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10.1-10.2二元一次方程组、二元一次方程组的概念强化提升专练
（一）二元一次方程的概念
定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次方程。
核心特征（3个，缺一不可）：
含两个未知数（通常用x、y表示，也可用其他字母，如m、n）；
未知数的次数都是1（注意：是“未知数的次数”，不是“含未知数项的次数”，如，含两个未知数，但xy的次数是2，不是二元一次方程）；
方程是整式方程（分母中不含未知数，如，分母含未知数x，不是整式方程，因此不是二元一次方程）。
一般形式：（其中a、b、c为常数，且a≠0，b≠0，a、b不能同时为0，否则未知数个数不足两个）。
示例：
符合要求：、、（整式方程、两个未知数、次数均为1）；
不符合要求：（x的次数是2）、（分母含未知数）、（只有1个未知数）。
（二）二元一次方程组的概念
定义：由两个含有两个相同未知数的二元一次方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
核心特征（3个，缺一不可）：
由两个方程组成（通常用“{”联立，表示一组方程）；
两个方程都含有两个相同的未知数（如两个方程都含x和y，不能一个含x、y，一个含x、z）；
每个方程都是二元一次方程（若其中一个方程不是二元一次方程，整个方程组就不是二元一次方程组）。
一般形式：（其中a、b、d、e均为常数，且a≠0、b≠0，d≠0、e≠0，保证每个方程都是二元一次方程）。
（三）二元一次方程组的解
1. 定义：使二元一次方程组中两个方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解（需同时满足两个方程，缺一不可）。
2. 表示方法：通常用“”表示（m、n为具体数值），如是方程组的解。
3. 核心要点：一个二元一次方程组的解，必须同时满足方程组中的两个方程；若只满足其中一个方程，不是方程组的解。
记忆口诀：二元一次方程，两元一次整式型；方程组要两个，同元同次才可行；解要同时满足，两式成立才管用。
强化提升专练
一、单选题
1．下列等式：①；②；③；④．其中是二元一次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若关于，的二元一次方程的一组解为，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．若关于x，y的方程是二元一次方程，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．已知是二元一次方程的解，则的值是（ ）
A．1 B． C． D．7
5．二元一次方程的正整数解有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
6．某班有位同学，老师为了成立学习小组，把班上同学分成若干小组，若每小组的人数只可以是或人，则共有（ ）种分组方法
A．1 B．2 C．3 D．4
7．解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了■和★两个数和，则这两个数分别为（　　）
A．4和6 B．6和4 C．2和8 D．8和
8．有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共值7元，则取出的硬币是1元的枚数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．一宾馆有一人间、两人间、三人间三种客房供游客租住，某旅行团共15人准备租用客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
10．已知x和y的方程组的解是，则x和y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若是关于x，y的二元一次方程，请写出一个符合条件的a的值_______．
12．二元一次方程的解有无数个，请写出这个方程的3个解：______，______，______．
13．若是方程的解，则k的值为 _____．
14．若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值为___________ ．
15．二元一次方程的解有_________个，正整数解有_________个，分别是_________．
16．已知和都是方程的解，则__________，___________．
17．已知二元一次方程的一组解为，则______．
18．《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲、乙的钱数分别为x、y，则可列方程组为________．
三、解答题
19．已知下列三组数值：，，
(1)哪几组数值是方程的解？
(2)哪几组数值是方程的解？
(3)哪几组数值是方程组的解？
20．已知二元一次方程，先用含的代数式表示，再分别计算当时，的值；当时，的值．
21．是否存在m，使方程是关于x，y的二元一次方程？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
22．小慧在文具店买了5本练习本和4支圆珠笔，共花去23元小强买了同样的练习本10本和同样的圆珠笔2支，共花去34元．
(1)设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，列出相应的方程组；
(2)是列出的二元一次方程组的解吗？请说明理由．
23．定义：若，则称x与y是关于m的好数．
(1)若5与a是关于2的好数，则_____；
(2)若，，判断b与c是否是关于3的好数，并说明理由：
(3)若，，且e与d是关于3的好数，若x为正整数，求非负整数k的值．
试卷第2页，共3页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C C B C D B C C
1．A
【详解】解：①符合二元一次方程的定义，故正确；
②不是二元一次方程，故错误；
③不是二元一次方程，故错误；
④不是二元一次方程，故错误；
综上可得①正确，共一个．
故选：A．
2．B
【详解】解：把x＝3，y＝2代入方程x＋my＝2，得：3＋2m＝2，
解得：，
故选：B．
3．C
【详解】解：∵关于x，y的方程是二元一次方程，
∴且，
解得：m=1，
故选C．
4．C
【详解】解：已知是二元一次方程的解，
∴，
∵，
∴原式，
故选：C ．
5．B
【详解】解：方程x＋2y＝7，
解得：x＝ 2y＋7，
当y＝1时，x＝5；y＝2时，x＝3；y＝3时，x＝1，
则方程的正整数解有3对．
故选：B．
6．C
【详解】解：设可以分成人组组，人组组，
依题意得：，
，
又，均为自然数，
或或，
共有种分组方法，
故选：C．
7．D
【详解】把代入中得：，
故方程组的解为，
故★表示的数为；
把代入中得：，
故选D．
8．B
【详解】设取出1角的硬币x枚，5角的硬币y枚，则取出1元的硬币枚，
依题意，得：，
∴
∵x，y，均为非负整数，
∴，，
∴，
即取出1元的硬币3枚
故选：B．
9．C
【详解】解：设一人间x间，二人间y间，三人间间．根据题意得：，
整理得：，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，．
∴有4种租房方案：①租一人间3间，二人间0间，三人间4间；②租一人间2间，二人间2间，三人间3间；③租一人间1间，二人间4间，三人间2间；④租一人间0间，二人间6间，三人间1间．
故选：C．
10．C
【详解】解：方程组的解是，
方程组，
的解为，即，
故选：C．
11．2（答案不唯一，除0，1外的任何一个值，只要写出一个即可）
【详解】解：因为是关于，的二元一次方程，
所以且，
所以且，
∴的值可以是2．
故答案为：2（答案不唯一，除0，1外的任何一个值，只要写出一个即可）．
12．
【详解】解： 在中，
当时，，
当时，，
当时，，
故答案为：，，．
13．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
14．3
【详解】解：根据题意，得，
解得：，
所以．
故答案为：3．
15． 无数 2 ，
【详解】解：方程，
解得：，
∴二元一次方程的解有无数个，
当y=1时，x=2；
y=4时，x=1；
则方程的正整数解为2组，
故答案为：无数；2；，．
16． 5 2
【详解】解：∵和都是方程的解，
∴，解得，
故答案为5，2；
17．13
【详解】解：二元一次方程的一组解为，
，
，
∴，
故答案为：13．
18．
【详解】解：设甲持钱为x，乙持钱为y，由题意得：
，
故答案为：．
19．(1)和是是方程的解
(2)和是是方程的解
(3)是方程组的解
【详解】（1）解：把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解；
把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解；
把代入方程中可得方程左边，方程右边，方程左右两边相等，则是方程的解；
综上所述，和是是方程的解；
（2）解：把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解；
把代入方程中可得方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解；
把代入方程中可得方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解；
综上所述，和是是方程的解；
（3）解；由（1）（2）得只有同时满足是方程和方程的解，
∴只有是方程组的解．
20．用含的代数式表示是，当时，；当时，
【详解】解：∵，
∴，
∴，
当时，，
当时，，解得，
∴用含的代数式表示是，当时，；当时，．
21．存在，
【详解】解：存在．
∵方程是关于x，y的二元一次方程，
∴，，，解得．
故当时，方程是关于x，y的二元一次方程．
22．(1)
(2)是，理由见解析
【详解】8.解：（1）根据题意，得
（2）是，理由如下：
把代入方程①中，左边＝5×3＋4×2＝23＝右边，
把代入方程②中，左边＝10×3＋2×2＝34＝右边，
所以是二元一次方程组的解．
23．(1)
(2)b与c是关于3的好数；
(3)k的值为0或1或3或7．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得，
故答案为：；
（2）解：
，
∴b与c是关于3的好数；
（3）解：∵e与d是关于3的好数，
∴，
∴，
∴，
∵x为正整数，k是非负整数，
∴或或或，
∴k的值为0或1或3或7．

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