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2026年吉林省松原市九年级第一次模拟试卷
数学试卷
一、单选题
1．在下列各数中，比小的数是（ ）
A．2 B．0 C． D．
2．下列几何体的俯视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的基本事实是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，取适当长为半径，以为圆心画弧，分别交于点，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
7．中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约．将用科学记数法表示应为________．
8．分解因式：_____．
9．笔、墨、纸、砚被称为“文房四宝”．某书法社团计划购买两种型号毛笔共500支，A型号毛笔的单价是B型号毛笔的单价的1.4倍，购买A型号毛笔共花费4200元，购买B型号毛笔共花费4500元设B型号毛笔的单价是x元/支，则可列分式方程为________．
10．古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其部分琴弦的示意图，已知弦，且相邻两弦之间的距离相等，P是弦上一点，过点P作射线，交弦于点A，交弦于点E．若，则______．
11．如图，在中，，，，以点A为圆心、长为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、长为半径画弧，交于点F，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留根号和）．
三、解答题
12．先化简，再求值：，其中，．
13．年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解：辆“晨光”型汽车与辆“清风”型汽车的进货总成本为万元；辆“清风”型汽车的进价比辆“晨光”型汽车少万元．求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价．
14．某工厂生产一批零件，零件总数一定，每天生产的零件数y（个）与生产天数x（天）成反比例关系．已知时，．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若工厂想要在6天内完成这批零件的生产，那么每天至少需要生产多少个零件？
15．我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，现有四张卡片．它们正面分别印有“杨辉三角”、 “割圆术”、“赵爽弦图”、“洛书”的图案，它们除正面图案不同外，其它完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀．
(1)从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是“赵爽弦图”的概率是______________；
(2)从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法，求这两张卡片正面恰好是“杨辉三角”和“洛书”的概率．
16．图1、图2、图3均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，点不在格点上，是与格线的交点．请你仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．
(1)在图1中作的高线；
(2)在图2中的边上确定点，连接，使得．
(3)在图3中的边上确定点，连结，使得．
17．某校为了解师生对“校园餐”的满意程度，随机抽取了部分师生进行调查，此次调查共分成四个等级：“非常满意”“满意”“基本满意”“不满意”．为了解调查情况，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图信息，解答以下问题：
(1)本次调查的师生共有_____人，请将图（1）补充完整；
(2)求“满意”等级对应的圆心角度数；
(3)若该校共有3000名师生，请你估计“非常满意”等级的师生人数．
18．江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥，也是遂宁首座双塔五跨混凝土梁斜拉桥．某数学活动小组预测量主桥塔顶到江面的距离，设计了如下的测量方案：
课题 测量桥塔顶到江面的距离AB
实物图
测量工具 卷尺、测角仪…
测量示意图
测量方案及数据 在江边一点F处观测桥塔顶端，测得仰角为，然后向桥塔方向前进49m到达点，点处有一高为 2m的观测台，在观测台顶端处测得桥塔顶端的仰角为45°
测量说明 点在同一水平直线上，且 均垂直于
参考数据
… …
请帮助该小组的同学根据上表中的测量数据，计算出主桥塔顶到江面的距离．(结果精确到0.1m)
19．2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发0.5小时，追上小丽后休息了一段时间，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于时间的变化情况如图所示．
(1)分别求出小丽和小明骑行的速度．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程．
20．综合与实践
探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某数学兴趣小组在数学课外活动中对图形的旋转进行了如下探究：
(1)【初步探究】如图①，已知，，将绕点顺时针旋转得，连接交于点，交于点．求证：；
(2)【类比探究】如图②，已知正方形，将正方形绕点顺时针旋转得正方形，连接交于点，直接写出的值；
(3)【深入探究】如图③，已知矩形中，，将矩形顺时针旋转得矩形，点在的延长线上，连接，试探究线段与之间的数量关系，并写出证明过程．
21．如图，在中，，，点从点出发沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动．当点不与重合时，过点作于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点的运动时间为（秒）．
(1)求线段的长（用含的代数式表示）；
(2)当点落在线段上时，求的值；
(3)设与重叠部分图形的面积为，求与的函数关系式．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴交于点和．点P、Q、M均在该抛物线上，横坐标分别为m、、．
(1)求该抛物线对应的函数关系式；
(2)在该抛物线上P、Q两点之间的部分任取一点A，在Q、M两点之间的部分任取一点B（点A、B均不与端点重合），若点A的纵坐标总大于点B的纵坐标，则m的取值范围是_____；
(3)过点P作垂直于直线于点C，过点M作垂直于直线于点D．
①当的面积是的面积的2倍时，求m的值；
②连接，当此抛物线在四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
参考答案及解析
1．D
2．A
3．B
4．A
5．D
6．A
7．
8．
9．
10．6
11．
12．解：
，
把，代入得：
原式．
13．解：设“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元，
根据题意得：，
解得：，
答：“晨光”型汽车的进货单价是万元，“清风”型汽车的进货单价是万元．
14．（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
时，，
，
y与x之间的函数关系式为；
（2）解：对于，
当时，，
在第一象限内，y随x的增大而减小，
工厂想要在6天内完成这批零件的生产，每天至少需要生产20个零件．
15．（1）解：所有等可能结果数为4，抽到“赵爽弦图”只有1种结果，则抽到“赵爽弦图”卡片的概率为；
故答案为：；
（2）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
由表知，所有等可能的结果数有12种，其中两张卡片正面恰好是“杨辉三角”和“洛书”的结果有2种，两张卡片正面恰好是“杨辉三角”和“洛书”的概率为，
答：两张卡片正面恰好是“杨辉三角”和“洛书”的概率．
16．（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：如图所示：即为所求；
（3）解：如图所示：即为所求：
17．（1）解：由题意知，“非常满意”等级的师生人数是40人，占比，
∴人，
∴本次调查的师生共有200人；
∴“基本满意”等级的师生人数为人，
∴如图，补全条形统计图即为所作，
（2）解：∵，
∴“满意”等级对应的圆心角度数为；
（3）解：∵人，
∴该校“非常满意”等级的师生约为600人．
18．解：由题意，得，，
设，则．
，
在中，
∴
在中，
，即
解得
∴主桥塔顶到江面的距离为．
19．（1）解：小丽的速度：
小明的速度：，，
（2）解：（h），（h），
设线段的函数表达式为
把和代入，
得
解得，
（3）解：设小丽的函数解析式为，
把点代入，得，
，
，
解得，代入，
，
离山庄的路程为．
20．（1）证明：绕点顺时针旋转得，
，，
，，
，
，
，
，
又，
；
（2）解：如下图所示，过点作于点，
设正方形的边长为，则，
旋转后，，
，
，
，
；
（3）解：，
证明：如下图所示，矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接，连接，
，，，
点在的延长线上，
，
，
旋转角为，
，
，
，
，
即，
在和中，，
，
，，
，
即点、、在同一直线上，
为的中点，
设，
在中，，
，
由勾股定理得，
，
在中，由勾股定理得：，
．
21．（1）解：由题意可得，，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴；
（2）解：如图，当点落在边上时，
由（）得，，
由旋转得，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）解：由（）可知，当点落在边上时，，
∴当时，如图，与重叠部分图形的面积就是的面积，
∵，，
∴；
当点与点重合时，，
解得，
∴当时，如图，与重叠部分图形的面积就是四边形的面积，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
综上所述，与的函数关系式为．
22．（1）解：由题意得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：由（）可知抛物线解析式为，则对称轴为直线，
设点，由题意可知：当时，总有，
如图，
要想保证，则，即点离对称轴更近，
∴，
解得：；
（3）解：如图：
由题意可知：，，，，
∴，，，，
∵的面积是的面积的倍，
∴，
解得：，；
当点与点关于对称轴对称时，，解得：，
当点与点关于对称轴对称时，，解得：，
当时，则，，
∴重合，如图：此时四边形内部没有抛物线，不符合题意；
当时，点在四边形内部，如图所示：符合题意；
当时，点在四边形外部，如图所示：不符合题意；
当时，则，，，，如图：此时四边形内部没有抛物线，不符合题意；
当时，点在四边形内部，如图所示：不符合题意；
综上所述：当时，抛物线在四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大．

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