资源简介

2025-2026学年九年级下学期3月月考数学试题
一．选择题（每小题3分，共计30分）
1．大于﹣2.6且小于3的整数有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．下列各式：①a2 a3＝a5；②（﹣3ab3）2＝9a2b6；③；④1；⑤x2+2x2＝3x2，其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．中国运动健儿发扬拼搏精神，共获得201金，再次蝉联金牌榜第一．下列体育运动图标是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．2023年11月29日正式通航的安阳红旗渠机场是民航发展“十二五”规划明确的新建支线机场项目，也是河南省重点民生工程，项目总投资13.66亿元，数据“13.66亿”用科学记数法表示为（　　）
A．1.366×109 B．1.366×1010
C．13.66×109 D．13.66×108
5．如图所示的是从三个方向看一个几何体得到的图形，该几何体是（　　）
A．正方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球
6．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象一定经过的点是（　　）
A．（0，2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，4）
7．下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，第③个图形中共有15个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（　　）
A．63 B．64 C．80 D．81
8．如图，如果AD∥BE∥CF，则下列各式错误的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB，AC分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E．作射线AE与边BC交于点D．若∠C＝38°，则∠ADC的度数为（　　）
A．116° B．120° C．128° D．142°
10．如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象的最低点，那么正方形的边长的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
二．填空题（每小题3分，共计30分）
11．函数的自变量的取值范围是　 　 ．
12．分解因式：m2n﹣16n＝　 　 ．
13．不等式组的所有整数解的和为 　 　 ．
14．如图，在⊙O中的半径OA＝5cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长度为 　 　 cm．
15．从2名男生和2名女生中随机选出2人讲题，恰好选出一男一女的概率是 　 　 ．
16．函数与y＝x+1的图象的交点坐标为（a，b），则的值为 　 　 ．
17．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，若∠A＝20°，AB＝6，则弧AC的长为 　 　 ．
18．已知a，b为有理数，如果规定一种新运算：　 　 ．
19．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝10，点E为边DC上的一个动点，将△ADE沿AE折叠得到△AD′E，连接D′D，D′C，当△DD′C为直角三角形时，则D′C的长为 　 　 ．
20．【阅读材料】过矩形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，会得到面积相等的两个矩形，如图（1），S矩形AEOM＝S矩形CFON．
【解决问题】如图（2），点M是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点M作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接BM，DM．若CF＝4，EM＝3，DF＝2，则MF＝　 　 ．
三．解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求值：，其中x＝tan60°．
22．（7分）小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形，已知：在△ABC中，∠ACB＝90°．求作：直线CD，使得直线CD将△ABC分割成两个等腰三角形．下面是小明设计的尺规作图过程．
作法：如图，①作直角边CB的垂直平分线MN，与斜边AB相交于点D；②作直线CD，则直线CD就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，解决下列问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）小明进一步探究：以点D为圆心，适当长为半径画弧分别交DA、DC于P、Q两点，再分别以点P、Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧在∠ADC内交于点M，直线DM交AC于点E，则AE＝CE　 　 （填写理由），使用尺规作图在图中补全作图痕迹．
23．（8分）为有效解决近视和肥胖等青少年健康问题，2025年1月我市发布了《关于优化全市义务教育阶段学生课间活动时间的指导意见》，学校需确保每日综合体育活动时间不低于2小时，课间活动时长统一调整为15分钟．某校想了解政策实行前后学生的近视率，随机从六、七年级抽查了40名学生1月份和4月份的视力情况．其中，1月份视力情况如表1，4月份视力情况如图1和图2（尚不完整）．
表1
视力 人数/人
4.5 4
4.6 10
4.7 12
4.8 8
4.9 4
5.0 2
设定视力4.9及以上为良好，分析两次视力结果得到表2．
表2
平均数 众数 中位数 良好率
第一次 4.71 a 4.7 15%
第二次 b 4.8 4.8 c
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；
（2）若全校六、七年级学生以1250人计算，估计政策实行后视力达到良好的学生人数；
（3）从多角度分析本次政策实行的效果．
24．（8分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD．
（1）判断四边形ABCD的形状并证明．
（2）若A，B的距离为3，A，C的距离为2，求四边形ABCD的面积．
25．（10分）为迎接第16届体艺文化节，重庆外国语学校在广告公司制作一批吉祥物，该公司由甲乙两组共同完成制作任务，乙组每天完成的件数是甲组的1.5倍，甲组完成2400个吉祥物比乙组完成2160个吉祥物多用2天．
（1）甲、乙两组每天各完成多少个吉祥物？
（2）学校两校区共需要制作13296个吉祥物．为加快进度，甲组每天完成的个数比（1）中多完成20m个，乙组每天完成的个数也比（1）中增加了，因考虑运送等问题，该广告公司完成任务的时间不超过8天，则m的值至少为多少？
26．（10分）已知点C是以AB为直径的圆上一点，连结AC，在AB上截取AD＝AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，设AC＝kAB．
（1）如图1，若∠EAB＝25°时，求∠BAC度数；
（2）如图2，过点A作AF⊥CD，证明：2k；
（3）如图3，若k＜1，连结EB并延长，交AC的延长线于点F，设△BCF的面积为S1，设△AEF面积为S2，用含k的代数式表示S1：S2．
27．（10分）定义：在平面直角坐标系中，我们把经过抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的平割线．
（1）抛物线y＝x2﹣2x﹣3的平割线与这条抛物线的交点坐标为 　 　 ；
（2）经过点A（﹣2，0）和B（x，0）（x＞﹣2）的抛物线与y轴交于点C，它的平割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，直线EF垂直平分OC，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F．
①当∠CDF＝45°时，求点P的坐标；
②若直线EF与直线MN关于平割线对称，是否存在使点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B A D B C A A C
二．填空题
11．x＜1且x≠﹣1．
12．n（m+4）（m﹣4）．
13．5．
14．8．
15．．
16．．
17．π．
18．﹣16．
19．．
20．6．
三．解答题
21．解：原式 ，
，
当x＝tan60°时，
原式（）（2）＝﹣5﹣3．
22．解：（1）如图，直线CD即为所求：
（2）图形如图所示：
由作图可知DE平分∠ADC，
∵DA＝DC，
∴AE＝CE（等腰三角形三线合一的性质），
故答案为：等腰三角形三线合一的性质．
23．解：（1）根据表1得众数a为4.7；
由图1得视力为4.8的人数为40×35%＝14人，
∴视力为4.7的人数为40﹣4﹣8﹣14﹣6＝8人，
∴；
；
补全图2统计图如下：
（2）用样本估计总体的方法计算可得：
1250×30%＝375（人），
答：政策实行后视力达到良好的学生人数约为375人；
（3）根据表2可知：政策实行前平均视力为4.71，政策实行后平均视力为4.79；
政策实行前众数为4.7，政策实行后众数为4.8；
政策实行前中位数为4.7，政策实行后中位数为4.8；
政策实行前视力良好率为15%，政策实行后，视力良好率为30%；
综上所述，本次政策实行的效果很好．
24．解：（1）四边形ABCD是菱形，证明如下：
作AE⊥BC交BC于点E，作AF⊥CD交CD于点F，
依题得：AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
（2）连接AC、BD，
由（1）得：四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD且AC、BD互相平分，
即，，
∵AB＝3，AC＝2，
∴，
∴Rt△AOB中，，
∴，
∴．
25．解：（1）设甲组每天完成x个吉祥物，则乙组每天完成1.5x个吉祥物，
由题意得：2，
解得：x＝480，
经检验，x＝480是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×480＝720，
答：甲组每天完成480个吉祥物，乙组每天完成720个吉祥物；
（2）由题意得：（480+20m）×8+720（1m%）×8≥13296，
解得：m≥15，
∴m的最小值为15，
答：m的值至少为15．
26．（1）解：如图1，
连接BE，作AF⊥CD于F，
∴∠AFC＝90°，
∵AD＝AC，
∴∠BAC＝2∠CAF＝2∠DAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵，
∴∠C＝∠B，
∴∠CAF＝∠EAB＝25°，
∴∠BAC＝50°；
（2）证明：如图2，
连接BE，
∵∠AEB＝∠AFC＝90°，∠B＝∠C，
∴△AEB∽△AFC，
∴，∠BAE＝∠CAF，
∵AD＝AC，AF⊥CD，
∴∠C＝∠ADC，CFCD，∠CAD＝2∠CAF＝2∠BAE，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴∠B＝∠BDE，
∴BE＝BD，
∴，
∴；
（3）解：如图3，
作AB的垂直平分线，交AE于H，
∴AH＝BH，
∴∠BAE＝∠ABH，
∴∠BHE＝∠BAE+∠ABH＝2∠BAE，
由（2）知：∠BAC＝2∠BAE，
∴∠BHE＝∠BAC，
∴cos∠BHE＝cos∠BAC，
∴，
不妨设AH＝BH＝1，EH＝k，BE，
∴AB，
∴，
在Rt△ABC中，
，
∴，
∵AB是直径，
∴∠CFB＝∠ACB＝∠AEB＝90°，
∵∠F＝∠F，
∴△FCB∽△FEA，
∴2﹣2k，
∴．
27．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线，与y轴交点为（0，﹣3），
∴平割线为y＝﹣3；
∴平割线与这条抛物线的一个交点坐标为（0，﹣3），则另一个交点坐标为（2，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）和（2，﹣3）；
（2）∵抛物线经过点A（﹣2，0），
∴，
∴n＝m+1，
∵，
∴对称轴为直线x＝m，
∵与y轴交点为（0，n），
∴点D的坐标为（2m，m+1）．
（3）①设CD与对称轴交于点G，如图1，若∠CDF＝45°，则DG＝GF，
∴，
∴m＝1或，
当m＝1时，，点P的坐标为，
当时，，
点P的坐标为，
∴点P的坐标为或；
②存在使点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等的m的值；m的值为0，或．
如图2，设MN与对称轴的交点为H，
由（2）知，n＝m+1，，
∴，
∴抛物线的平割线CD：y＝m+1，
∵直线EF垂直平分OC，
∴直线EF：，
∴点B到直线EF的距离为，
∵直线EF与直线MN关于平割线CD对称，
∴直线MN：，
∵，
∴点P到直线MN的距离为，
∵点P到直线MN的距离与点B到直线EF的距离相等，
∴，
∴或．

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