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2025-2026学年浙江省杭州中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是（　　）
A. B. C. D.
2.根据国家统计局发布的最新数据，2025年全国出生人口约7920000人，比2024年减少了1620000人，其中7920000用科学记数法表示为（　　）
A. 7.92×105 B. 7.92×106 C. 79.2×105 D. 792×104
3.下列立体图形中，俯视图是三角形的是（　　）
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是（　　）
A. a4+a3=a3 B. 3a3-a3=3 C. （a2）4=a8 D. a2+4a2=5a4
5.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC.若AB=6，AD=4，则的值为（　　）
A.
B.
C. 3
D. 2
6.如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形.若OA：AA′=1：2，且△ABC的面积是2，则△A′B′C′的面积是（　　）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 18
7.有一首古诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿恰齐足.”大意是：牧童们在大树下拿着竹竿玩耍，不知道共有多少人和多少竹竿.若每人6根竹竿，则竹竿剩余14根；若每人8根竹竿，则竹竿恰好用完.设有牧童x人，竹竿y根.根据题意，列方程组正确的是（　　）
A. B. C. D.
8.如图是一把折扇，扇面ABDC是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形，AC是OA的一半.已知OA=30cm,∠AOB=120°，则扇面ABDC的周长为（　　）cm.
A. 60 B. 30π+30 C. 20π+30 D. 10π+30
9.已知点A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y=ax2-2ax+c（a＞0）上的两点，其中t-1＜x1＜t,t+1＜x2＜t+2.下列说法错误的是（　　）
A. 当t≤0时，都有y1＞y2 B. 当t≥1时，都有y1＜y2
C. 当0＜t≤1时，都有y1=y2 D. 当时，存在y1=y2
10.如图1，将Rt△ABC沿斜边上的中线CM裁开，使△ACM沿射线AB方向平移，记作△DFE，当它与△BCM重叠部分为五边形时，设平移距离为x,该五边形面积为y.∠A=30°时，图2为函数部分图象，抛物线经过原点，最高点为，且经过点I（1.5，y1），J（5.5，y2）.下列说法正确的是（　　）
A. n=3 B. 自变量x的取值范围为0＜x＜8
C. 点（2，在函数图象上 D. y1=y2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：= .
12.不等式组的解集是 .
13.一个不透明袋子里有6个白球和若干个黑球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸一个球，恰好摸到白球的概率为，则袋子中黑球的个数为 .
14.如图，PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，点C为圆O上一点，连接AC、BC，若∠P=80°，则∠ACB的度数为 .
15.图1是一个水平地面上的长方体密封容器，内部装有水，其正方形底面的边CD=8cm,棱AD上标有刻度，水面与AD交于点M，读得DM=30cm,如图2将容器放在斜坡OE上，此时水面分别与AD，BC交于点N，P（NP∥OF），读得DN=25cm.若容器厚度不计，则tan∠EOF= .
16.如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE=2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN= ．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算
（1）.
（2）2b2+（a+b）（a-b）-（a-b）2.
18.(本小题8分)
解方程：.
19.(本小题8分)
如图，在四边形ACBD中，AC=BC，∠ACB=∠BDC=∠AED=90°.
（1）求证：CE=BD.
（2）若，求BD的长.
20.(本小题8分)
某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团.每名学生最多只能报一个社团，也可以不报.为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了若干名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图.结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是______；
（2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据；
（3）求科技制作社团对应的扇形的圆心角度数；
（4）请你估计全校有多少名学生报名参加篮球社团活动.
21.(本小题8分)
图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此后一段时间内水温y（℃）是通电时间x（min）的反比例函数.若给水温为20℃的水进行加热，水温y与通电时间x之间的函数关系如图2所示.
（1）将水从20℃加热到100℃需要______min.
（2）在水温下降的过程中，求水温y（℃）关于通电时间x（min）的函数表达式；
（3）在整个加热与降温过程中，水温不低于40℃的时间有多长？
22.(本小题10分)
综合与实践
有趣的“乘法运算”
小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究.
【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘.
【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数.
例：14×94=100×（1×9+4）+42=1316，前积是13，后积是16
（1）26×86=100×（2×8+6）+62=2236，前积是______，后积是______；
【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果.
（2）25×85= ______= ______；
【推理算法】记两位数分别是和，且a+b=10，其中.
（3）请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明.
23.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax2+bx-4a（a,b是常数，a≠0）.
（1）判断该函数图象与x轴的交点个数，并说明理由；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=2，A（x1，m），B（x2，m）为该函数图象上的任意两点，其中x1＜x2，求当x1，x2为何值时，m=8a；
（3）若该函数图象的顶点在第二象限，且过点（1，2），当a＜b时求3a+b的取值范围.
24.(本小题12分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交CB的延长线于点E.
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由.
（2）求证：AB AD=AC BE.
（3）若AC=m,BC=n,过点D作DH⊥BC于点H，求的值.（用含m,n的代数式表示）
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】1
12.【答案】x≥3
13.【答案】4
14.【答案】50°
15.【答案】
16.【答案】6或
17.【答案】4 2 ab
18.【答案】x=4．
19.【答案】（1）证明：∵∠ACB=∠BDC=∠AED=90°，
∴∠ACE=∠B=90°-∠BCD，∠CEA=∠BDC=90°，
在△ACE和△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（AAS），
∴CE=BD．
（2）解：∵AC=AD=2，AE⊥CD，
∴CE=DE，
∴AE=CD=2CE=2BD，
∴AC===BD，
∴BD=2，
∴BD=2，
∴BD的长为2．
20.【答案】50 86.4° 600名
21.【答案】4 在整个加热与降温过程中，水温不低于40℃的时间为9min
22.【答案】22；36； 100×（2×8+5）+52；2125； 算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且a+b=10，其中，那么×=100（ab+c）+c2.证明见解析．
23.【答案】解：（1）由题意得，Δ=b2-4a（-4a）=b2+16a2，
又a≠0，
∴a2＞0．
∴16a2＞0．
又对于任意的b都有b2≥0，
∴Δ=b2+16a2＞0．
∴函数图象与x轴的交点个数为2．
（2）∵x=2=-，
∴b=-4a.
∴抛物线表达式为y=ax2+bx-4a=ax2-4ax-4a,
当y1=y2=8a时，即y=ax2-4ax-4a=8a,
解得x=6或-2，
则x1=-2，x2=6．
（3）将（1，2）代入抛物线表达式得：2=a+b-4a,则b=3a+2，
∵a＜b,故a＜3a+2，
∴解得a＞-1．
∴抛物线的表达式为y=ax2+（3a+2）x-4a,
由（1）知，函数图象与x轴的交点个数为2且图象的顶点在第二象限，
∴抛物线开口向下，即a＜0．
∴函数的对称轴x=-=--＜0，
解得a＜-，
∴-1＜a＜-．
∴-3＜3a＜-2．
故-1＜3a+2＜0，即-1＜b＜0．
∴-4＜3a+b＜-2．
∴3a+b的取值范围：-4＜3a+b＜-2．
24.【答案】直线DE与⊙O相切，理由见解析； 证明见解析； ．
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