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2025-2026年清水第一中学、第六中学、张家川第一中学高三
二诊摸底考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.
1．已知集合,则( )
A.
B.
C.
D.
2．“角a是锐角”是“角a是第一象限角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
4．设,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
5．下列叙述不正确的是( )
A.已知a，b是空间中的两条直线，若，则直线a与b平行或异面
B.已知l是空间中的一条直线，是空间中的一个平面，若，则或l与只有一个公共点
C.已知，是空间两个不同的平面，若，则，必相交于一条直线
D.已知直线l与平面相交，且l垂直于平面内的无数条直线，则
6．下列说法中，不正确的是( )
A.已知变量x和变量y的四对随机观测数据为，则y关于x的经验回归直线一定经过点
B.在研究吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验中，计算得到，根据小概率值的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关联，且此推断犯错误的概率不大于0.001
C.若随机变量，，则
D.在1，4，7，8，11，15这组数据中，第50百分位数为7.5
7．已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球O的球面上，则该圆锥与球O的体积之比为( )
A. B. C. D.
8．已知F是双曲线的左焦点，P为圆上一点，直线PF的倾斜角为，直线PF交双曲线的两条渐近线于M，N，且P恰为MN的中点，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数的部分图象如图所示,将图象上所有点的横坐标缩短到原来的后,再将所得图象向右平移个单位长度得到函数的图象,则( )
A.
B.
C.图象的对称轴方程为
D.的单调递增区间为
10．设双曲线的左右焦点分别为,过作平行于y轴的直线交双曲线C于A,B两点,若则下列关于双曲线C的说法正确的是( )
A.顶点坐标为
B.虚半轴长为4
C.离心率为2
D.渐近线方程为
11．已知正方体的棱长为1,点P在正方体的内切球表面上运动,且满足平面,则下列结论正确的是( )
A. B.点P的轨迹长度为
C.线段长度的最小值为 D.的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知i是虚数单位,复数,则______.
13．若的展开式中的系数是20,则实数a的值为_____________.
14．把5个相同的乒乓球放入编号为1-7号的盒子里,其中编号为1-5号的盒子,每个盒子至多放1个球,编号为6-7号的盒子,每个盒子至多放3个球,则不同的放法有______________________种.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（10分）已知函数,且在处的切线方程是.
（1）求实数a,b的值;
（2）求函数单调区间和极值.
16．（14分）如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，，且，S为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，，求平面与平面的夹角.
17．（15分）甲 乙两人参加某答题挑战赛,规则如下:每次由其中一人答题,若答对了,则此人继续答题,若未答对,则换对方答题,每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题,给出文学题的概率为,给出科学题的概率为.已知甲答对文学题与科学题的概率分别为,,乙答对文学题与科学题的概率均为,且各轮答题正确与否相互独立.由抽签确定第1次答题的人选,第1次答题的人是甲 乙的概率各为.
(1)已知第1次甲答题,求甲答对题目的概率;
(2)求第2次答题的人是乙的概率;
(3)求第i次答题的人是甲的概率.
18．（18分）已知抛物线的焦点为F,C上的点到F的距离为5.
(1)求p和t的值;
(2)A,B为C上两点,的重心在直线上.
①证明:直线的斜率为定值;
②设直线与x轴交于点Q,线段的中点为T,线段的中点为R,过点P向直线作垂线,垂足为H.证明:点H在定圆上运动.
19．（20分）已知函数.
（1）是否可以为的极值点 请说明理由;
（2）若函数有三个极值点.
（i）求的取值范围;
（ii）若,求a的最小值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A D D D C B C ABD ACD ACD
1．答案：B
解析：已知,则,
解得,
集合,
已知,
.
2．答案：A
解析：若角a是锐角,则角a是第一象限角；
但角a是第一象限角,则角a不一定是锐角,
故“角a是锐角”是“角a是第一象限角”的充分不必要条件.
故选：A.
3．答案：D
解析：法一：
对于A、B：因为的定义域为,
,
所以为奇函数,其图象关于原点对称,故A,B错误.
对于C、D：当时,,,
所以,所以,故C错误,D正确；
法二：
对于A、B：因为的定义域为,
函数为奇函数,函数为偶函数,
所以为奇函数,函数图象关于原点对称,故A、B错误；
对于C、D：当时,,,
所以,所以,故C错误,D正确；
故选：D.
4．答案：D
解析：,即,
,即,
,则,可得,
即,所以,即.
5．答案：D
解析：对于A，空间两直线没有公共点，由空间两直线位置关系的分类知，两直线平行或是异面直线，A正确；
对于B，直线与平面有公共点，由直线与平面位置关系的分类知，直线与平面有无数个公共点(直线在平面内)或仅只一个，即B正确；
对于C，两个不重合平面有公共点，由平面基本性质知，它们有且只有一条经过公共点的公共直线，即C正确；
对于D，正三棱锥的侧棱垂直于底面三角形与该棱相对的边，而在底面三角形所在平面内与该边平行的直线都垂直于这条棱，正三棱锥侧棱不垂直于底面，即D不正确.
故选：D
6．答案：C
解析：选项A：经验回归直线必过样本中心点，
计算得，，故直线过，A正确；
选项B：，根据小概率值的独立性检验，
认为吸烟与患肺癌有关联，且推断犯错误概率不大于0.001，B正确；
选项C：正态分布关于对称，
故，而非0.6，C错误；
选项D：6个数据的第50百分位数为中位数，第3个数据是7，第4个数据是8，
中位数为，D正确.
故选：C
7．答案：B
解析：设该圆锥的底面半径为r，因为该圆锥的轴截面为直角三角形，
所以该圆锥的高为r，则该圆锥的体积.
设球O的半径为R，则，
解得，则球O的体积为.
所以该圆锥与球O的体积之比为.
8．答案：C
解析：由题意双曲线左焦点为，已知圆的圆心为，
半径为c，直线的斜率为，
则直线方程为，
由，得，即点P的坐标为，
双曲线渐近线方程为，设点，点，
则①，，
由，得，
由，得，
代入①得，解得，
所以双曲线C的离心率
故选：C
9．答案：ABD
解析：由图可得,由,得.
由,得,
因为,所以,A正确.
由A的分析可得,
令,得,
所以图象的对称轴方程为,C错误.
,B正确.
令,得,
所以的单调递增区间为,D正确.
故选:ABD
10．答案：ACD
解析：A选项,由题意得,
又,由双曲线定义可知,故,
顶点坐标为,A正确;
B选项,中,令得,
故,又,解得,,
故虚轴长为,B错误;
C选项,,所以,离心率为,C正确;
D选项,渐近线方程为,D正确.
11．答案：ACD
解析：以D为原点,分别以所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
正方体的内切球的球心为正方体的中心,半径,
平面的法向量:,,设,
由,即,令,则,,所以.
对于选项A,,因为平面,所以,而,
所以,即,A正确.
对于选项B,因为平面,平面平面,
所以点P的轨迹是平面与正方体内切球的交线,此交线为圆,记圆心为.
设平面与正方体的中心的距离,设平面的法向量为,
,,
设,由,可得,
令,则.,
点O到平面的距离为,
圆的半径为,
圆的周长,即点P的轨迹长度为,B错误.
对于选项C,,点P在球面上,
线段长度的最小值为,C选项正确.
对于选项D,设与夹角为,,.
在平面直角坐标系中,,,,,
,,
所以,令,,
,
所以的最小值为,D选项正确.
故选:ACD
12．答案：/0.2
解析：可得,
.
13．答案：6
解析：的展开式中的系数是.
故答案为：6.
14．答案：98
解析：解法一:1-5号盒共放0个球,即5个球放入6-7号盒子,有2种放法;
1-5号盒共放1个球,有种放法;
1-5号盒共放2个球,有种放法;
1-5号盒共放3个球,有种放法;
1-5号盒共放4个球,有种放法;
1-5号盒共放5个球,有1种放法,所以共有种放法.
解法二:用表示个分配指标,现考虑符合题意的一种放法:
第1 2两个盒子各放1个球,第3 4 5 6盒子不放球,第7个盒子放3个球,
这个放法可用符号表示为.
考虑母函数
,
从第一 二个括号中各取,从第三 四 五 六个括号中各取,从第七个括号中取,
然后相乘,即得到展开式中的一个项,
此项的系数即为满足题意的分配名额的方案数.
从上分析可见,满足题意的名额分配的方案与多项式展开式中项正好一一对应,
故多项式的展开式中项的系数即为满足题意的名额分配的方案数.
又,
其中,
所以满足题意的分配方案数为98.
故答案为:98.
15．答案：（1）,
（2）单调递减区间为,单调递增区间为,极小值为,无极大值
解析：（1）因为,所以,
又在处的切线方程为,
所以,,
解得,.
（2）由（1）可得定义域为,则,
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,
则在处取得极小值,
所以的单调递减区间为,单调递增区间为,
因此极小值为,无极大值.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）
设，连，则，
又S为线段的中点，所以，，
又，，，即，，
故，，所以四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，故平面.
（2）
延长交于G，则G为的中点，连，，
由，，故，故，
而G为的中点，故，
由（1）知，，故，，
故四边形为平行四边形，所以，
因为，，，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面
又平面平面，，平面，
所以平面，又，所以平面.
而平面，故，由正方形可得，
而，平面，故平面.
法1：如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量，
则即，
不妨令，则，即.
故平面的法向量，
设两平面所成的角为，则，
故，所以.
法2：过点O作，连接，
因为平面，平面，故，
而，平面，故平面，
而平面，故，
则即为平面与平面的夹角，
而，而为锐角，所以，
即平面与平面的夹角为.
17．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)甲答对题目的概率为.
(2)乙答对题目的概率为.
记“第次答题的人是甲”为事件,“第i次答题的人是乙”为事件,
所以
.
(3)设,依题可知,,
则,
即.
设,解得,则.
又,
所以是首项为,公比为的等比数列,
即.
18．答案：(1),
(2)①证明见解析②证明见解析
解析：(1)抛物线的准线方程为.
根据抛物线定义,,所以.
因此,抛物线C的方程为.
将代入抛物线方程:,又,故.
(2)①方法一:
设,,
则的重心为,
由题意知,,则.
所以直线的斜率,为定值.
方法二:
因为直线的斜率不为零,
所以设直线的方程为,显然.
设,.
联立,整理得.
所以.已知,
所以的重心的纵坐标,
所以,解得.
因此,直线的斜率,为定值.
②因为直线的斜率不为零,
所以设直线的方程为.设,.
联立,整理得.
所以.设为的中点,则:
,
,即.
直线与x轴交点,,则中点.
由于,所以.所以.
直线的斜率:,
直线的方程:,
整理得.
法一:
令,代入方程,解得,
因此,直线经过定点.
因为,于H,
所以H在以为直径的定圆上.
法二:
由于,,
所以的方程为,即,
联立,得
即.
令,则,,
令,则,,
令,则,,
求得经过,,的圆方程为,
代入H的坐标符合,所以H在定圆上.
19．答案：（1）不可以,理由见解析
（2）（i）;
（ii）
解析：（1）由题意知,,
若为的极值点,则,解得,
当时,,
令,则,
易知为增函数,且,
当时,,故在上单调递减,
当时,,故在上单调递增,
故,
所以在R上单调递增,此时函数无极值点,
与为的极值点矛盾,
所以不可以为的极值点.
（2）（i）由题意知,定义域为
则,
因为函数有三个极值点,
则其中一个极值点为1,且方程有两个根,这两个根都不能等于0或,
令,即函数有两个零点,这两个零点都不能等于0或1,
则,
当时,,
所以函数为增函数,
此时至多一个零点,不符合题意;
当时,令,解得,
当时,,故在上单调递减,
当时,,故在上单调递增,
若函数有两个零点,
则,解得,
当时,,则函数在上有一个零点,
当,,则函数在上有一个零点,
若是函数的零点,则,不满足,
故不是函数的零点,
若是函数的零点,则,
则,
综上所述,a的取值范围为.
（ii）由（i）知中有一个为1,不妨设,,
则,可化为,
由（i）知是的根,且,
则,令,
则,
可化为,两式相除可得,
令,则,
联立,解得,
由,不等式可化为,
则,
令,则,
令,则,
则在上单调递增,则,
即,所以在上单调递增,
又,所以,
则,,
令,,
所以在上单调递减,
则,即,
则在上单调递减,则,
由得,
对函数求导得,
则函数在上单调递减,
则当时,函数取得最小值,最小值为,
则,即,
所以a的最小值为.

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