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江西上饶市余干县沙港初级中学、育才学校等校2025-2026学年八年级下学期阶段评估（一）数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（）
A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 1，1， D. 1，，2
3.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
4.如图，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成图，若两手握住的绳柄两端的距离约为，小臂到地面的距离约为，则适合小红的绳长为（ ）
A. B. C. D.
5.已知实数p，q在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（ ）
A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若二次根式有意义，则x的取值范围是　 .
8.在平面直角坐标系中，点（1，2）到原点的距离是 ．
9.若最简二次根式与可以合并，则的值为 ．
10.如图，一艘小船以8海里时的速度从港口O出发，向西北方向航行，另一艘小船以15海里时的速度同时从港口O出发，向西南方向航行，离开港口2小时时，两船相距 海里．
11.已知，，则 ．
12.在中，，，一个内角为（），则边的长为 ．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题7分)
按要求解答：
(1) 计算：；
(2) 如图，在中，，，，求的度数．
14.(本小题7分)
墨迹“”挡住了二次根式运算“计算：．”的一部分．
(1) 若“”挡住的是，小艺同学进行如下计算：
计算：．解：原式第一步第二步第三步第四步．第五步
小艺从第 步开始出错，本题正确的计算结果是 ；
(2) 若“”挡住的是，写出二次根式的计算过程．
15.(本小题8分)
《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是:如图所示，在中，，求的长．
16.(本小题8分)
据研究，撑竿跳高运动员起跳后身体重心提高的高度h（单位：m）与其起跳速度v（单位：）之间满足（其中）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高，求该运动员起跳时的速度．
17.(本小题7分)
在由的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹）．
(1) 在图1中的射线上取点D，使．
(2) 在图2中的边上取点E，使．
18.(本小题7分)
如图1，有一块面积为的长方形铁皮，已知长方形铁皮的长、宽之比为．
(1) 分别求该长方形铁皮的长和宽（结果保留根号）．
(2) 若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子（如图2所示），剪掉的四个角都是边长为的正方形，求长方体铁皮盒子的体积．
19.(本小题7分)
如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量，，，，．
(1) 求证：是直角三角形．
(2) 八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用．
20.(本小题7分)
观察下列等式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1) 写出第个等式： ．
(2) 写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
21.(本小题8分)
课本再现
如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（），斜边长为c．
(1) 请利用图1验证勾股定理．
(2) 知识应用在图1中，若，，求小正方形的面积．
(3) 小明按图2的方式把边长为和的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是 ．
22.(本小题8分)
阅读材料：等式，（），（），它们都是两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．
在进行二次根式运算时，运用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：，．
解答下列问题：
(1) 填空：与 互为有理化因式；化去分母中的根号，结果为 ；
(2) 比较大小： ；（填“>”“<”或“=”）
(3) 计算：．
23.(本小题10分)
如图，在中，，，，，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动且速度为，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是，在边上的运动速度是．，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动．设运动时间为（单位：），请解答：
(1) 边的长为 ．
(2) 当时，求的面积．
(3) 当时，求的长．
(4) 当时，求的值．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】x≥3
8.【答案】
9.【答案】2
10.【答案】34
11.【答案】25
12.【答案】2或14或
13.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：，
，
．

14.【答案】【小题1】
二

【小题2】
解：
．

15.【答案】∵AC+AB=10
∴AB=10-AC
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2
即
解得AC=4.55

16.【答案】解：由条件可得，即．
由题意可得，
．
答：该运动员起跳时的速度是．

17.【答案】【小题1】
解：如图1，点D即为所求（作出一种即可）．
∵，
∴ ，
∵，
∴；
【小题2】
如图2，点E即为所求．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴

18.【答案】【小题1】
解：∵长方形铁皮的长、宽之比为，
∴设该长方形铁皮的长为，宽为．
由题意得，
解得或（不合题意，舍去），
，，
∴该长方形铁皮的长为，宽为．
【小题2】
解：
，
∴长方体铁皮盒子的体积为．

19.【答案】【小题1】
证明：，，，
，
是直角三角形．
【小题2】
解：过作交于，
，，
为中点，，
，
，
是直角三角形，
，
，
则（元），
答：购买西红柿苗总共需要元．

20.【答案】【小题1】

【小题2】
解：猜想的第个等式为，证明如下：
左边
∵，
∴左边右边，
∴猜想正确．

21.【答案】【小题1】
证明：∵大正方形的面积四个直角三角形的面积小正方形的面积，
，
．
【小题2】
由勾股定理得，
∴小正方形的面积．
【小题3】


22.【答案】【小题1】

【小题2】

【小题3】
解：
．

23.【答案】【小题1】
10
【小题2】
解：∵，是边上的两个动点，点从点开始沿方向运动且速度为，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是，在边上的运动速度是，，两点同时出发，当点到达点时，点也随之停止运动，设运动时间为（单位：），
∴点从点到点的运动时间为：，
点从点到点的运动时间为：，
∴，
当时，，，
∴，此时点在线段上，如图，
∴，
∴的面积为；
【小题3】
解：如图，设运动时间为时，，
∴，
∵，，，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
此时点在线段上，
∴，
∴；
【小题4】
解：如图，设运动时间为时，，连接，
此时点在线段上，
∴，，
∵，，，，
∴，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
即，
∴，
解得：．

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