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2026年四川省泸州市龙马潭区中考数学第一次适应性试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（-2）0的相反数等于（　　）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
2.由DeepSeek开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内AI产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000.将数据22150000用科学记数法表示为（　　）
A. 0.2215×108 B. 2.215×107 C. 2.215×106 D. 22.15×106
3.若⊙O内有一点P，点P到圆心O的距离为5，则⊙O的半径r可以是（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4.下列计算正确的是（　　）
A. a2 a6=a8 B. a8÷a4=a2 C. D. （-3a）2=-9a2
5.下列说法正确的是（　　）
A. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则甲组数据比乙组数据大
B. 从1，2，3，4，5，中随机抽取一个数，是偶数的可能性比较大
C. 数据3，5，4，1，-2的中位数是3
D. 若某种游戏活动的中奖率是30%，则参加这种活动10次必有3次中奖
6.已知一个圆锥的底面半径为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（　　）
A. 20π B. 20 C. 40π D. 40
7.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，⊙O的半径为6，则BD的长为（　　）
A.
B.
C.
D. 3
8.下列说法中，正确的是（　　）
A. 同心圆的周长相等 B. 面积相等的圆是等圆
C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 平分弧的弦一定经过圆心
9.如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG=GE，AF=4，BF=2，△ADG的面积为，则DF的长度为（　　）
A.
B. 1
C.
D. 2
10.如图，已知△ABC，∠C=90°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N；
②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在△ABC的内部相交于点P；
③作射线AP交BC于点D；
④分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于点G，H；
⑤作直线GH分别交AC，AB于点E，F．
若AF=3，CE=1，则△ACD的面积是（　　）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
11.如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，的值是（　　）
A.
B.
C.
D.
12.已知抛物线y=ax2+bx+c,对任意的自变量x都有ax2+bx≥4a+2b,若该抛物线过点A（4-m,y1），B（m+1，y2），B（m+1，y2），且y1＜y2，则m的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
13.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
14.分解因式：2m2-18= ．
15.已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2-7x+12=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______．
16.关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 .
17.定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a,θ）变换.现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2为第二次变换，…，经γ（n,180°）变换得△AnBnCn，则点C2025的坐标是 .
三、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中a=5，b=-2.
20.(本小题10分)
近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目.学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球.若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元.
（1）篮球、足球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个.要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案.
21.(本小题10分)
岳阳市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的统计图．
（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是______人，m=______；
（2）补全条形统计图，若该小区有居民1500人，试估计去C景区旅游的居民约有多少人？
（3）甲、乙两人暑假打算游玩，甲从B、C两个景点中任意选择一个游玩，乙从B、C、E三个景点中任意选择一个游玩，用列表法或树状图法求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．
22.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B（b,3）.
（1）求b,k的值；
（2）点C是x轴正半轴上一点，连接BC交反比例函数于点D，连接AD，若BD=2CD，求△ABD的面积.
23.(本小题12分)
如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去B、C两港装载物资，B港位于C港西南方向，最后都运送到D港.甲货轮沿A港的南偏东30°方向航行60海里后到达B港，再沿北偏东75°航行一定距离到达D港.乙货轮沿A港的正东方向航行一定距离到达C港，装载好货物后再沿正南方向航行一定距离到达D港.（参考数据：，，）
（1）求A、C两港之间的距离（结果保留根号）.
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、C两港的时间相同），哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明.
24.(本小题12分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，过D作DH⊥AC于H，连接DE并延长交BA的延长线于点F.
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）连接OH交DF于G，若，OA=1，求AF的值.
25.(本小题12分)
如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AECP的最大面积；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】D
12.【答案】A
13.【答案】x≥-1
14.【答案】2(m+3)(m-3)
15.【答案】5
16.【答案】-2≤a＜-1
17.【答案】
18.【答案】．
19.【答案】解：原式=÷
=
=，
当a=5，b=-2时，
原式==．
20.【答案】解：（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
根据题意得：，
解得：，
∴篮球的单价是110元，足球的单价是80元；
（2）设购买m个篮球，则购买（100-m）个足球，
根据题意得：，
解得：≤m≤40，
设学校购买篮球和足球的总费用为w元，
则w=110m+80（100-m），
即w=30m+8000，
∵30＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵≤m≤40，且m为整数，
∴当m=34时，w取得最小值，
此时100-m=100-34=66（个），
∴最省钱的一种购买方案为：购买34个篮球，66个足球．
21.【答案】（1）200；35；
（2）样本中，去C景区旅游的居民人数为200-20-70-20-50=40，
条形统计图为：
1500×=300（人），
所以估计去C景区旅游的居民约有300人；
（3）画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中甲、乙恰好游玩同一景点的结果数为2，
所以甲、乙恰好游玩同一景点的概率==．
22.【答案】， △ABD的面积为1
23.【答案】海里；
甲货轮先到达D港
24.【答案】证明过程见解答．
AF的值为2．
25.【答案】解：（1）将A（0，1），B（9，10）代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式y=x2-2x+1；
（2）∵AC∥x轴，A（0，1），
∴x2-2x+1=1，解得x1=6，x2=0（舍），即C点坐标为（6，1），
∵点A（0，1），点B（9，10），
∴直线AB的解析式为y=x+1，设P（m，m2-2m+1）
∴E（m，m+1），
∴PE=m+1-（m2-2m+1）=-m2+3m．
∵AC⊥PE，AC=6，
∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC=AC EF+AC PF
=AC （EF+PF）=AC EP=×6（-m2+3m）=-m2+9m=-（m-）2+，
∵0＜m＜6，
∴当m=时，四边形AECP的面积最大值是，此时P（，-）；
（3）存在，Q点坐标为（4，1）或（-3，1），理由如下：
∵y=x2-2x+1=（x-3）2-2，
P（3，-2）．PF=yF-yp=3，CF=xc-xF=3，
∴PF=CF，
∴∠PCF=45°，
同理可得∠EAF=45°，
∴∠PCF=∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件得点Q，设Q（t，1）且AB=9，AC=6，CP=3，
∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，=，=，
解得t=4，
Q（4，1）；
②当△CQP∽△ABC时，∴=，
=，
解得t=-3，
Q（-3，1）．
综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为（4，1）或（-3，1）．
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