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2026年江苏省南通市中考数学自编模拟卷
考试时间：120分钟； 满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知四个数：，，，任取其中的两个数相乘，所得的积的最大值是( )
A. B. C. D.
2.用小立方块搭成的几何体，从正面看到的图形和从上面看到的图形如图，问搭成这样的几何体最多需要个小立方块，最少需要个小立方块( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.下列图象中，函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.小明家的窗户上有一些精致花纹，小明对此非常感兴趣，他观察发现窗格的花纹排列呈现有一定规律，如图，其中“”代表的就是精致的花纹，请问有个精致花纹的是第个图．
A. B. C. D.
5.一组数据，，，，的中位数是( )
A. B. C. D.
6.下列从左到右的变形属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
7.如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，则的值等于( )
A.
B.
C.
D.
8.在的跑道上进行赛跑，每条跑道宽，相邻跑道的起跑线应相差取
A.
B.
C.
D.
9.如图，、是切线，、为切点，点在上，且，则等于( )
A. B.
C. D.
10.“化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，以为边作正方形，以为斜边，作使得点在的延长线上，过点作交于，再过点作于，连结交于，记四边形，四边形的面积分别为，，若，，则为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.有一个正方体小木块，六个面分别标有数字，，，，，随机投掷一次正方体小木块，出现向上面的数字大于的概率为______．
12.已知双曲线经过点，则的值等于 ．
13.对于抛物线，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为；时，随的增大而减小，其中正确的有______．
14.如果，那么 ．
15.已知反比例函数，当时，的取值范围是______．
16.如图是两个正方形组成的图形不重叠无缝隙，用含字母的整式表示出阴影部分的面积为______
17.如图，边长为的正方形中，点为边中点，点为射线上一动点，过点作，当与相似时，的长度为______．
18.如图，在半径为的中，弦，是上的一动点不与点重合，是的中点，为的中点，则的最大值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.
计算： 化简：
四、解答题：本题共7小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上．
21.本小题分
为了测量一教学楼的高度，某数学兴趣小组从教学楼底部出发，沿楼前的平路前进米至点，然后沿坡度为：的斜坡向下走米到达点，再沿平路继续前行米至点平路平行于平路，在处操作无人勘测机，当无人勘测机飞行至点的正上方点时，测得点的俯角为，楼顶的仰角为，点、、、、、在同一平面内，则教学楼的高度约为多少米？结果精确到米，参考数据：，，，
22.本小题分
如图，在中．
利用尺规作线段的垂直平分线，交于点，垂足为；保留作图痕迹，不写作法
连接，若的周长是，，求的周长．
23.本小题分
【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果．
【数据收集与整理】收集这名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分满分分，用表示学生的分数进行分组，分组如下：
组别
整理：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
整理：将心理健康课前测试成绩绘制成如图的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图的扇形统计图．
整理：这名学生在心理健康课前测试成绩优良率测试成绩大于或等于分为优良为．
【数据处理和应用】
任务：心理健康课前测试成绩在组的有_____人，并补全频数分布直方图；
任务：心理健康课后这名同学测试成绩的中位数是 ，组对应扇形的圆心角是 ；
任务：已知心理健康课后的这名同学的平均分为分；心理健康课前测试成绩在，，，，五组中的平均分分别为，，，，；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？
24.本小题分
某景区对基础设施提档升级，计划购置一批型和型器材．购买套型器材比购买套型器材多元；购买套型器材和套型器材共需元．
购买套型器材和套型器材各需多少元？
根据景区的实际情况，需购买、型器材的总数为套，购买、型器材的总费用不超过元．
请问型器材最多购买多少套？
从游客的实际需要出发，其中型器材购买的数量不少于型器材数量的倍，该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案．
25.本小题分
阅读理解：
如图，在正多边形的边上任取一不与点重合的点，并以线段为边在线段的上方作以正多边形，把正多边形叫正多边形的准位似图形，点称为准位似中心．
特例论证：如图已知正三角形的准位似图形为正三角形，试证明：随着点的运动，的大小始终不变．
数学思考：如图已知正方形的准位似图形为正方形，随着点的运动，的大小始终不变？若不变，请求出的大小；若改变，请说明理由．
归纳猜想：
在图的情况下：
试猜想的大小是否会发生改变？若不改变，请用含的代数式表示出的大小直接写出结果；若改变，请说明理由．
______用含的代数式表示
26.本小题分
如图，抛物线交轴于．
直接写出抛物线的解析式 ．
如图，轴上两动点满足：若在左侧为线段上的两个动点，且满足：点和点关于直线对称．过作轴交于，过作轴交于，连接求的最大值用含的代数式表示．
如图，将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线．对称轴左侧的抛物线上有一点，其横坐标为以为直径作，记的最高点为若在直线上，求的值．
第1页，共8页答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10.
11.
12.
13.
14.
15.
16. ．
17. 或
18.
19. 【小题】
解：
；
【小题】
．

20. 解：由得，，
由得，，
把不等式、的解集在数轴上表示出来为：

不等式组的解集为．
21. 解：过作于，延长、交于点，过点作于，
则，，，，，，，
，
斜坡的坡度为：，即：：：，
设米，米，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得：，
即，，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
．
即教学楼的高度约为米．
22. 解；如图，为所作；
垂直平分，
，，
的周长是，
，
即，
的周长．
23. 【小题】
解：根据这名学生在心理健康课前测试成绩优良率测试成绩大于或等于分为优良为．
人
组的人数为人
则组的人数为：人
补全频数分布直方图如图，
故答案为：．
【小题】

【小题】
依题意，，
达到“效果显著”．

24. 【小题】
解：设购买套型器材和套型器材各需，元，由题意可得：
，解得
答：购买套型器材和套型器材各需、元；
【小题】
解：设购买型器材套，则购买型器材为套，
由题意可得：
解得，
答：型器材最多购买套；
设购买型器材套，则购买型器材为套，
由可得：
根据题意可得：，解得
又为正整数，
的取值为，即有三种购买方案，
具体为：型器材为套，型器材套，
型器材为套，型器材套，
型器材为套，型器材套．

25. 【小题】
证明：与是正三角形，
，
，
≌，
，
的大小不变；
【小题】
的大小不变，
理由：如图，在边上取一点，使，连接，
四边形与是正方形，

，
，
，
≌，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
即：的大小始终不变；
【小题】
的大小始终不变，
理由：如图，

在上取一点，使，
连接，
，
，
，
≌，
，
，
，

；
由知，，
同的方法可得，，
，
故答案为．

26. 【小题】

【小题】
设，则，
，
且
，
时，，
即，
，
【小题】
根据题意，将抛物线向下平移个单位长度得到抛物线，
，
，
，
由圆的特性易求得，的最高点点坐标为：
，
设，则，
，
化简上式得：，
点在上，则，
为上述方程的一个解，
分析可知，
，
，
解得：，经检验，是方程的解，
故或．

第1页，共7页

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