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苏科版2025—2026学年七年级下册期中模拟质量检测卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若 ， ，则 的值是（　　）
A．-1 B． C．20 D．
5．如图，以每秒3cm的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是（　　）
A．9 B．6 C．5 D．3
6．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
… …
请依据上述规律，写出 展开式中含 项的系数是（　　）
A．-2021 B．2021 C．4042 D．-4042
7．已知 ， ，则 的值是（　　）
A．70 B．76 C．80 D．84
8．如图，将绕点O逆时针旋转，得到，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，把一个大长方形分割成5小块，其中长方形①号和②号，③号和④号的形状和大小分别相同，⑤号是正方形，则下列结论中错误的是（　　）
A．①号长方形与③号长方形的面积比为
B．②号长方形与④号长方形的周长比为
C．⑤号正方形与大长方形的面积比为
D．⑤号正方形与大长方形的周长比为
10．有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，；③正确的说法有（　　）个
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若 ，则 　 　.
12．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若∠EAD=30°，则∠CAE的度数为
　 　。
13．计算：a3 a4=　 　
14．若，则b的值为　 　.
15．如图，三角形ABC的边BC长为4cm.将三角形ABC平移2cm得到三角形A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为　 　cm .
16．如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　 　秒时，边CD恰好与边AB平行．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
18．已知直线 ，一块含 角的直角三角板 ， 顶点 在直线 上．
（1）如图 1 ， 若 ， 求 的度数；
（2）如图 2， 向上平移直线 ， 使直线 过点E，， 若 是 的 3 倍， 求证： ．
19．综合运用
已知，
（1）化简A和B；
（2）若变量y满足，求出y与x之间的关系式；
（3）在（2）的条件下，求的值．
20．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如下所示是该市自来水收费价格见价目表．
价目表
每月用水量 单价
不超出的部分 2元
超出但不超出的部分 4元
超出的部分 8元
注：水费按月结算．
（1）填空：若该户居民2月份用水，则应收水费________元；
（2）若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示并化简）
（3）若该户居民4，5月份共用水（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水，求该户居民4，5月份共交水费多少元？（用含的整式表示并化简）
21．图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，再按图的形状拼成一个正方形．
（1）请用含，的代数式表示图中阴影部分的面积：________．
（2）观察图，请问下面三个式子，，之间有什么等量关系？
（3）根据（2）中的等量关系，解决以下问题：
①已知，，求的值？
②已知，，求的值？
22．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则
∴
解得：，．∴另一个因式为，m的值为．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）若，则______；
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值．
23．如图，点是直线上的一点，射线在直线的同侧，且，．
（1）如图①，__________；
（2）如图②，若射线平分，求的度数；
（3）如图③，在（2）的条件下，若射线从开始绕点以每秒的速度顺时针旋转；同时射线从开始绕点以每秒的速度逆时针旋转；当射线与重合时停止所有旋转；该过程中是否存在时间，使得？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
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苏科版2025—2026学年七年级下册期中模拟质量检测卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项进行判断即可得出答案。
2．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】a个a相乘，即aa，再利用幂的乘方运算法则可得答案．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A、∵，∴A不符合题意；
B、∵，∴B不符合题意；
C、∵，∴C符合题意；
D、∵，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方和幂的乘方逐项判断即可。
4．若 ， ，则 的值是（　　）
A．-1 B． C．20 D．
【答案】D
【解析】【解答】解： ， ，
，
故答案为：D．
【分析】原式可化简为，再整体代入计算即可。
5．如图，以每秒3cm的速度沿着射线向右平移，平移2秒后所得图形是，如果，那么的长是（　　）
A．9 B．6 C．5 D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：由平移的性质得：BE=AD=3×2=6，
∵AD=2CE，
∴CE=3，
∴BC=BE+CE=6+3=9，
故答案为：A.
【分析】由平移的性质得：BE=AD=3×2=6，结合已知求出CE，利用BC=BE+CE即可求解.
6．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了 的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
… …
请依据上述规律，写出 展开式中含 项的系数是（　　）
A．-2021 B．2021 C．4042 D．-4042
【答案】D
【解析】【解答】解：根据规律可以发现： 第一项的系数为1，第二项的系数为2021，
∴第一项为：x2021，
第二项为：
故答案为：D
【分析】本题是中考常考题，考查整式的混合运算、杨辉三角等知识点；解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题。首先确定x2021是展开式中的第几项，然后根据杨辉三角即可解决问题。
7．已知 ， ，则 的值是（　　）
A．70 B．76 C．80 D．84
【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：B．
【分析】由，两边平方可得 ，从而可得，将ab=3代入计算即得结论.
8．如图，将绕点O逆时针旋转，得到，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵将绕点O逆时针旋转，得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】首先根据旋转的性质可得出，进而根据可得出，进一步即可得出。
9．如图，把一个大长方形分割成5小块，其中长方形①号和②号，③号和④号的形状和大小分别相同，⑤号是正方形，则下列结论中错误的是（　　）
A．①号长方形与③号长方形的面积比为
B．②号长方形与④号长方形的周长比为
C．⑤号正方形与大长方形的面积比为
D．⑤号正方形与大长方形的周长比为
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
设长方形①号和②号的长为，宽为，
则，，
∴⑤号正方形的边长，
长方形③号和④号的宽，
∴大长方形的宽，
∴长方形③号和④号的长，
∴，，
∵大长方形的长，
∴，
解得：，
∴，，
∴①号长方形与③号长方形的面积比，故A正确，不符合题意；
∴②号长方形与④号长方形的周长比，故B正确，不符合题意；
∴⑤号正方形的边长，
大长方形的长，
大长方形的宽，
∴⑤中的面积与大长方形的面积之比
，故C正确，不符合题意；
⑤号正方形与大长方形的周长比，故D错误，符合题意.
故答案为：D．
【分析】设长方形①号和②号的长为，宽为，根据长方形的对边相等及正方形的四边相等，由线段的和差分别表示出③④长与宽，用两个不同的式子表示出⑤号图形的边长AB与CD，然后根据AB=CD建立等式推出A=3B，从而将各条线段都用含b的式子表示出来，最后根据长方形、正方形的周长和面积公式，逐项计算判断即可．
10．有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，；③正确的说法有（　　）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意依次计算可得：
，
，
，
，
，
，
．
以此类推，6个一循环.
∴当时，，故①错误；
∵六个一循环，∴，
当，
即； 故②正确；
∵，，，
∴，，，
∴，
，
∴和不一定相等，故③错误，
综上所述，正确的说法有1个，
故答案为：D．
【分析】本题考查了整式的运算以及探索规律，根据题意依次进行作差，求出C1到C7的值，发现规律为：6个一循环，然后再逐一判断即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若 ，则 　 　.
【答案】-12
【解析】【解答】解：已知等式整理得： ，
∴ ，
解得：
∴ .
故答案为：-12.
【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件列方程求出m与n的值，即可求出mn的值.
12．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若∠EAD=30°，则∠CAE的度数为
　 　。
【答案】30°
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，∠DAC=60°
∴∠CAE=∠DAC-∠EAD=60°-30°=30°
【分析】根据旋转的性质即可得到∠DAC的度数，然后进行计算即可得到答案。
13．计算：a3 a4=　 　
【答案】a7
【解析】【解答】解：a3 a4=a3+4=a7，
故答案为：a7．
【分析】根据同底数幂的乘法：底数不变指数相加，可得答案．
14．若，则b的值为　 　.
【答案】42
【解析】【解答】解：∵（7x+3）2=49x2+42x+9=49x2+bx+9，
∴b=42.
故答案为：42.
【分析】根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”计算并结合恒等式的意义即可求解.
15．如图，三角形ABC的边BC长为4cm.将三角形ABC平移2cm得到三角形A'B'C'，且BB'⊥BC，则阴影部分的面积为　 　cm .
【答案】8
【解析】【解答】解：∵三角形ABC平移2cm得到三角形A'B'C'，
∴
∴阴影部分面积为：S四边形BB'C'C=4×2=8.
故答案为：8.
【分析】根据平移的性质：平移不改变图形的大小，据此即可知阴影部分面积为长方形边形BCC'B'的面积，进而即可求解.
16．如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　 　秒时，边CD恰好与边AB平行．
【答案】10或28
【解析】【解答】解：①如图所示：两三角形在点O的同侧时，设CD与OB相交于点E，
∵AB//CD，
∴∠CEO=∠B=40°，
∵∠C=60°，∠COD=90°，
∴∠D=90°-60°=30°，
∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，
∴旋转角∠AOD=∠AOB+∠DOE=90°+10°=100°，
∵每秒旋转10°，
∴时间为100°÷10°=10（秒）；
②如图所示：两三角形在点 O的异侧时，延长BO与CD相交于点E，
∵AB//CD，
∴∠CEO=∠B=40°，
∵∠C=60°，∠COD=90°，
∴∠D=90°-60°=30°，
∴∠DOE=∠CEO-∠D=40°-30°=10°，
∴旋转角为270°+10°=280°，
∵每秒旋转10°，
∴时间为280°÷10°=28（秒）；
综上所述：在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行，
故答案为：10或28.
【分析】先作图，再分类讨论，利用平行线的性质和旋转的性质计算求解即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
．
【解析】【分析】（1）根据多项式除以单项式的法则进行计算求解即可；
（2）先根据零指数幂，负整数指数幂化简，再进行有理数的加减运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．已知直线 ，一块含 角的直角三角板 ， 顶点 在直线 上．
（1）如图 1 ， 若 ， 求 的度数；
（2）如图 2， 向上平移直线 ， 使直线 过点E，， 若 是 的 3 倍， 求证： ．
【答案】（1） 解：如图1中，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3，
∵∠FGE＝60°，
∴∠1＋∠3＝120°，
∵∠2＝2∠1，
∴3∠1＝120°，
∴∠1＝40°.
（2）证明：∵AB∥CD，
∴α＝∠CGE，
∵∠CGE＝β＋60°，α是β的3倍，
∴β＋60°＝3β，
∴β＝30°，
∴α＝30°＋60°＝90°，
∴∠EGC＝∠BEG＝90°，
∴EG⊥CD．
【解析】【分析】（1）根据题意，利用同位角、补角的性质即可得出 的度数；
（2）先利用平行线的性质可得α＝∠CGE，再结合∠CGE＝β＋60°，α是β的3倍，求出β＝30°，再求出∠EGC＝∠BEG＝90°，即可得到EG⊥CD．
19．综合运用
已知，
（1）化简A和B；
（2）若变量y满足，求出y与x之间的关系式；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）解：
，
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴
．
【解析】【分析】
（1）计算A时，根据完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可得到答案；计算B时，直接根据多项式除以单项式的计算法则即可求出答案.
（2）根据（1）所求结合，计算即可求出答案.
（3）先根据平方差公式，完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则把所求式子去括号，然后合并同类项化简，再把代入化简求解即可．
20．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节水的目的．如下所示是该市自来水收费价格见价目表．
价目表
每月用水量 单价
不超出的部分 2元
超出但不超出的部分 4元
超出的部分 8元
注：水费按月结算．
（1）填空：若该户居民2月份用水，则应收水费________元；
（2）若该户居民3月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示并化简）
（3）若该户居民4，5月份共用水（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水，求该户居民4，5月份共交水费多少元？（用含的整式表示并化简）
【答案】（1）8
（2）解：元，
∴应收水费元；
（3）解：∵该户居民4，5月份共用水，且5月份用水量超过了4月份，
∴4月份用水量少于，
①当4月份用水量少于时，5月份用水量超过，
∴4，5月份共交水费为：元；
②当4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过，
∴4，5月份交的水费为：元；
③当4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过，但少于，
∴4，5月份交的水费为：（元）．
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得应收水费为：（元），
故答案为：8.
【分析】（1）根据表格中的收费标准列式进行计算即可；
（2）根据表格中的收费标准以及的范围列式计算即可；
（3）根据5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于，然后分以下三种情况讨论：①当4月份用水量少于时，5月份用水量超过；②当4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过；③当4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过，但少于；根据表格中的收费标准列式进行计算.
（1）解：根据题意得：（元）；
（2）解：根据题意得：元．
答：应收水费元；
（3）解：由5月份用水量超过了4月份，得到4月份用水量少于，
当4月份用水量少于时，5月份用水量超过，则4，5月份共交水费为元；
当4月份用水量不低于，但不超过时，5月份用水量不少于，但不超过，则4，5月份交的水费为元；
当4月份用水量超过，但少于时，5月份用水量超过但少于，则4，5月份交的水费为（元）．
21．图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，再按图的形状拼成一个正方形．
（1）请用含，的代数式表示图中阴影部分的面积：________．
（2）观察图，请问下面三个式子，，之间有什么等量关系？
（3）根据（2）中的等量关系，解决以下问题：
①已知，，求的值？
②已知，，求的值？
【答案】（1）或
（2）解：根据图b中阴影部分的面积的两种不同表示方法可得：
．
（3）解：①由（2）得，∵，，
∴，
∴，
解得；
②∵，，
∴，
∵
∴
∴．
【解析】【解答】（1）解：方法1：图b中阴影部分是正方形，边长为，面积为；
方法2：图b中阴影部分的面积＝大正方形的面积个长为，宽为的面积，
即图b中阴影部分的面积为；
故答案为：或
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景及利用完全平方公式变形求值。
（1）求阴影部分面积有两种思路，一是观察阴影部分为正方形，边长为，根据正方形面积公式得面积为；二是用大正方形面积减去4个小长方形面积，大正方形边长为，面积为，每个小长方形面积为，4个总面积为，因此阴影部分面积也为；
（2）由阴影部分面积的两种表达式，可直接得出等量关系；
（3）①利用（2）的等量关系变形得，将、代入，计算得，因此；②同理，，将代入，得，又因为，所以，故。
（1）解：方法1：图b中阴影部分是正方形，边长为，面积为；
方法2：图b中阴影部分的面积＝大正方形的面积个长为，宽为的面积，
即图b中阴影部分的面积为；
（2）解：根据图b中阴影部分的面积的两种不同表示方法可得：
．
（3）解：①由（2）得，
∵，，
∴，
∴，
解得；
②∵，，
∴，
∵
∴
∴．
22．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得，则
∴
解得：，．∴另一个因式为，m的值为．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）若，则______；
（2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值．
【答案】（1）6
（2）解：设另一个因式为，
则，
∴，
解得：，，
∴另一个因式是．
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
【分析】（1）根据多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等可得b，c值，再代入代数式即可求出答案.
（2）设另一个因式为，多项式乘多项式将等号右边展开，再根据对应项相等建立方程组，解方程组即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
（2）解：设另一个因式为，
则，
∴，
解得：，，
∴另一个因式是．
23．如图，点是直线上的一点，射线在直线的同侧，且，．
（1）如图①，__________；
（2）如图②，若射线平分，求的度数；
（3）如图③，在（2）的条件下，若射线从开始绕点以每秒的速度顺时针旋转；同时射线从开始绕点以每秒的速度逆时针旋转；当射线与重合时停止所有旋转；该过程中是否存在时间，使得？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：如图②，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴.
∴的度数为.
（3）解：存在，理由如下：
如图③，
①当在之间时，即，，
∵，
∴，解得，不符合题意，舍去.
②当在之间时，即，，
∵，
∴，解得.
③当射线与重合前，即，，
∵，
∴，解得．
∴t的值为或．
【解析】【解答】（1）解：如图①，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）根据平角的定义，结合即可得，解答即可.
（2）先根据，得出，再根据角平分线的定义求出，然后根据得出答案即可.
（3）当在之间时，即，表示出，根据可得，求出，不符合题意，舍去，同理得当在之间时，，当射线与重合前，即，，综合即可得答案.
（1）解：因为，
所以．
故答案为：．
（2）解：因为，
所以．
因为平分，
所以，
所以；
（3）解：存在，
当在之间时，即，，
因为，
所以，
解得，不符合题意；
当在之间时，即，，
因为，
所以，
解得；
当射线与重合前，即，，
因为，
所以，
解得．
所以t的值为或．
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