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北师大版2025—2026学年七年级下册期中冲刺全优测评卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在△ABC中，．BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于点E、F，则线段EF和BE＋CF的大小关系为（　　）
A． B． C． D．不能确定
2．数据0.00000022用科学记数法表示为（　　）
A．0.22×10-6 B．2.2×10-7 C．0.22×10-9 D．0.22×10-10
3．如图，AB∥CD，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线AP，交CD于点E．若∠C＝70°，则∠AED的度数为（　　）
A．140° B．130° C．125° D．110°
4．下列运用乘法公式的计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（　　）
A．3 B．23 C．25 D．29
6．一个长方形的长为2x+y，宽为2x-y，则这个长方形的面积是（　　）
A．4x2+y2 B．4x2—y2 C．2x2+y2 D．2x2-y2
7．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列叙述：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，a⊥c，那么b∥c．
正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
8．解方程，下列用配方法进行变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．下图是由 16 个相同的小正方形和 4 个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点 ， 则点 落在阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
10． 在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（　　）
A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．甲、乙二人报名参加运动会100 m比赛.预赛分A，B，C三组进行，运动员通过抽签决定参加哪个小组.甲、乙恰好分到同一个组的概率是　 　；恰好都分到A组的概率是　 　.
12．若 ，则 　 　.
13．使(x2+mx)(x2﹣5x+n)的乘积不含x3和x2，则m，n的值为　 　.
14．用长为4 cm，5 cm，6 cm的三条线段围成三角形的事件，是　 　事件．(从“必然”“随机”和“不可能”中选一个)
15．　 　．
16．已知2a＝5，2b＝10，2c＝100，那么a、b、c之间满足的等量关系是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）
18．如图，与相交于点，已知，点是上的一点．
（1）求的度数；
（2）若，判断与是否平行？并说明理由．
19．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，求的值．
解：，
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若，求的值.
（2）如图，是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为20，求的面积．
20．
（1）如图1，已知AB//CD，∠AEP=40°，∠PFD=110°，求∠EPF的度数.
（2）如图2，AB//CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠BPP之间有何数量关系 并说明理由；
（3）如图3，在(2)的条件下，已知，∠EPF=60°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交点G，求∠G的度数.
21．如下是明明的课后作业，阅读并完成任务：
化简：
解：原式
÷2x2… （第一步)
（第二步)
（第三步)
（1）任务一：上述化简过程在第　 　步开始出现错误，错误的原因是　 　；
（2）任务二：写出正确的化简过程.
22．在物理学上有一个著名的随机实验叫做伽尔顿板实验，如图在一块垂直的木板上分三层钉了6个铁钉，小球从入口处投入，每层都会碰到铁钉后等可能的向左或向右偏转下落，最后落入底部、、、共4个竖直的管道中．
（1）小球从入口处投入，碰到②号铁钉的概率是　 　；
（2）小球从入口处投入，求小球落入管道的概率．（请用“画材状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．如图，直线交于点，平分，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
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北师大版2025—2026学年七年级下册期中冲刺全优测评卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在△ABC中，．BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于点E、F，则线段EF和BE＋CF的大小关系为（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，
∴ED=BE，
同理DF=FC，
∴ED+DF=BE+FC，
即EF=BE+FC，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得∠EDB=∠EBD，所以ED=EB，DF=CF，所以ED+DF=BE+FC，即可得到EF=BE+FC。
2．数据0.00000022用科学记数法表示为（　　）
A．0.22×10-6 B．2.2×10-7 C．0.22×10-9 D．0.22×10-10
【答案】B
【解析】【解答】解： 0.00000022=2.2×10-7，
故答案为：B.
【分析】 把一个绝对值大于10的实数记为a×10n的形式（1≤|a|<10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．如图，AB∥CD，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线AP，交CD于点E．若∠C＝70°，则∠AED的度数为（　　）
A．140° B．130° C．125° D．110°
【答案】C
【解析】【解答】解：AB∥CD， ∠C＝70°，
∠BAC=180°-∠C=110°，
由作图步骤可知，AP是∠BAC的角平分线，
，
AB∥CD，
∠AED=180°-∠BAE=180°-55°=125°.
故答案为：C.
【分析】先根据平行线的性质求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义得到，然后再利用平行线的性质求解即可.
4．下列运用乘法公式的计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、（x+y）2=x2+2xy+y2，故原计算错误；A不符合题意；
B、（x-y）2=x2-2xy+y2 ，故原计算错误；B不符合题意；
C、 （x+2y）（x-2y）=x2-4y2，故原计算错误；C不符合题意；
D、 （-x+y）2=x2-2xy+y2 ，故原计算正确；D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式“（a±b）2=a2±2ab+b2”及平方差公式“a2-b2=（a+b）（a-b）”逐项计算判断即可得出答案.
5．将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（　　）
A．3 B．23 C．25 D．29
【答案】D
【解析】【解答】解：
=；
∵，
∴，，，
∴，，，
∴；
故答案为：D.
【分析】根据被除式=商式×除式，建立等式，根据对应系数相等可求出a、b、c的值，再代入计算即可.
6．一个长方形的长为2x+y，宽为2x-y，则这个长方形的面积是（　　）
A．4x2+y2 B．4x2—y2 C．2x2+y2 D．2x2-y2
【答案】B
【解析】【解答】解：这个长方形的面积：(2x+y)( 2x-y )= 4x2—y2 .
故答案为：B.
【分析】 根据长方形面积等于长乘以宽，得到面积，再利用平方差公式，即可得到结论.
7．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列叙述：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，a⊥c，那么b∥c．
正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】【解答】解： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，此项正确；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c，此项正确；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，此项错误；
④如果b⊥a，a⊥c，那么b∥c，此项正确；
故答案为：C.
【分析】根据平行公理，平行线的判定分别判断即可.
8．解方程，下列用配方法进行变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】根据完全平方公式配方，等式两边分别加上一次项系数一半的平方，
x2-4x+4=3+4
(x-2)2=7
故选D.
【分析】考查的是用完全平方公式配方。
9．下图是由 16 个相同的小正方形和 4 个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点 ， 则点 落在阴影部分的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设16个小正方形的边长为a，则4个大正方形的边长为1.5a， 点 落在阴影部分的概率为，
故答案为：B.
【分析】本题考查概率的计算，通过设小正方形的边长计算出阴影部分的面积，再通过概率计算公式求出概率.
10． 在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（　　）
A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
……，
以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为垂直，垂直，平行，平行，
∵，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到，进而结合平行线的判定证明即可得到，以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为垂直，垂直，平行，平行，从而即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．甲、乙二人报名参加运动会100 m比赛.预赛分A，B，C三组进行，运动员通过抽签决定参加哪个小组.甲、乙恰好分到同一个组的概率是　 　；恰好都分到A组的概率是　 　.
【答案】；
【解析】【解答】解：所有可能情况有（A，A）（A，B）（A，C）（B，A）（B，B）（B，C）（C，A）（C，B）（C，C）共9种.因此恰好分到一组（A，A）（B，B）（C，C）概率是 ，恰好都分到A组的概率是 .
【分析】根据题意，列举出所有等可能的结果及恰好都分到A组的情况数，利用概率公式计算可解答。
12．若 ，则 　 　.
【答案】
【解析】【解答】∵am=3，an=12，
∴am-n=am÷an=3÷12= .
故答案为：
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可得答案.
13．使(x2+mx)(x2﹣5x+n)的乘积不含x3和x2，则m，n的值为　 　.
【答案】5；25
【解析】【解答】∵原式＝x4+(m﹣5)x3+(n﹣5m)x2+mnx，
又∵乘积项中不含x3和x2项，
∴m﹣5＝0，n﹣5m＝0，
解得，m＝5，n＝25.
故答案为5；25.
【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加得x4+(m﹣5)x3+(n﹣5m)x2+mnx.不含某一项就是说这一项的系数为0，即m﹣5＝0，n﹣5m＝0，故可以得到答案.
14．用长为4 cm，5 cm，6 cm的三条线段围成三角形的事件，是　 　事件．(从“必然”“随机”和“不可能”中选一个)
【答案】必然
【解析】【解答】解：4+5＞6,6-5＜4，所以一定可以组成三角形。
故答案为：必然.
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以题目所给的三条线段，必然可以组成三角形，所以为必然事件。
15．　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题考查积的乘方，牢记幂的运算规则，注意符号和指数的运算．
16．已知2a＝5，2b＝10，2c＝100，那么a、b、c之间满足的等量关系是　 　．
【答案】c＝1+a+b
【解析】【解答】解：∵100＝2×5×10，
∴2c＝2×2a×2b＝21+a+b，
则c＝1+a+b，
故答案为：c＝1+a+b．
【分析】欲找 a、b、c之间满足的等量关系 ，可先找等式右边的三个数5、10、100之间满足的等量关系：100=2×5×10，然后再把三个等式代入即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【解析】【分析】（1）利用单项式乘单项式的计算方法求解即可；
（2）利用多项式乘多项式的计算方法求解即可；
（3）利用多项式除以单项式的计算方法求解即可。
18．如图，与相交于点，已知，点是上的一点．
（1）求的度数；
（2）若，判断与是否平行？并说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴；
（2）解：与不平行．理由如下：
由（1）可知，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴与不平行．
【解析】【分析】（1）先证出AD∥BC，可得∠1=∠AEB，再结合，求出，最后利用邻补角可求出∠BEF的度数；
（2）先利用角的运算求出∠BEP=19°，再结合，可得，即可得到PE与BF不平行．
19．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，求的值．
解：，
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1）若，求的值.
（2）如图，是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和为20，求的面积．
【答案】（1）解：∵(9－x)＋(x－6)＝3，(9－x)(x－6)＝1；
∴[(9－x)＋(x－6)]2＝9，2(9－x)(x－6)＝2，
∴(9－x)2＋(x－6)2＋2(9－x)(x－6)＝[(9－x)＋(x－6)]2＝9，
∴(9－x)2＋(x－6)2＝9－2＝7；
（2）解：设AC＝a，BC＝CF＝b，
∴a＋b＝6，a2＋b2＝20，
∴(a＋b)2＝36，
∴a2＋b2＋2ab＝36，
∴ab＝8，
∴S△ACF＝ab＝×8＝4．
【解析】【分析】完全平方式与平方和之间的关系，(1)中利用整体法，同时用完全平方式推导结果.而(2)中的利用第(1)问中的结论进行推导.
20．
（1）如图1，已知AB//CD，∠AEP=40°，∠PFD=110°，求∠EPF的度数.
（2）如图2，AB//CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠BPP之间有何数量关系 并说明理由；
（3）如图3，在(2)的条件下，已知，∠EPF=60°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交点G，求∠G的度数.
【答案】（1）解：如图1，过点P作PM//AB，
∴∠1=∠AEP=40°.(两直线平行，内错角相等)
∵AB//CD，PM//AB，(已知)
∴PM//CD，(平行于同一条直线的两直线平行)
∴∠2+∠PFD=180°.(两直线平行，同旁内角互补)
∵∠PFD=130°，
∴∠2=180°-130°=50°.
∴∠1+∠2=40°+50°=90°.
即∠EPF=90°；
（2）解：∠PFC=∠PEA+∠P.
理由：如图2，过P点作PN//AB，则PN//CD，
∴∠PEA=∠NPE，
∵∠FPN=∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN=∠PEA+∠FPE，
∵PN//CD，
∴∠FPN=∠PFC，
∴∠PFC=∠PEA+∠FPE，即∠PFC=∠PEA+∠P；
（3）解：如图，过点G作AB的平行线GH.
∵GH//AB，AB//CD，
∴GH//AB//CD，
∴∠HGE=∠AEG，∠HGF=∠CFG，
又∴∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE=∠AEG=∠AEP，
∠HGF=∠CFG=∠CFP，
由(2)可知，∠CFP=∠EPF+∠AEP，
∴∠HGF=(∠EPF+∠AEP)
=(60°+∠AEP)，
∴∠EGF=∠HGF-∠HGE
=(60°+∠AEP)=30°+∠AEP-∠HGE=30°.
【解析】【分析】（1）过点P作PM//AB，由两直线平行，内错角相等得∠1=∠AEP=40°，由平行于同一条直线的两直线平行得PM//CD，由两直线平行，同旁内角互补可求出∠2=50°，进而根据∠EPF=∠1+∠2算出答案；
（2）∠PFC=∠PEA+∠P，理由如下：过P点作PN//AB，由平行于同一条直线的两直线平行得PN//CD，由两直线平行，内错角相等得∠PEA=∠NPE，∠FPN=∠PFC，进而根据角的和差及等量代换可得结论；
（3）过G作AB∥GH，由平行于同一条直线的两直线平行得GH//AB//CD，由两直线平行内错角相等得∠HGE=∠AEG，∠HGF=∠CFG，由角平分线定义得∠HGE=∠AEG=∠AEP，∠HGF=∠CFG=∠CFP，结合（2）的结论得∠HGF=(∠EPF+∠AEP)，进而根据角的和差，由∠EGF=∠HGF-∠HGE代入计算可得答案.
21．如下是明明的课后作业，阅读并完成任务：
化简：
解：原式
÷2x2… （第一步)
（第二步)
（第三步)
（1）任务一：上述化简过程在第　 　步开始出现错误，错误的原因是　 　；
（2）任务二：写出正确的化简过程.
【答案】（1）二；括号前是负号，去括号时未变号
（2）解：原式
.
【解析】【解答】（1）观察计算过程发现，第二步括号前是负号，去括号时未变号.
故答案为：二；括号前是负号，去括号时未变号.
【分析】（1）观察计算过程发现，第二步括号前是负号，去括号时未变号即可得答案.
（2）其他地方不变，将第二步去括号的未变号得地方纠正过来得，再计算整理即可.
22．在物理学上有一个著名的随机实验叫做伽尔顿板实验，如图在一块垂直的木板上分三层钉了6个铁钉，小球从入口处投入，每层都会碰到铁钉后等可能的向左或向右偏转下落，最后落入底部、、、共4个竖直的管道中．
（1）小球从入口处投入，碰到②号铁钉的概率是　 　；
（2）小球从入口处投入，求小球落入管道的概率．（请用“画材状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中小球落入管道B的结果有3种，
∴小球落入管道B的概率为．
【解析】【解答】解：（1）P=；
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式即可得出答案；
（2）根据树状图分析可得出共有8种等可能的结果，其中小球落入管道B的结果有3种，即可得出小球落入管道B的概率为．
23．如图，直线交于点，平分，．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的定义得出，再求出，根据垂直得出，进而根据平角得出答案；
（2）先求出，再根据角之间度数比例关系求出，根据对顶角相等得出，进而根据角平分线的定义得出答案．
（1）解：∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴．
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