例函数的图象于点D．可得，可得再解方程进一步求解即可；
（3）求解，如图，由旋转可得：OA＝OA，∠AOA'＝90°，过A作AK⊥x轴于K，过A作AL⊥x轴于L，证明△AOK≌△OAL，可得 A（4，2），证明A（4，2）在的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：A（﹣4，﹣2），从而可得答案．
【详解】解：（1）∵点A（﹣2，a）在反比例函数上，
∴a＝4，即A（﹣2，4），
将A（﹣2，4）代入正比例函数 y＝kx中，
得﹣2k＝4，
解得：k＝﹣2；
（2）∵B在直线 y＝﹣2x上，
设B（m，﹣2m），
∵过点B作y轴的垂线．交反比例函数的图象于点D，
∴
∵BD＝2，
∴，
整理得：m2﹣2m﹣4＝0
解得：，m（不符合题意舍去），
∴B（）
（3）∵双曲线y关于y轴对称的图象为y'，
如图，
由旋转可得：OA＝OA'，∠AOA'＝90°，
过A作AK⊥x轴于K，过A'作A'L⊥x轴于L，
∴∠AKO＝∠A'LO＝90°
∴∠AOK＝90°﹣∠A'OL＝∠OA'L
∴△AOK≌△OA'L，
∵A（﹣2，4），
∵OL＝AK＝4，A'L＝OK＝2，
∴A'（4，2），
当x＝4时，
∴A'（4，2）在的图象上；
由反比例函数是中心对称图形可得：A'（﹣4，﹣2），
∴射线OA绕点O旋转90°后与y'的交点坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键．
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专题09 一次函数与反比例函数的综合问题（5大题型）
一次函数与反比例函数的综合问题是中考高频考点，主要考查两类函数的解析式求解、图象性质、交点问题，以及与几何图形（三角形、特殊四边形）、动点的综合应用。题型覆盖选择、填空、解答题，难度中等，核心是熟练掌握两类函数的基本性质，结合坐标法、数形结合思想、分类讨论思想解题，规范书写步骤，避免因自变量取值范围、分类不全丢分。
题型一： 比较大小(取值范围问题)
【例题1】（2025 广安）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y（m为常数，m≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标是（﹣8，1），点B的坐标是（n，﹣4）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）根据函数图象直接写出关于x的不等式kx+b的解集．
求交点：联立一次函数与反比例函数解析式，解方程组得交点横坐标。 画图象：根据函数图象分布，确定上下位置关系。 定范围：以交点横坐标为分界，结合x≠0，写出一次函数值大于 / 小于反比例函数值的 x 取值范围。 4. 注意：分象限讨论，勿忘x≠0。
1．（2026·湖北黄石·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，．
(1)直接写出点、的坐标；
(2)求一次函数的解析式；
(3)根据图象，直接写出不等式的解集．
2．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点．
(1)求，，，的值；
(2)若点与点关于轴对称，连接，，求的面积；
(3)根据图象，直接写出不等式的解集．
3．如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C． 点D，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，轴于点A，轴于点B，且，．
(1)求点D的坐标；
(2)求一次函数与反比例函数的表达式；
(3)根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
4．（2026·湖北·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)设直线交轴于点，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图像于点，连接，．若，求的取值范围．
题型二： 求三角形面积问题
【例题1】（2025 安徽）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+4（a≠0）与反比例函数y（k≠0）的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2．
（1）求a与k的值；
（2）设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C，D，求△COD的面积．
求关键点：求函数交点、与坐标轴交点坐标。 选底定高：以在坐标轴上的边为底，对应点纵坐标 / 横坐标为高。 公式计算：S= × 底 × 高；不规则三角形用割补法。 4. 坐标法：利用坐标差值算底和高，避免复杂几何转化。
1．（2025 扬州）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（﹣1，6），B（m，﹣2）．
（1）求反比例函数、一次函数的表达式；
（2）求△OAB的面积．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
3．（2025 山西）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y（x＞0）的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y（x＞0）的图象上，纵坐标为2．
（1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
（2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积．
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，并与的图象在第一象限交于点C，轴，垂足为D，点B是的中点．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点是点C关于x轴的对称点，请求出的面积．
题型三： 与动点和三角形面积问题
【例题1】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的表达式及的值；
(2)若为反比例函数图象上的点，且，求满足条件的点坐标．
设动点坐标：设动点为 (x, y)，代入对应函数解析式表示坐标。 表示底 / 高：用含 x 的式子表示底边长或高。 列面积表达式：S= × 底 × 高，得到函数关系式。 4. 求解：根据面积等量关系列方程，求 x；结合取值范围取舍。
1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)请直接写出关于的不等式的解集；
(3)若过点且平行于轴的直线与直线交于点为该直线上一动点，当的面积为21时，求点的坐标．
2．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若是第二象限内双曲线上的点（不与点重合），连接，过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接．若的面积为，求点的坐标．
3．（2026·河南·一模）如图，点是反比例函数的图象上一点，是直线延长线上的一点，且，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连接，若．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)是线段的中点，将沿轴向左平移 个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求平移前点的坐标．
4．（2023·宁夏银川·二模）如图，平面直角坐标系中，直线交y轴于点，交x轴于点，交反比例函数的图像于点C，其中．
(1)求直线与反比例函数的解析式；
(2)点P为线段上一个动点，过点P作轴，交反比例函数图像于点Q，连接，当面积最大时，求点P的坐标．
题型四：与线段关系问题
【例题1】（2025 南充）如图，一次函数与反比例函数图象交于点A（﹣3，1），B（1，n）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）点C在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为a，过点C作x轴的垂线，交AB于点D，CD，求a的值．
坐标表示线段：两点横坐标 / 纵坐标相减得线段长（加绝对值）。 等量关系列方程：根据线段相等、倍数、和差关系列式。 联立求解：结合函数解析式，求点坐标或参数值。 4. 检验：验证点是否在函数图象上，排除增根。
1．如图1，已知反比例函数与直线交于点，B两点（点A在点B的左侧），点P是双曲线上第一象限内一动点．
(1)求反比例函数解析式及点B坐标；
(2)当的面积为8时，求此时P点坐标；
(3)如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线的垂线，交于点C，交x轴于点F，交y轴于点E，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
2．（2024·广东·模拟预测）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于， 两点．
(1)求a的值；
(2)根据图象，直接写出满足 时x的取值范围；
(3)点P在线段上，连接，交反比例函数的图象于点Q，若，求点P的坐标．
3．（2024·四川成都·三模）如图，直线与双曲线的图象交于两点．
(1)若点坐标为点坐标为，求直线的解析式；
(2)在（1）的基础上，若点是双曲线上一点，，求点的坐标；
(3)若点坐标为点坐标为，点是线段上一动点，过点作轴，垂足为，并交双曲线于点，若当取最大值时，有，则的值为多少？
4．（2026·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，且．
(1)求k的值；
(2)平移线段，使得点A的对应点C落在反比例函数的图象上，点B的对应点D落在x轴上．连接，求四边形的面积；
(3)在反比例函数的图象上取一点E、且E在直线的下方．设直线与直线相交于点F，当时，求满足条件的点E的坐标．
题型五： 与特殊四边形问题
【例题1】（2026·四川成都·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于和两点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)如图，直线与反比例函数的图象的另一个交点为点，点在反比例函数的图象的右支上，当的面积为8时，求点的坐标；
(3)在第（2）问的条件下，若点为轴上的点，则在反比例函数的图象的右支上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
定四边形类型：平行四边形、矩形、菱形等，用判定定理转化为坐标关系。 坐标特征转化：→ 平行四边形：对边平行且相等、对角线互相平分；→ 矩形：对角线相等 + 平行四边形；→ 菱形：邻边相等 + 平行四边形。 列方程求解：用中点坐标公式、距离公式求点坐标。 4. 分类讨论：不同顶点为对角线端点，多情况分析。
1．（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点．
(1)点D的坐标为________；
(2)不等式的解集是________；
(3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积．
2．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点P在轴上，当最大时，求点P的坐标．
3．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标；
(3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．
4．（2025·山东济南·模拟预测）已知：如图，在平面直角坐标系中点，，以为顶点在第一象限内作正方形，反比例函数，分别经过、两点．
(1)求点的坐标并直接写出、的值；
(2)在反比例函数图象上点的右方有一点，使，求点的坐标；
(3)如图，过点作轴，垂足为点，交的图象于点，点为轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得点、、、四点构成的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2025·河北唐山·模拟预测）矩形中，，．分别以，所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E；
(1)当点F运动到边的中点时，求点E的坐标；
(2)连接，求的正切值；
(3)如图2，将沿折叠，点C恰好落在边上的点G处，求此时反比例函数的解析式．
1．（2025 天津）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1
2．（2025 广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G均在双曲线y的一支上．若点A的坐标为（4，），则第三级阶梯的高EF＝（　　）
A．4 B．3 C． D．
3．（2025 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线y（k≠0）上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为﹣1，∠AOB＝∠ABO＝45°，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 陕西）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A（m，n），B（m﹣6，n﹣6）两点，则k的值为 　 　 ．
5．（2025 新疆）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x+b（k1≠0）与双曲线y（k2≠0）交于A（1，4），B（﹣4，n）两点，过点A作直线AC⊥AB交x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是　 　 ．
6．（2025 甘肃）如图，一次函数y＝x+4的图象交x轴于点A，交反比例函数y（k≠0，x＜0）的图象于点B（﹣1，a）．将一次函数y＝x+4的图象向下平移m（m＞0）个单位长度，所得的图象交x轴于点C．
（1）求反比例函数y的表达式；
（2）当△ABC的面积为3时，求m的值．
7．（2025 眉山）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y的图象相交于A（1，4）、B（4，m）两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似，求点P的坐标．
8．（2025 遂宁）如图，一次函数y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于A（﹣2，﹣2）、B（a，1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的关系式；
（2）结合图形，请直接写出不等式x＜0；
（3）点P（0，b）是y轴上的一点，若△ABP是以AB为直角边的直角三角形，求b的值．
9．（2025 泸州）如图，一次函数y＝2x+b的图象与反比例函数y的图象的一个交点为A（2，6）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）将一次函数y＝2x+b的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y的图象相交于点B，C，求S△ABC的值．
10．（2025 内江）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图象与一次函数y＝k2x+b的图象相交于A（a，6）、B（﹣6，1）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x+b0的解集；
（3）过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D．若点C横坐标为﹣4，求△BOD的面积．
11．（2025 苏州）如图，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象交于点D．连接CD．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值．
12．（2025 自贡）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y的图象交于点A（﹣2，a），点B是线段OA上异于端点的一点，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D．
（1）求k的值；
（2）若BD＝2，求点B坐标；
（3）双曲线y关于y轴对称的图象为y′，直接写出射线OA绕点O旋转90°后与y′的交点坐标．
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