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沪科版2025—2026学年八年级下册期中模拟重点提分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．1，2，3 B．4，6，8
C．，， D．5，12，13
2．下列方程为一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c=0（a、b、c为常数） B．x（x+3）=x2﹣1
C．x2=0 D．
3．用配方法解一元二次方程时应在等式两边同时加上4的是（　　）
A． B． C． D．
4． 喜迎国庆佳节，某商品原价300元，连续两次降价后售价为225元，下列所列方程中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．用配方法解方程 ，则方程可变形为（　　）.
A． B． C． D．
6．下列化简正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
8．三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（　　）
A．11 B．13 C．11或13 D．以上都不对
9．如图，在中，，平分交于点，点在边上，，，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC= ，若AD=4，CD=2，则BD的长为（　　）
A．6 B． C．5 D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2023的值为 　 　．
12．函数中，自变量的取值范围是　 　．
13．关于x的方程x2＋(k2－4)x＋k＋1＝0的两个实数根互为相反数，则k的值是　 　．
14．已知 ，则代数式 　 　．
15．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E均是网格线的交点，则　 　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为直线AB上一动点，当BD＝　 　时，△ADC为等腰三角形.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
18．如图，在平面直角坐标系中画一个6×4的网格，一条圆弧经过格点A、B、C.
（1）在图中标出所在圆的圆心P的位置，圆心P的坐标为　 　；
（2）所在圆的半径为　 　，的长度为　 　；
（3）下列各点与点B的连线中，与所在圆相切的是　 　（填序号）.①点（0，4），②点（5，1），③点（5，2），④点（6，1）.
19．第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型，吉祥物玩偶一经发售，深受大家喜爱。玩偶进价为每个45元，当售价为65元时，平均每周可售出200个。经调查发现，该玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个。
（1）若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为　 　元；若每个玩偶售价降低x元，则每周的销售量为　 　个(用含x的代数式表示)；
（2）商店希望通过销售该玩偶实现平均每周4500元的盈利，则每个玩偶售价应降价多少元？
20．在△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，连结BD，DC，延长DC至点E，使得CE=CD.
（1）如图甲所示，延长BC至点F，使得CF=BC，连结AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF.
（2）连结AE，交BD的延长线于点H，连结CH，请根据题意补全图乙.若AB2=AE2+BD2，请用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明.
21．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元时，平均每天能售出双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格（元）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求出与的函数关系式；
（2）公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元
（3）在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能否获得元的利润 若能，求出定价：若不能，请说明理由．
22．如图，在中，，点E是边的中点，点D是边上一点，连接并延长至C，使得，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形：
（2）若平分，，，求四边形的面积．
23．已知关于的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且，则称它们互为“同根轮换方程”． 如与互为“同根轮换方程”．
（1）方程与互为“同根轮换方程”吗？
（2）若关于的方程与互为“同根轮换方程”，求的值；
（3）已知方程①：和方程②：，、分别是方程①和方程②的实数根，且．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含的代数式分别表示和；如果不能，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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沪科版2025—2026学年八年级下册期中模拟重点提分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．1，2，3 B．4，6，8
C．，， D．5，12，13
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，，不是正整数，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D．
【分析】根据勾股数的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．下列方程为一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c=0（a、b、c为常数） B．x（x+3）=x2﹣1
C．x2=0 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A. ax2+bx+c=0（a、b、c为常数），故该选项不正确，不符合题意；
B. x（x+3）=x2﹣1，整理得，故该选项不正确，不符合题意；
C. x2=0，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
D. ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：C
【分析】只含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此逐一判断即可.
3．用配方法解一元二次方程时应在等式两边同时加上4的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、根据配方的要求，常数项等于一次项系数一半的平方，两边应加1，故本项错误；
B、两边同时加上-4的一半的平方，即同时加4，故本项正确；
C、先两边同时除2，再两边加上-2的一半的平方，即同时加上1，故本项错误；
D、先两边同时除4，两边同时加上1的一半的平方，即同时加上，故本项错误.
故答案为：B.
【分析】首先将二次项系数化为1，然后给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，据此判断.
4． 喜迎国庆佳节，某商品原价300元，连续两次降价后售价为225元，下列所列方程中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵某商品原价300元，连续两次降价a%后售价为225元，
∴300(1-a%)2=225，
故答案为：D.
【分析】根据题意可知，第一次降价后的售价为300(1-a%)元，则第二次降价后的售价为300(1-a%)2元，据此列出方程即可.
5．用配方法解方程 ，则方程可变形为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：C.
【分析】首先将方程的未知数的项放在方程的左边，常数项放方程的右边，然后根据等式的性质，方程两边都除以3，将二次项系数化为1，再根据等式的性质，方程两边都加上一次项系数一半的平方“1”，然后左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，进而利用直接开平方法求解即可.
6．下列化简正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】 解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质逐一进行化简即可.
7．下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A：∵，
∴，
∴方程有实数根，不符合题意；
B：∵，
∴，
∴，
∴方程有实数根，不符合题意；
C：∵，
∴，
∴，
∴方程没有实数根，符合题意；
D：∵，
∴，
∴，
∴方程有实数根，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程根的判别式对每个选项逐一判断求解即可。
8．三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（　　）
A．11 B．13 C．11或13 D．以上都不对
【答案】A
【解析】【解答】解：解方程x2﹣12x+35＝0得：x＝7或5，
当三角形的三边为2，4，7时，2+4＜7，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形；
当三角形的三边为2，4，5时，符合三角形的三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长是2+4+5＝11；
综合上述：三角形的周长是11，
故答案为：A．
【分析】先求出一元二次方程的根，再利用三角形三边的关系及三角形的周长公式求解即可。
9．如图，在中，，平分交于点，点在边上，，，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过作交的延长线于，过作于，如图所示：
∵AG∥BC，
∴∠GAE=∠E，∠CAG+∠C=180°，
∵∠C=90°，
∴∠CAG=180°-∠C=90°，
在△AEG和△BED中，
，
∴△AEG≌△BED（ASA），
∴AG=BD，EG=ED=，
∵AE=BD，
∴AG=AE，
∵AH⊥EG，
∴EH=GH=EG=，∠EAH=∠EAG，∠AHE=90°，
∴DH=DE+EH=1，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=∠CAB，
∴∠DAH=∠EAH+∠DAB=∠EAG+∠CAB=∠CAG=45°，
∴Rt△ADH是等腰直角三角形，
∴AH=DH=1，
∴AD==，
故答案为：A.
【分析】过作交的延长线于，过作于，易证△AEG≌△BED（ASA），可得 AG=BD，EG=ED=， 结合已知条件可得AG=AE，进而得出EH=，∠EAH=∠EAG，∠AHE=90°，DH=1，根据角平分线可得∠DAH=45°，求得是等腰直角三角形，最后利用勾股定理即可得出结论．
10．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC= ，若AD=4，CD=2，则BD的长为（　　）
A．6 B． C．5 D．
【答案】A
【解析】【解答】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，
则有∠AD′D=∠D′AD= ，
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中， ，
∴BD=CD′，
∠DAD′=90°，由勾股定理得DD′= ＝4 ，
∠D′DA+∠ADC=90°，由勾股定理得
CD′= = =6，
故答案为：A.
【分析】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2023的值为 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可知：S1=4=22，S2=2=21，以此类推：
S3=1=20 ，S4==，S5==...
∴根据规律可以发现：Sn=，
∴S2023=
故答案为：.
【分析】根据图形找出规律.
12．函数中，自变量的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：根据二次根式非负性和分母不为0可得，
，
解得 ，
故答案为： .
【分析】根据二次根式非负性和分母不为0可得，列出不等式即可解得.
13．关于x的方程x2＋(k2－4)x＋k＋1＝0的两个实数根互为相反数，则k的值是　 　．
【答案】-2
【解析】【解答】解： ∵关于x的方程x2＋(k2－4)x＋k＋1＝0的两个实数根互为相反数，
∴，
解得；k=±2，
∵当k=2时，方程没有实根，
故k=-2
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两个根的和，再根据两个根互为相反数求出所有的k值，最后根据根的判别式确定最终的k值.
14．已知 ，则代数式 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵x=-2，y=+2，
∴x2-y2=（x+y）（x-y）=（-2++2）（-2--2）=2×（-4）=-8.
故答案为：-8.
【分析】利用平方差公式将x2-y2因式分解为（x+y）（x-y），将x和y的值代入后，再利用二次根式的加减法、乘法计算即可求解.
15．在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，E均是网格线的交点，则　 　．
【答案】45
【解析】【解答】如图，
，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形
，
．
故答案为：．
【分析】先证明可得，再利用勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，求出，再利用角的运算可得。
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D为直线AB上一动点，当BD＝　 　时，△ADC为等腰三角形.
【答案】2或8或 或18
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC 10，
当点D在点B的左侧时，
若AC＝AD，
∵AC＝10，
∴AD＝10，
∴BD＝AD﹣AB＝10﹣8＝2，
若AC＝CD，
∵CB⊥AD，AB＝8，
∴AB＝BD＝8；
当点D在点B和点A中间时，
若AD＝CD，
设BD＝x，则AD＝CD＝8﹣x，
∵∠CBD＝90°，BC＝6，
∴62+x2＝（8﹣x）2，
解得x ；
当点D在点A的右侧时，
若AC＝AD＝10，则BD＝BA+AD＝8+10＝18；
由上可得，BD＝2或8或 或18时，△ADC为等腰三角形.
故答案为：2或8或 或18.
【分析】首先由勾股定理求出AC，当点D在点B的左侧时，若AC＝AD=10，则BD＝AD-AB；若AC=CD，由等腰三角形的性质可得AB＝BD＝8；当点D在点B和点A中间时，若AD＝CD，设BD＝x，则AD＝CD＝8﹣x，由勾股定理可得x；当点D在点A的右侧时，若AC＝AD＝10，则BD＝BA+AD，据此解答.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：(2x-1)2-9=0，
∴(2x-1)2=9，
∴2x-1=±3，
∴2x-1=3或2x-1=-3，
解得x1=2，x2=-1；
（2）解：方程x2-5x+2=0中，a=1，b=-5，c=2，
∴△=b2-4ac=(-5)2-4×1×2=17＞0，
∴，
∴
（3）解：∵2(x-2)=3x(x-2)
∴2(x-2)-3x(x-2)=0
∴(x-2)(2-3x)=0，
∴x-2=0或2-3x=0，
∴；
（4）解：
∴
∵，
∴
∴
∴.
【解析】【分析】（1）把2x-1看成一个整体，此方程缺一次项，利用直接开平方法求解较为简单；首先将常数项移到方程的右边，然后直接开方将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根；
（3）把x-2看成一个整体，将方程的右边整体移到方程的左边，然后将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（4）首先将方程整理成一般形式，找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根.
18．如图，在平面直角坐标系中画一个6×4的网格，一条圆弧经过格点A、B、C.
（1）在图中标出所在圆的圆心P的位置，圆心P的坐标为　 　；
（2）所在圆的半径为　 　，的长度为　 　；
（3）下列各点与点B的连线中，与所在圆相切的是　 　（填序号）.①点（0，4），②点（5，1），③点（5，2），④点（6，1）.
【答案】（1）（1，0）
（2）；
（3）③
【解析】【解答】解：（1）分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点P，即点P即为所求
由图可得，点P的坐标为(1，0)
故答案为；（1，0）
（2）由题意可得：
∴所在圆的半径为
∵AP2+PC2=AC2
∴∠APC=90°
∴的长度为
故答案为：；
（3）①如图，设点D(0，4)，分别连接BP，BD，DP
∵BD2=12+22=5，BP2=12+32=10，DP2=12+42=17
∴BD2+BP2=15≠ DP2
∴∠PBD≠90°，即PB与BD不垂直，
∴点（0，4)与点B的连线与AC所在圆不相切
∴点(0，4)不符合要求；
②如①图，设点E(5，1)，分别连接BP，BE，EP
∵BE2=22+32=13，BP2=12+32=10，EP2=12+42=17
∴BE2+BP2=23≠EP2
∴∠PBE ≠ 90°，即PB与BE不垂直
∴点(5，1)与点B的连线与AC所在圆不相切，
∴点(5，1)不符合要求；
③如①图，设点F(5，2)，分别连接BP，BF，FP
∵BF2=12+32=10，BP2=12+32=10，FP2=22+42=20
∴BF2+BP2=20=FP2
∴∠PBF=90°，即PB与BE垂直，
∴点(5，2)与点B的连线与AC所在圆相切，
∴点(5，2)符合要求；
④如①图，设点G(6，1)，分别连接BP，BG，GP
∵BG2=22+42=20，BP2=12+32=10，GP2=12+52=26
∴BG2+BP2=30≠GP2
∴∠PBG≠90°，即PB与BG不垂直
∴点（6，1)与点B的连线与AC所在圆不相切
∴点(6，1)不符合要求
【分析】（1）分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点P，即点P即为所求.
（2）根据勾股定理可得AP，PC，AC，再根据勾股定理逆定理可得∠APC=90°，再根据弧长公式即可求出答案.
（3）根据勾股定理及勾股定理，结合切线判定定理逐项进行判断即可求出答案.
19．第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型，吉祥物玩偶一经发售，深受大家喜爱。玩偶进价为每个45元，当售价为65元时，平均每周可售出200个。经调查发现，该玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个。
（1）若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为　 　元；若每个玩偶售价降低x元，则每周的销售量为　 　个(用含x的代数式表示)；
（2）商店希望通过销售该玩偶实现平均每周4500元的盈利，则每个玩偶售价应降价多少元？
【答案】（1）18；(200+20x)
（2）解：(65-45-x)(200+20x)=4500
解得：
∴每个玩偶售价应降价5元。
【解析】【解答】（1）解：65-45-2=18元，
∵ 玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个 ，
∴ 每个玩偶售价降低x元，则每周的销售量为（200+20x）个，
故答案为：（1）18，(200+20x)；
【分析】（1）根据条件“ 玩偶进价为每个45元，售价为65元 ”，因此当每个玩偶售价降低2元，列式计算即可得出销售一个该玩偶获得的利润；而“玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个”，因此每个玩偶售价降低x元，则每周的销售量多售出20x个，即每周的销售量为（200+20x）个；
（2）结合（1）的计算结果，若每个玩偶售价降低x元时，一个该玩偶获得的利润为(65-45-x)元，且每周的销售量为（200+20x）个，列式化简求解即可。
20．在△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，连结BD，DC，延长DC至点E，使得CE=CD.
（1）如图甲所示，延长BC至点F，使得CF=BC，连结AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF.
（2）连结AE，交BD的延长线于点H，连结CH，请根据题意补全图乙.若AB2=AE2+BD2，请用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明.
【答案】（1）解：在△BDC和△FEC中，
∴△BDC≌△FEC(SAS)，
∴∠DBC=∠EFC，
∴BD∥EF
（2）解：由题意补全图形如下：
CD=CH.
证明：延长BC到F，使CF=BC，连接AF，EF，
∵AC⊥BF，BC=CF，
∴AB=AF，
由(1)可知BD//IEF，BD=EF，
∵AB2=AE2+BD2，
∴AF2=AE2+EF2
∴∠AEF=90°
∴AE⊥EF，
∴BD⊥AE，
∴∠DHE=90°，
又∵CD=CE，
∴CH=CD
【解析】【分析】(1)证明△BDC≌△FEC(SAS)，由全等三角形的性质得出∠DBC=∠EFC，证出BD//EF，则可得出结论；
(2)由题意画出图形，延长BC到F，使CF=BC，连接AF，EF，由(1)可知BD//EF，BD=EF.证出
∠AEF=90°，得出∠DHE=90°，由直角三角形的性质可得出结论.
21．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元时，平均每天能售出双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格（元）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求出与的函数关系式；
（2）公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元
（3）在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能否获得元的利润 若能，求出定价：若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设与的函数关系式为，
由图可知，函数图象经过点和，
，
解得：，
与的函数关系式为；
（2）解：由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为元，
根据题意得，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
，
答：每双运动鞋的售价应该定为元；
（3）解：公司每天能获得元的利润，理由如下：
保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的，
，
解得：，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（符合题意），
，
答：在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能获得元的利润，定价为元．
【解析】【分析】（1）设与的函数关系式为，根据待定系数法将点和，代入解析式即可求出答案.
（2）由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设与的函数关系式为，
由图可知，函数图象经过点和，
，
解得：，
与的函数关系式为；
（2）解：由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为元，
根据题意得，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
，
答：每双运动鞋的售价应该定为元；
（3）解：公司每天能获得元的利润，理由如下：
保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的，
，
解得：，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（符合题意），
，
答：在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的的前提下，公司每天能获得元的利润，定价为元．
22．如图，在中，，点E是边的中点，点D是边上一点，连接并延长至C，使得，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形：
（2）若平分，，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：，，
，
，
点E是边的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：平分，
，
四边形是平行四边形
，
，
，
设，则，
在中，可得方程，
解得，
平行四边形的面积为．
【解析】【分析】（1）由点E是边的中点可得BE=FE，再证，可得CE=DE，根据对角线互相平分可证四边形是平行四边形；
（2）由角平分线的定义好额平行四边形的性质可推出，可得DB=DF，设，则，在中，利用勾股定理建立关于x方程，解出x值，根据平行四边形的面积=底×高进行计算即可.
23．已知关于的方程与都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且，则称它们互为“同根轮换方程”． 如与互为“同根轮换方程”．
（1）方程与互为“同根轮换方程”吗？
（2）若关于的方程与互为“同根轮换方程”，求的值；
（3）已知方程①：和方程②：，、分别是方程①和方程②的实数根，且．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含的代数式分别表示和；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：在方程中，，
∴方程无实数根，
∴方程与不互为“同根轮换方程”；
（2）解：∵方程与互为“同根轮换方程”，
∴
设t是公共根，则有，，
解得，．
∵，
∴．
∴．
∴（0值舍去）．
（3）解：当公共解为时，
∴，，，
∴，
∴，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为时，，，，
同理可得，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”；
设公共解为，
由题意可得：，，，
同理可得，，，，
∴当，（）时，方程和互为“同根轮换方程”．
【解析】【分析】(1)根据判断方程根的情况，再根据“同根轮换方程”的定义解答即可；
(2)根据方程： 与 互为“同根轮换方程”，得到m、n之间的关系为4m=-6n.然后设t是公共根，则有 6t+n=0，于是得到结论；
(3)根据 与 3=0互为“同根轮换方程”，得到它们的公共根是3，从而得到当p=q=-3a时，有 解得， 解得， 从而证得方程 与 互为“同根轮换方程”.
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