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2025-2026学年上海市松江区西外外国语学校高二（下）月考数学试卷（3月份）
一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。
1.对变量x、y有观测数据（xi，yi），得散点图1；对变量u、v有观测数据（ui，vi），得散点图2.分别用r1、r2表示变量x与y、u与v之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（　　）
A. 变量x与y呈现正相关，且|r1|＜|r2| B. 变量x与y呈现负相关，且|r1|＞|r2|
C. 变量u与v呈现正相关，且|r1|＜|r2| D. 变量u与v呈现负相关，且|r1|＞|r2|
2.设曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线为l.则以下说法正确的个数是（　　）
①l与曲线y=f（x）可能没有交点
②l与曲线y=f（x）一定只有一个交点
③l与曲线y=f（x）不可能有且仅有两个交点
④l与曲线y=f（x）可能有无穷多个交点
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
3.根据一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x20，y20），求得经验回归方程为y=1.8x+0.6，且平均数.现发现这组样本数据中有两个样本点（2.2，3.5）和（7.8，15.7）误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为y=1.6x+a,则a=（　　）
A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8
4.若存在实常数k和b,使得函数F（x）和G（x）对其公共定义域上的任意实数x都满足：F（x）≥kx+b和G（x）≤kx+b恒成立，则称此直线y=kx+b为F（x）和G（x）的“隔离直线”，已知函数f（x）=x2（x∈R），g（x）=，h（x）=2elnx（e为自然对数的底数），有下列两个命题：
命题α：f（x）和h（x）之间存在唯一的“隔离直线”y=2x-e；
命题β：f（x）和g（x）之间存在“隔离直线”，且b的最小值为-1.
则下列说法正确的是（　　）
A. 命题α、命题β都是真命题 B. 命题α为真命题，命题β为假命题
C. 命题α为假命题，命题β为真命题 D. 命题α、命题β都是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.函数f（x）=x2在区间[-1，2]上的平均变化率为 .
6.设函数f（x）=sin（1+x），则f′（x）= .
7.已知函数f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的极大值点是 .
8.已知从小到大排列的一组数据1，2，4，x,8，10，若这组数据的第60百分位数与平均数相等，则实数x的值为 .
9.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是 .
10.已知f（x）=-x2+mx+1在区间（-2，-1）上的最大值就是函数f（x）的极大值，则m的取值范围是 .
11.设点A在直线上，点B在函数f（x）=lnx的图象上，则|AB|的最小值为 .
12.若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为 .
13.已知三次函数无极值，且满足，则a2-b2=______．
14.函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为 ．
15.如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线PQ为以AD为对称轴的抛物线的一部分，DM=DN=3.工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料BQRR，当其面积有最大值时，AQ的长为 .
16.对于函数f（x）和g（x），设m∈{x|f（x）=0}，n∈{x|g（x）=0}，若存在m,n,使得|m-n|≤1，则称f（x）和g（x）互为“零点关联函数”，若函数f（x）=ex-2+ln（x-1）-1 与g（x）=x（lnx-ax）-2互为“零点关联函数”，则实数a的最小值是 .
三、解答题：本题共5小题，共15分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题3分)
已知函数.
（1）求f（x）在（1，+∞）上的单调区间；
（2）存在x0∈（0，1）∪（1，+∞），使得成立，求实数k的取值范围.
18.(本小题3分)
设函数f（x）=x3-x2+6x-a．
（1）对于任意实数x，f′（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
19.(本小题3分)
为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”），其中乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a（1≤a≤3）表示.
（1）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求a的所有可能取值；
（2）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”，设a=3，从这20名学生中随机抽取一人，已知该生为阅读达人，求该生为甲组学生的概率；
（3）记甲组阅读量的方差为；在甲组中增加一名学生A得到“新甲组”，若A的阅读量为10，则记“新甲组”阅读量的方差为；若A的阅读量为20，则记“新甲组”阅读量的方差为；通过计算比较、、的大小（结果精确到0.1），并从数学角度解释这一现象.
20.(本小题3分)
已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的2倍，焦距是2.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：x-my-4=0与椭圆C交于两个不同点D，E，以线段DE为直径的圆经过原点，求实数m的值；
（Ⅲ）设A，B为椭圆C的左、右顶点，H为椭圆C上除A，B外任意一点，线段BH的垂直平分线分别交直线BH和直线AH于点P和点Q，分别过点P和Q作x轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值.
21.(本小题3分)
已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2-bx+1（b为常数）．
（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值；
（2）若b=0，h（x）=f（x）-g（x）， x1、x2[1，2]使得h（x1）-h（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）当b≥2时，若对于区间[1，2]内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|成立，求b的取值范围．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】1
6.【答案】cos（1+x）
7.【答案】2
8.【答案】5
9.【答案】0.87
10.【答案】（-4，-2）
11.【答案】
12.【答案】（-1，+∞）
13.【答案】12
14.【答案】（-1，+∞）
15.【答案】
16.【答案】-2
17.【答案】减区间（1，e），增区间（e，+∞）
18.【答案】解：（1）f′（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2），
因为x∈（-∞，+∞），f′（x）≥m，
即3x2-9x+（6-m）≥0恒成立，
所以△=81-12（6-m）≤0，
得，即m的最大值为
（2）因为当x＜1时，f′（x）＞0；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0；
所以当x=1时，f（x）取极大值；
当x=2时，f（x）取极小值f（2）=2-a；
故当f（2）＞0或f（1）＜0时，
方程f（x）=0仅有一个实根、解得a＜2或
19.【答案】a=1或2；
P=；
＜＜，甲组数据的平均值为10，方差体现数据的集中和离散程度，当加入数据为10（甲组数据的平均值）时，数据更加集中，方差变小，
当加入数据为20时，数据更加分散，方差变大
20.【答案】（Ⅰ）解：因为2a=2 2b，2c=，
所以a=2b，c=，
又a2=b2+c2，解得a=2，b=1，
所以椭圆C的方程为；
（Ⅱ）解：设D（x1，y1），E（x2，y2），
联立方程组，可得（m2+4）y2-8my+12=0，
则由韦达定理可得，，
则=，
又以线段DE为直径的圆经过原点，所以，
即，解得；
（Ⅲ）证明：由题意A（-2，0），B（2，0），设H（x0，y0），
则直线BH的方程为，
直线AH的方程为，
由中点坐标公式可得，，
所以直线PQ的方程为，
联立直线PQ和直线AH的方程可得，
所以，
故，
所以线段MN的长为定值．
21.【答案】解：（1）∵f（x）=lnx，
∴f′（x）=，f′（1）=1，
∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，
∵直线y=x-1与函数g（x）的图象相切，由 消去y得x2-2（b+1）x+4=0，
则△=4（b+1）2-16=0，解得b=1或-3，
（2）当b=0时，
∵h（x）=f（x）-g（x）=lnx--1 （x∈[1，2]），
∴h′（x）=-x=，
当x∈（1，2]时，h′（x）＜0，
∴在[1，2]上单调递减，
h（x）max=h（1）=-，h（x）min=h（2）=ln2-3，
则[h（x1）-h（x2）]max=h（x）max-h（x）min=，
∴M≤＜1，故满足条件的最大整数是M=0．
（3）不妨设x1＞x2，
∵函数f（x）=lnx在区间[1，2]上是增函数，
∴f（x1）＞f（x2），
∵函数g（x）图象的对称轴为x=b，且b≥2，
∴函数g（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴g（x1）＜g（x2），
∴|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|等价于f（x1）-f（x2）＞g（x2）-g（x1），
即f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），
等价于φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+-bx+1 在区间[1，2]上是增函数，
等价于φ′（x）=+x+b≥0在区间[1，2]上恒成立，
等价于b≤x+在区间[1，2]上恒成立，
∴b≤2，又b≥2，
∴b=2．
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