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北师大版2025—2026学年八年级下册期中模拟实战演练卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．口味虾、臭豆腐、嗦螺和糖油粑粑是是长沙著名的小吃，某兴趣小组在班级发动了一项“舌尖上的长沙-我最喜欢的长沙小吃”调查活动，发现结果满足以下三个条件：
⑴喜欢嗦螺的人数少于喜欢口味虾的人数；
⑵喜欢嗦螺的人数多于喜欢臭豆腐的人数；
⑶喜欢臭豆腐的人数的3倍多于喜欢口味虾的人数．
若喜欢臭豆腐的人数为6，则喜欢嗦螺的人数的最大值为（　　）
A．16 B．6 C．17 D．7
2． 如图， 把 以点 为中心按逆时针方向旋转得到 ， 点 的对应点分别是点 ， 且点 在 的延长线上， 连结 ， 则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
4．一位顾客到店里购买黄金，商店使用一架右臂有磨损的不等臂的天平称黄金.售货员先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡：再将10克的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡：最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际购买的黄金(　　）
A．大于 20克 B．小于 20克 C．等于20 克 D．不能判断
5．如图，OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（　　）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC+∠COB＝∠AOB
6．如图，中，，于点，于点，，AD与BE交于点F，连结CF．若．则AD的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图， 在等腰三角形 中， 为 的平分线， ， 则 （　　）
A． B． C． D．
8．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC， 交BE于点P， 若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7．则S△CFP-S△AEP的值是（　　）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
9．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（　　）个
A．2 B．3 C．4 D．5
10．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．判断“等边三角形的三个角都是60°”的逆命题的真假（填“真”或“假”）　 　．
12．已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，1），将线段AB平移得到线段CD，点A对应点C的坐标为（4，0），则点D的坐标为　 　．
13．一次生活常识竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，小明有2题没答，竞赛成绩要不低于83分，则小明至少要答对　 　道题．
14． 在△ABC中，有一边长是另一边长的2倍，已知有两条边长分别是3cm，8cm，则△ABC的周长为　 　cm.
15．如图，在中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，若，则的度数为　 　．
16．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的是　 　
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，已知直线过点，过点A的直线交x轴于点．
（1）求两条直线对应的函数表达式．
（2）观察图象，直接写出当时x的取值范围．
18．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　 　；
（2）解不等式②，得　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　 　．
19．小明在做八上课本习题：“已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE ，”时，其证明过程如下：
证明：∵AB=AC、∴∠B=∠C 、 ……第①步在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE、…第②步 ∴BD=CE. …第③步
（1）老师批改时，告知小明在第 ▲ 步中有错，请你写出正确的证明过程；
（2）若∠B=40°， ∠EAC=30°， 求证： AB=BE.
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）若∠C＝50°，∠BAC＝60°，求∠ADB的度数；
（2）若∠BED＝45°，求∠C的度数．
21．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，BE＝CD．
求证：
（1）Rt△BCERt△CBD；
（2）AF平分∠BAC．
22．为增强同学们垃圾分类意识，某学校举行了垃圾分类知识竞赛，一共有25道题，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有1道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“垃圾分类小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“垃圾分类小达人”？
23．如图，已知，点C在上，点A、B在上．在中，，，点E、F在直线上，在中，，．
（1）图中的度数是多少；
（2）将沿直线平移，当点D在上时，求的度数；
（3）将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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北师大版2025—2026学年八年级下册期中模拟实战演练卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．口味虾、臭豆腐、嗦螺和糖油粑粑是是长沙著名的小吃，某兴趣小组在班级发动了一项“舌尖上的长沙-我最喜欢的长沙小吃”调查活动，发现结果满足以下三个条件：
⑴喜欢嗦螺的人数少于喜欢口味虾的人数；
⑵喜欢嗦螺的人数多于喜欢臭豆腐的人数；
⑶喜欢臭豆腐的人数的3倍多于喜欢口味虾的人数．
若喜欢臭豆腐的人数为6，则喜欢嗦螺的人数的最大值为（　　）
A．16 B．6 C．17 D．7
【答案】A
【解析】【解答】
由题知： 喜欢这三种小吃的人数从少到多排列如下：
臭豆腐=6＜ 嗦螺 ＜ 口味虾 ＜18
∵ 喜欢口味虾的人数的最大值为17，
∴ 喜欢嗦螺的人数的最大值为16
故答案为：A.
【分析】本题考查不等式。根据题意可得出不等式，求出符合条件的值即可。
2． 如图， 把 以点 为中心按逆时针方向旋转得到 ， 点 的对应点分别是点 ， 且点 在 的延长线上， 连结 ， 则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、 设AD与BE的交点为0，
∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ABC=∠ADE，∠BAD=∠CAE，AB=AD，
∵∠AOB=∠DOE，
∴∠BED=∠BAD=∠CAE，故A符合题意；B、C、D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】设AD与BE的交点为0，利用旋转的性质可证∠ABC=∠ADE，∠BAD=∠CAE，AB=AD，利用对顶角相等，可推出∠BED=∠BAD=∠CAE，可对各选项作出判断.
3．一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】A
【解析】【解答】解： 这个多边形的内角和等于540° ，
，
解得n=5，
故答案为：A.
【分析】根据多边形的内角和定理：n边形的内角和为，建立方程，求解n的值即可.
4．一位顾客到店里购买黄金，商店使用一架右臂有磨损的不等臂的天平称黄金.售货员先将10克的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡：再将10克的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡：最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际购买的黄金(　　）
A．大于 20克 B．小于 20克 C．等于20 克 D．不能判断
【答案】A
【解析】【解答】解：令天平左右臂长分别为x，y(x≠y)，第一次放黄金ag，第二次放黄金bg，
∴，即有
故答案为：A.
【分析】设天平左右臂长分别为x，y(x≠y)，两次放黄金分别为ag、bg，即有，根据基本不等式即可判断各选项的正误.
5．如图，OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（　　）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC+∠COB＝∠AOB
【答案】D
【解析】【解答】解：
A、∵∠AOC＝∠BOC，
∴OC平分∠AOB，A正确，不符合题意；
B、∵∠AOC＝∠AOB，
∴OC平分∠AOB，B正确，不符合题意；
C、∵∠AOB＝5∠BOC，
∴OC平分∠AOB，C正确，不符合题意；
D、∵∠AOC+∠COB＝∠AOB，
∴OC不一定平分∠AOB，D错误，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据角平分线的判定结合题意即可求解。
6．如图，中，，于点，于点，，AD与BE交于点F，连结CF．若．则AD的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
ΔABD是等腰直角三角形，
在ΔADC和ΔBDF中，
在RtΔCDF中，
即BE为AC的垂直平分线，
故答案为：B．
【分析】先利用“ASA”证出利用全等三角形的性质可得利用勾股定理求出CF的长，再利用垂直平分线的性质可得最后利用线段的和差求出AD的长即可.
7．如图， 在等腰三角形 中， 为 的平分线， ， 则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB=AC=a，∠A=36°，
∴.
∵BD平分∠ABC，
∴.
∴∠BDC=180°－∠C－∠DBC=180°－72°－36°=72°.
∵∠BDC=∠BCD=72°，
∴BD=BC=b.
∵∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD=b.
∴DC=AC－AD=a－b.
故答案为：C.
【分析】根据“等边对等角”可求得∠ABC和∠ACB的度数，再根据∠平分线的定义可得∠ABD=∠CBD=36°，继而可证明三角形ABD和△BCD都是等腰三角形，于是有AD=DB=BC=b，最后根据线段的和差，即可得到答案.
8．如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC， 交BE于点P， 若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7．则S△CFP-S△AEP的值是（　　）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，设AC交DG于点M，
∵AH=CF，∠AHM=∠CFP，∠PCF=∠MAH，
∴△CFP≌△AHM（AAS），
同理可证：△AEP≌△CGM，
S△CFP-S△AEP=S四边形EHMP=S四边形MGFP=S正EFGH，
设AE=x，BE=y，
∴x+y=7，x2+y2=28，EF=x-y，
∴2xy=21
∴EF2=（x-y）2=（x+y）2-4xy=49-42=7，
∴S△CFP-S△AEP=S正EFGH=×7=3.5；
故答案为：A.
【分析】设AC交DG于点M，证明△CFP≌△AHM（AAS），△AEP≌△CGM，从而得出S△CFP-S△AEP=S四边形EHMP=S四边形MGFP=S正EFGH，设AE=x，BE=y，
则x+y=7，x2+y2=28，EF=x-y，据此可推出2xy=21，从而求出EF2，即得正方形EFGH的面积，继而得解.
9．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（　　）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC
∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45°
∴∠APB=135°，故①正确；
∴∠BPD=45°
又∵PF⊥AD
∴∠FPB=90°+45°=135°
∴∠APB=∠FPB
又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP
∴△ABP≌△FBP（ASA）
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF
在△APH和△FPD中
∴△APH≌△FPD（ASA）
∴PH=PD
∴AD=AP+PD=PF+PH．故②正确；
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD
∵∠HPD=90°
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD
∴HD∥EP
∴S△EPH=S△EPD
∴S△APH=S△AED，故⑤正确；
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，故④错误；
假设DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH
∵DH∥BE
∴∠CDH=∠CBE=∠ABE
∴∠CDE=∠ABC
∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故③错误
正确的结论有：①②⑤，共3个
故答案为：B．
【分析】
本题考查了角平分线的概念，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
①正确．根据三角形内角和定理可得：∠A+∠B=90°，再由角平分线的定义可知：∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45°，最后根据三角形内角和定理可得：∠APB=135°，即可判断正确．
②正确．根据全等三角形的判定定理ASA可证得：△ABP≌△FBP，再由全等三角形的性质可知：对应边相等可得：PA=PF， 再根据全等三角形的判定定理ASA 可证得：△APH≌△FPD， 再由全等三角形的性质可知：对应边相等可得： PH=PD，最后由等量代换与线段的和差运算可知：AD=AP+PD=PF+PH由此可作出判断．
③错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．
④错误，根据面积的和差运算可以证得：S四边形ABDE=2S△ABP．
⑤正确．由DH∥PE，利用等高模型解决问题即可，由此即可得出答案.
10．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∵实数，，满足条件，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意，先化简，根据不等式的基本性质比较大小即可判断求解．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．判断“等边三角形的三个角都是60°”的逆命题的真假（填“真”或“假”）　 　．
【答案】真
【解析】【解答】解：命题“等边三角形的三个角都是60°”的逆命题为三个角都是60°的三角形是等边三角形，正确，为真命题，
故答案为：真.
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可.
12．已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，1），将线段AB平移得到线段CD，点A对应点C的坐标为（4，0），则点D的坐标为　 　．
【答案】（2，1）
【解析】【解答】解：∵A （2，0）平移后对应点C的坐标为（4，0），
∴点A的横坐标加上了2，纵坐标不变，
∵B（0，1），
∴点D坐标为（0+2，1），即（2，1 ) ，
故答案为：（2，1）．
【分析】先证出点A的横坐标加上了2，纵坐标不变，再求出点D的坐标即可。
13．一次生活常识竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，小明有2题没答，竞赛成绩要不低于83分，则小明至少要答对　 　道题．
【答案】
【解析】【解答】解：设小明答对道，根据题意得：
解得：
∴小明至少要答对道题．
故答案为：．
【分析】设小明答对道，根据题意列一元一次不等式求出最小整数解即可．
14． 在△ABC中，有一边长是另一边长的2倍，已知有两条边长分别是3cm，8cm，则△ABC的周长为　 　cm.
【答案】17
【解析】【解答】解：设第三边为x cm，则5当x=2×3=6cm时，周长为3+6+8=17cm，
故△ABC的周长为 17cm.
故答案为：17.
【分析】 根据三角形三边关系知第三边的取值范围，再根据“ 一边长是另一边长的2倍 ”得到第三边的长，最后求三角形周长即可.
15．如图，在中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，若，则的度数为　 　．
【答案】36°
【解析】【解答】解：由作法得垂直平分，
，，
，
设，则，
，为斜边上的中线，
，
，
，
，
，
解得，
，
故答案为：36°．
【分析】设，则，利用三角形的外角的性质可得，再结合可得，求出，即可得到，从而得解。
16．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的是　 　
【答案】①②④
【解析】【解答】解：∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC=∠OHD=90°，
在△OCG和△ODH中，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB=OC，
∵OA=OB
∴OA=OC
与OA＞OC矛盾，
∴③错误；
正确的是①②④；
故答案为：①②④
【分析】由等量加等量和相等可得∠AOC=∠BOD，利用SAS可判断△AOC≌△BOD，由全等三角形的性质可得∠OAC=∠OBD，∠OCA=∠ODB，AC=BD，故①正确；由三角形的外角性质可得 ∠AMB=∠AOB=40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：利用AAS可判断△OCG≌△ODH，由全等三角形的对应边相等可得OG=OH，根据到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得MO平分∠BMC，④正确； 假设∠DOM=∠AOM，则∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC可得∠CMO=∠BMO，根据ASA可判断△COM≌△BOM，进而可得OB=OC， 等量代换可得OA=OC，这与OA＞OC矛盾，故1③错误；据此作出判断即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，已知直线过点，过点A的直线交x轴于点．
（1）求两条直线对应的函数表达式．
（2）观察图象，直接写出当时x的取值范围．
【答案】（1）解：把点代入，得，
解得，
∴；
把点，点代入，
得，
解得，
∴；
（2）解：当时x的取值范围为.
【解析】【解答】（2）解：由观察图象可知，当时x的取值范围为．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求y2＜y1＜0时x的取值范围，从图象角度看，就是求直线y2的图象在y1图象下方，且在x轴下边部分对应的自变量的取值范围，结合点A的横坐标即可得出答案.
（1）解：把点代入，得，
解得，
∴；
把点，点代入，得
，
解得，
∴；
（2）解：由观察图象可知，当时x的取值范围为．
18．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　 　；
（2）解不等式②，得　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　 　．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】【解答】解：（1）解不等式①，得 ；
故答案为： ；
（2）解不等式②，得 ；
故答案为： ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
（4）原不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
【分析】分别解出每一个不等式的解集，再把解集表示在数轴上，两解集的公共部分即为不等式组的解集，据此填空即可.
19．小明在做八上课本习题：“已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE ，”时，其证明过程如下：
证明：∵AB=AC、∴∠B=∠C 、 ……第①步在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE、…第②步 ∴BD=CE. …第③步
（1）老师批改时，告知小明在第 ▲ 步中有错，请你写出正确的证明过程；
（2）若∠B=40°， ∠EAC=30°， 求证： AB=BE.
【答案】（1）解：②；
，，
，，
，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
.
（2）证明：△△，，
，
，
，
，
，
【解析】【分析】 （1）不满足SAS的条件，不能证明△ABD≌△ACE，由等腰三角形的性质推出∠B=∠C，∠ADE=∠AED，由三角形外角的性质推出∠BAD=∠CAE，由SAS即可证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形的性质求解即可；
（2） 利用全等三角形的对应角相等，由△ABD≌△ACE 得到∠BAD=∠EAC=30°；接着通过三角形外角定理，用∠B 与∠BAD 求出∠ADE 的度数；再结合全等三角形的对应边相等得到 AD=AE，判定△ADE 为等腰三角形，从而得出∠AED=∠ADE；随后用三角形内角和定理算出∠DAE 的度数，进而求出∠BAE 的度数，由∠BAE=∠AED 证得 AB=BE.
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）若∠C＝50°，∠BAC＝60°，求∠ADB的度数；
（2）若∠BED＝45°，求∠C的度数．
【答案】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC=∠DAB=30°
在△ABC中，∠C＝50°，
∠ABC=180°-∠BAC-∠C=70°
在△ABD中
∴∠ADB＝180°-∠ABD-∠DAB＝80°
（2）解：∵∠BED=45°
∴∠AEB=180°-45°=135°
∠EAB+∠EBA=180°-135°=45°
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC
∴∠BAC＝2∠EAB，∠ABC＝2∠ABE．
∵∠BAC+∠ABC＝2∠EAB+2∠ABE＝90°．
∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝90°
【解析】【分析】(1)由角平分线的定义可得 再由三角形外角性质即可求 的度数；
(2)由三角形的外角性质可得 ，再由角平分线的定义得 从而得 ，利用三角形的内角和即可求的度数.
21．如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，BE＝CD．
求证：
（1）Rt△BCERt△CBD；
（2）AF平分∠BAC．
【答案】（1）证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCE和△CBD是直角三角形，
在Rt△BCE和Rt△CBD中，
，
∴Rt△BCERt△CBD（HL）；
（2）解：∵Rt△BCERt△CBD，
∴CE＝BD，∠BCE＝∠CBD，
∴CF＝BF，
∴CE-CF＝BD-BF，
∴EF＝DF，
又∵EFAB，DFAC，
∴点F在∠BAC的平分线上，
∴AF平分∠BAC．
【解析】【分析】（1）根据HL即可判定 Rt△BCERt△CBD；
（2）根据全等三角形的性质得CE＝BD，∠BCE＝∠CBD，根据等角对等边得CF＝BF推出EF＝DF，再根据角平分线的判定即可求得.
22．为增强同学们垃圾分类意识，某学校举行了垃圾分类知识竞赛，一共有25道题，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有1道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“垃圾分类小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“垃圾分类小达人”？
【答案】（1）解：设该同学一共答对x道题，
根据题意可得：，
解得：，
答：该参赛同学一共答对了22道题.
（2）解：设该同学至少答对x道题，
根据题意可得：，
解得：，
答：该同学至少答对23道题．
【解析】【分析】（1）设该同学一共答对x道题，根据“ 最后他的总得分为86分 ”列出方程，再求解即可；
（2）设该同学至少答对x道题，根据“ 参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分 ”列出不等式，再求解即可.
（1）设该同学一共答对x道题，
∴，
解得：，
答：该参赛同学一共答对了22道题，
（2）设该同学至少答对x道题，
，
解得：，
答：该同学至少答对23道题．
23．如图，已知，点C在上，点A、B在上．在中，，，点E、F在直线上，在中，，．
（1）图中的度数是多少；
（2）将沿直线平移，当点D在上时，求的度数；
（3）将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时，请直接写出的度数．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∠CDE的度数为：60°或105°或15°或30°.
【解析】【解答】解：（3）∠CDE的度数为：60°或105°或15°或30°.理由如下：
分两种情况，Ⅰ．当△DEF向上平移时，
①如图所示1：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即∠DFE=∠CDF=30°时，
∵，
∴；
②如图2所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即∠FDC=∠DCF时，
∵
∴，
∵，
∴；
③如图3所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即∠FDC=∠DCF时
∵，，
∴，
∵，
∴；
Ⅱ．当△DEF向下平移时，如图4所示：
④当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即∠DFE=∠DCF=30°时，
∵，
∴，
∴；
综上可知：将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时的度数为或或或．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再利用二直线平行，内错角相等，求出∠BCN的度数；
（2）根据三角形内角和定理求出∠ABC、∠DEF的度数，再利用二直线平行，内错角相等，求出∠DCE的度数，由邻补角求出∠CED的度数，最后再次利用三角形内角和定理可求出答案；
（3）分两种情况，Ⅰ．当△DEF向上平移时，①如图所示1：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即∠DFE=∠CDF=30°时，②如图2所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即∠FDC=∠DCF时，③如图3所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即∠FDC=∠DCF时，Ⅱ．当△DEF向下平移时，如图4所示：④当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即∠DFE=∠DCF=30°时，分别根据题意画出图形，再结合三角形内角和定理、外角性质、等腰三角形性质求解即可.
（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：45；
（2）解：如图所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：或或或，
理由如下：
分两种情况，Ⅰ．当向上平移时，
①如图所示1：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时，
∵，
∴；
②如图2所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时，
∵
∴，
∵，
∴；
③如图3所示：当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时
∵，，
∴，
∵，
∴；
Ⅱ．当向下平移时，如图4所示：
④当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等，即时，
∵，
∴，
∴；
综上可知：将沿直线平移，当以C、D、F为顶点的三角形中有两个角相等时的度数为或或或．
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