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10.3解二元一次方程组强化提升专练
一、知识点核心定义
解二元一次方程组，就是求二元一次方程组中两个未知数的值，即找到能同时满足方程组中两个方程的一对未知数的值（方程组的解）的过程。解二元一次方程组的核心思想是“消元”，即将含有两个未知数的方程组，转化为只含有一个未知数的一元一次方程，再通过解一元一次方程求解。
二、核心思想：消元思想
消元思想是解二元一次方程组的核心，核心原则：化二元为一元，即通过一定方法消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为已经学过的一元一次方程，求解后再代入求出另一个未知数的值。
补充说明：消元的关键是“消去一个未知数”，消元方法需根据方程组的特点灵活选择，
三、核心解法
解二元一次方程组的两种核心方法，步骤清晰、可操作，需熟练掌握每种方法的适用场景和操作流程，避免混淆。
（一）代入消元法
定义：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得方程组的解，这种方法叫做代入消元法（简称代入法）。
适用场景：方程组中至少有一个方程能较容易地将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来
核心步骤
第一步：变形式——从方程组中选一个系数较简单的方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示（如把y用含x的式子表示，或把x用含y的式子表示）；
第二步：代入消元——将变形后的代数式代入另一个未变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
第三步：解一元一次方程——解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
第四步：回代求另一个未知数——将求出的未知数的值代入变形后的代数式中，求出另一个未知数的值；
第五步：检验（可选但推荐）——将两个未知数的值代入原方程组的两个方程，检验左右两边是否相等，确保解的正确性。
注意要点：代入时需将整个代数式代入，避免漏代括号；回代时需代入变形后的式子，计算更简便；检验是规避计算错误的关键，不可省略。
（二）加减消元法
定义：当二元一次方程组中两个方程的同一个未知数的系数互为相反数或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得方程组的解，这种方法叫做加减消元法（简称加减法）。
适用场景：方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数；若系数不相等也不互为相反数，可通过乘以适当的数，将其中一个未知数的系数转化为相等或互为相反数。
核心步骤（分步拆解，易操作）：
第一步：找目标——观察方程组中两个方程的未知数，确定要消去的未知数；
第二步：化系数——若要消去的未知数的系数不相等也不互为相反数，给两个方程分别乘以适当的常数，使该未知数的系数相等或互为相反数；
第三步：加减消元——将两个方程的两边分别相加（系数互为相反数时）或相减（系数相等时），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
第四步：解一元一次方程——解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
第五步：回代求另一个未知数——将求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值；
第六步：检验（可选但推荐）——将两个未知数的值代入原方程组，检验左右两边是否相等，确保解的正确性。
注意要点：乘以常数时，方程两边的每一项都要乘，不能漏乘常数项；相减时，注意符号变化，避免符号错误；消元后得到的一元一次方程需规范求解，避免计算失误。
强化提升专练
一、单选题
1．将方程组中的x消去后，得到的方程是（ ）．
A． B． C． D．
2．解二元一次方程组时，由可得（ ）
A． B． C． D．
3．已知二元一次方程组，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．已知二元一次方程，用含的代数式表示，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于的方程组的解为的一个解，那么的值为（ ）
A．5 B．2 C． D．
7．若关于x，y的方程组的解满足，则k的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．已知方程组的解互为相反数，则a的值为（　　）
A．0 B．1 C． D．2
9．已知关于x，y的二元一次方程组有下列说法：①当x与y相等时，解得；②当x与y互为相反数时，解得；③若，则；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．规定：关于，的两个方程与互为共轭二元一次方程，其中．由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组．若关于，的方程组为共轭方程组，则，的值分别为（ ）
A．3， B．4，3 C．5， D．3，2
二、填空题
11．如果是方程组的解，那么_____；____．
12．若，则可列方程组为：_____，___，___．
13．解方程组：，解为_______________
14．已知是二元一次方程组的解，则的值是___________ ．
15．已知关于x，y的方程的部分解如下表，则______．
x 2 3
y 2 3 m
16．已知关于x，y的方程组与的解相同，则________．
17．对于两个整数和，定义一种新运算“”，若为偶数，则；若为奇数，则．若对整数和，有，且，则的值为________．
18．若，且a、b、c的值中有且仅有一个为0，则_________．
19．已知关于的方程组有下列结论：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，原方程组的解也是方程的解；③无论取何值，的值始终不变．其中正确的是_________（填序号）
20．已知关于，的方程组的解是，则方程组的解为_______．
三、解答题
21．解方程组：
(1)；
(2)．
22．已知关于、的方程组．
(1)求代数式的值；
(2)当为正数时，化简：；
(3)若，求的值．
23．如图∠和∠的度数满足方程组，且，，
(1)求∠与∠的度数；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
24．如图，在一块正方形的钢板中挖去两个边长分别为，的小正方形．
(1)求剩余钢板的面积；
(2)若原钢板的周长是，且，求剩余钢板的面积．
25．阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：
解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便．
解：①-②，得，即．③
，得．④
②－④，得．
把代入③，得．
故原方程组的解是
(1)请用上述方法解方程组：
(2)直接写出关于的二元一次方程组的解．
26．题目：已知有理数a，b满足，且，求k的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于a，b的方程组，再求k的值；
乙同学：先解方程组，再求k的值；
丙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值．
(1)关于上述三种不同思路，完成下列任务：
①正确的打“”，错误的画“”．
甲同学的思路______；乙同学的思路______；丙同学的思路______；
②试选择其中一个你认为正确的思路，解答此题；
(2)在解关于x，y的方程组时，可以用消去未知数x，也可以用消去未知数y，求m和n的值．
(3)在（2）的条件下，直接写出方程组的解为______．
试卷第4页，共5页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D B B B B A A A
1．A
【详解】解： ，
①-②得： ，
故选：A．
2．D
【详解】解：得：，
即，
故选：D．
3．D
【详解】解：
①－②得到，
故选：D
4．B
【详解】解：
即
∴
故选：B．
5．B
【详解】解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为，
故选B．
6．B
【详解】解：
得：，
∴，
把代入②得：，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
7．B
【详解】解：解方程组，
由第二个方程得，
将代入第一个方程，得：，
展开并合并同类项：得，解得，
将代入得：，
因为所以，即，
故选：．
8．A
【详解】解：∵x和y的值互为相反数，
∴，
∴代入方程得：，
∴．
把，代入第一个方程得：，
解得：；
故选：A．
9．A
【详解】解：，
由②得：③，
把③代入①中，得：④，
把④代入③中，得：，
∴原方程组的解为．
①当x与y相等时，，
即，
解得：，
∴①正确；
②∵方程的两根互为相反数，
∴，
即，
解得：，
∴②正确；
③，
∴，
∴，
∴，
∴，
将方程组的解代入得：，
解得：，
∴③正确；
④，
得，
即．
∴④正确．
综上所述，①②③④都正确．
故选A．
10．A
【详解】解：∵ 方程组为共轭方程组，
∴，
∴，
联立方程：
解得：
故选：A．
11． 10
【详解】解：将代入方程组，得
，
得到，．
故答案为：，10．
12． 3 2
【详解】解：∵，且，
∴可得，
，
由得，，
解得：，
将代入①得，，
解得：，
故答案为：；3；2．
13．
【详解】解：，
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为．
故答案为：．
14．
【详解】解：是二元一次方程组的解，
，
解得：，
．
故答案为：．
15．
【详解】解：由题意可得，解得，
∴方程为，
把，代入得，
解得，
故答案为：．
16．25
【详解】解：由题意，得：方程组的解与两个方程组的解也相同，
解，得：；
将代入，得：，
解得：，
∴；
故答案为：．
17．3
【详解】解：由题意得，为奇数，为偶数，为奇数，
．
当为奇数时，为偶数，
为偶数，为偶数，
可得方程组，
解得，；
当为偶数时，为奇数，
为奇数，为奇数，
可得方程组，
解得，，不符合题意，舍去．
和为整数，
．
18．1
【详解】解：∵a、b、c的值中有且仅有一个为0，
∴当时，
可得：，
解得：（不符合题意）；
当时，
可得：，
解得：（不符合题意）；
当时，
可得：，
解得：（符合题意），
∴．
故答案为：
19．①③
【详解】解：∵，
,
当与互为相反数时，，解得，故①正确；
当时，原方程组的解为，此时，故②错误；
∵，无论取何值，的值始终不变，故③正确．
故答案为：①③．
20．
【详解】解：整理方程组，
可得：
令 ，，
则新方程组化为：，
方程组的解为，
方程组的解为，
，
解得：．
21．(1)
(2)
【详解】（1）解：
①②得：，
解得：，
把代入①中得：，
解得：，
∴原方程组的解为：
（2）
整理②得：③，
①+③得：，
解得：，
把代入①中得：，
解得：，
∴原方程组的解为：
22．(1)
(2)
(3)或3
【详解】（1）解：，
①②，得，
，
把代入①，得，
，
，
，
；
（2），
∴，
∴，
∴
；
（3）∵，
∴，即，解得：；
或，即，解得：；
∴的值为或3．
23．(1)，
(2)，理由见解析
【详解】（1）解：由，
①②得：，
解得，
把代入②得；
（2）解：．
理由如下：，，
，
，
又，
；
24．(1)
(2)
【详解】（1）解：由图可知，大正方形的边长为，
∴剩余钢板的面积为；
（2）解：∵原钢板的周长是，
∴，即，
又∵，
∴，，
∴剩余钢板的面积为．
25．(1)
(2)
【详解】（1）解：
①-②，得，即．③
，得．④
②－④，得．
把代入③，得．
故原方程组的解是；
（2）解：
①-②，得，即．③
，得．④
②－④，得．
把代入③，得．
故原方程组的解是.
26．
【详解】（1）解：①甲同学的思路，乙同学的思路，丙同学的思路均正确．
故答案为：；；．
②解：选择甲同学的思路：
解方程组得：，
∵，
∴，
解得：；
选择乙同学的思路：
解方程组得：，
把代入得：，
解得：；
选择丙同学的思路：
，
得：，
∵，
∴，
∴，
解得：．
（2）解：∵用可以消去未知数x，用可以消去未知数y，
∴
整理得：，
由得：，
把代入得：，
解得：，
把代入得：，
∴．
（3）∵
∴方程组为
∴得，
解得
将代入①得，
解得
∴方程组的解为：．

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