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2025-2026学年广东省汕头市濠江区九年级（下）段考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在一次数学测验中，比平均分高5分记作+5分，那么比平均分低8分应记作（　　）
A. -8 B. +8 C. -8分 D. 8分
2.我国的陆地面积约为9600000km2，数字9600000用科学记数法表示为（　　）
A. 9.6×106 B. 96×105 C. 9.6×107 D. 0.96×107
3.我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
4.化简的结果是（　　）
A. 10 B. 20 C. 40 D.
5.将不等式x+1≥2的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A. B.
C. D.
6.如图是我国古代一种瓷枕，其主视图为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G.若∠ABE=130°，∠CDF=150°，则∠EGF的度数是（　　）
A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°
8.《增删算法统宗》是清代数学家梅珏成对明代数学家程大位所著的《算法统宗》进行增删修正后著成的珠算书，其中记载了一道“绳索量竿”的问题，大意是：有一根竿子和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，设竿长x尺，绳索长y尺，可列方程组为（　　）
A. B. C. D.
9.若正多边形的一个内角是160°，则该多边形的边数是（　　）
A. 十二 B. 十八 C. 十 D. 十六
10.如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，CH为边AB的高，AC=3，E，F分别为边AC，BC上的动点，且EH⊥FH.设CE的长为x,△CEF的面积为y,图（b）为点E运动时y随x变化的关系图象，则AB的长度为（　　）
A. 4 B. 5 C. D. 6
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.多项式πr2h+πr3中各项的公因式是 .
12.计算：= .
13.若关于x,y的方程组的解满足x+y=1，则3m×3n的值为 .
14.从下列各数3.14、、0、π、0.323223222 、、中随机选1个数，则选到无理数的概率是 .
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D在线段BC上，且∠BAD=45°，若AC=4，CD=1，则BD的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
小明在学习了等式的基本性质后，对等式5m-2=3m-2进行变形，得出“5=3”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示：
将等式5m-2=3m-2变形，
两边同时加2，得5m=3m,（第①步）
两边同时除以m,得5=3.（第②步）
（1）第______步等式变形产生错误；
（2）请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出m的值.
17.(本小题7分)
图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背AB和小桌板CD，点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得BC=38cm,∠ABC=24°.求点C到靠背AB的距离.（精确到0.1cm）.
18.(本小题7分)
快递仓库使用某型号机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名工人的工作效率的15倍，用这台机器人分拣6000件货物比20名工人分拣6000件货物慢小时.求一名工人和这台机器人每小时分别可分拣多少件货物？
19.(本小题9分)
某大型超市为优化停车收费标准，需了解车辆在本超市的停车场内停车一次的时长（简称：停车时长）的情况.超市的管理部门随机采集了该停车场的60个停车时长数据（单位：分钟），并将数据整理，绘制了如下统计图表：
组别 停车时长x/分钟 组内平均停车时长/分钟
A 0＜x≤30 15
B 30＜x≤60 47
C 60＜x≤90 80
D 90＜x≤120 105
E x＞120 200
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；这60个数据的中位数落在______组；
（2）求本次采集的这60个数据的平均数；
（3）如果超市想对停车时长不超过60分钟的车辆免收停车费，试估计该停车场内1000辆车中，有多少辆车免收停车费？
20.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC.
（1）求证：∠AEC=90°；
（2）若DC=2，求DH的长.
21.(本小题9分)
综合与实践
代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论.
【感知问题】小明计算的时候，发现对于任意两个连续的正奇数m和n,它们的乘积q=较小数的平方+较小数的2倍.
【举例验证】为验证猜想的正确与否，小明又例举了几组数据：
当m=1，n=3时，q=mn=12+2×1=3；
当m=3，n=5时，q=mn=32+2×3=15；
当m=5，n=7时，q=mn=52+2×5=35；
…
【推理证明】小明做了如下证明：
设两个连续的正奇数分别为m=2k-1（k＞0，k为整数）和n=2k+1，则m＜n,
∵q=mn=（2k-1）（2k+1）=（2k-1）（2k-1+2）=（2k-1）2+2（2k-1）=m2+2m,m＜n,
∴两个连续的正奇数m和n的乘积q=较小数的平方+较小数的2倍.
（1）【类比猜想】小红提出：任意两个连续的正奇数m和n,它们的乘积q=较大数的平方-较大数的2倍.请举例验证并推理证明.
（2）【深入思考】若p=（m,n为连续的正奇数，q为它们的乘积），求证p能被4整除.
22.(本小题13分)
如图1，在四边形ABCD中，已知∠BAD=∠ABC=∠BDC=90°，AD=2，AB=4.
（1）求CD的长；
（2）在线段CD上取一点E，连接BE.将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A′BED′，其中A′，D′分别是A，D的对应点.
①当点D′恰好落在边BC上，延长A′D′交CD于点F，如图2.判断四边形DBA′F的形状，并说明理由；
②请在图3用尺规作图画出点A′恰好落在边BC上时E的位置，并求出此时DE的长度.
（3）如图4，连接DD′交BE于点P，M为CD中点，连接MP.当点E在线段CD上运动时，直接写出当∠DMP最大时tan∠DMP的值为______.
23.(本小题14分)
如图1，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（a,3），与y轴交于点B（0，1）.
（1）求直线AB的解析式；
（2）在x轴上有一点D（6，0），直线AD与反比例函数图象交于点C，连接CB.求△ABC的面积；
（3）如图2，以线段AB为对角线作正方形AEBF，点G是线段BF上的一动点，点N是线段AB上的一动点，连接GN、FN，使∠GNF=2∠AFN，当点G运动到BF的三等分点时，求点N的坐标.
（4）如图3，在（3）的条件下，在正方形AEBF外部，以AF为边向外作正方形AFMN，连接AM，点P是线段AM上的一个动点，过点P作PM'⊥x轴，交直线AB于点Q.当△BPQ的面积取得最大值时，过点Q作直线l,使得直线l与反比例函数的图象有且只有一个交点.请直接写出直线l的解析式.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】πr2
12.【答案】3
13.【答案】9
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：(1)②；
（2）产生错误的原因：等式两边同时除以字母 m时，没有考虑字母m是否为0；
正确过程：两边同时加2，得5m=3m,
两边同时减3m,得2m=0，
两边同时除以2，得m=0．
即m的值为0．
17.【答案】点C到靠背AB的距离约为15.6cm．
18.【答案】3000件．
19.【答案】（1）B组的频数为60-16-11-8-5=20，
补全条形统计图如下：
B；
（2）=65（分钟），
答：本次采集的这60个数据的平均数为65分钟；
（3）1000×=600（辆），
答：估计该停车场内1000辆车中，有600辆车免收停车费．
20.【答案】如图1，EC与⊙O切点C，连接OC，则OC⊥EC，OA=OC，
∴∠OCE=90°，
∵点CD是半圆O的三等分点，
∴，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AE∥OC，
∴∠AEC+∠OCE=180°，
∴∠AEC=90° DH=
21.【答案】见解析；
见解析．
22.【答案】 ①∵将四边形ABED沿BE翻折得到四边形A′BED′，其中A′，D′分别是A，D的对应点，
∴∠A=∠A'=90°，∠ABD=∠A′BD′，
∵∠ABD+∠DBC=∠ABC=90°，
∴∠A′BD=∠A′BD′+∠DBC=90°，
∵∠BDC=90°，
∴四边形DBA′F是矩形；②如图3，在BC上截取BA′=BA，作∠ABC的角平分线交CD于点E，则点E即为所求；

23.【答案】 S△ABC=8 点或 x=2或y=2或或
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