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吉林省（名校调研）2026年九年级第一次模拟测试
数学试卷
一、单选题
1．如图，数轴上的点P表示的无理数可能是（ ）
A． B． C． D．
2．我国“奋斗者”号载人潜水器最大下潜深度约为 10900 米，用科学记数法表示 10900 正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，是弦，C是弧上一点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．某新能源企业今年第一个月生产钠离子电池的成本是450万元，由于技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池的成本是370万元．设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，．根据尺规作图的痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．分解因式：________．
8．如图，有三个快递员都从位于点P的快递站取到快递后，同时以相同的速度把取到的快递分别送到位于笔直公路l旁的三个快递点A，B，C．结果送到B快递点的快递员先到理由是：______．
9．不等式组的解集是___________．
10．如图，数学活动课上，小李同学分别延长和的边，边、的延长线交于点，边、的延长线交于点，测得，，则的值为______．
11．如图，过原点，交两坐标轴于两点，已知的半径为1，点在上，，则阴影部分的面积为_____(结果保留根号和)．
三、解答题
12．先化简，再求值：÷（x﹣3﹣），其中x＝﹣1
13．现有三场网络直播，这三场直播分别以A：机器人技术、B：计算机视觉、C：自然语言处理为主题，对人工智能分别进行讲解，这三场直播同时开始．
(1)欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为_______；
(2)欢欢和乐乐随机选择一场进行观看，请用列表或画树状图的方法，求他们同时选择计算机视觉的概率．
14．年，中国航天事业迈向全新高度，一系列深空探测任务紧锣密鼓筹备中．在酒泉卫星发射中心的航天器调配区，一场关乎任务成败的资源协调正在进行．这里集结了用于执行不同任务的“天问”系列行星探测器和“神舟”系列载人飞船共艘．每艘“天问”需名航天工程师保障，每艘“神舟”需名工程师协同．现调配名工程师就绪，求“天问”与“神舟”各有多少艘？
15．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F，
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
16．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点和点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
(1)如图①，在边上画点，使；
(2)如图②，以为直角边画等腰直角，使；
(3)如图③，在边上画点，使．
17．泡泡玛特公司为了更好把握消费者心理，对旗下大热IP：“星星人”和“拉布布”开展了受欢迎程度的调查．该公司随机采访20名顾客，让他们分别给“拉布布”和“星星人”打分（百分制），分数越高代表越喜欢，并对得到的分数进行整理、描述和分析（得分用表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息：
“星星人”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98．
“拉布布”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94．
“星星人”和“拉布布”得分统计表
平均数 中位数 众数
星星人 92 93 a
拉布布 92 b 97
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：__________，__________，__________；
(2)根据以上数据，你认为消费者更喜欢“星星人”还是“拉布布”？请说明理由（一条理由即可）；
(3)据调查，对“拉布布”打分不低于95分的顾客中有的人会购买“拉布布”，若本周末泡泡玛特某门店人流量会达到1000人，货源充足的情况下会有多少人购买“拉布布”？
18．单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用单摆进行相关的实验探究，并撰写实验报告如表．
实验主题\ 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，于点，，；当摆球运动至点时，，于点．（点在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求的长．
（参考数据：，，，，，，结果精确到）
19．两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．
（1）当点C落在边EF上时，x= cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．
20．问题情境：
区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表．建立模型：
（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式；
小型车辆 行驶时间 平均速度
问题解决：
（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度；
（3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？
21．综合与探究
【例题再现】
老师在黑板上写了这样一道题：如图①，在中，于点，找出图中所有的相似三角形，并说明理由．图中存在3组相似三角形，兴趣小组发现这道题是个很好的素材，可以得出结论：直角三角形斜边上的高分得的两个三角形相似，且都与原三角形相似．
【初步探究】
兴趣小组根据探究出来的相似三角形，分别写出三个结论：_____．
(1)请补全上述结论，并选择其中一个进行证明；
【动手实践】
(2)如图③，的顶点均在的正方形网格的格点上，请仅用直尺画出边上的高；
【拓展探究】
(3)如图④，在中，，于点，为线段延长线上一点，连接并延长至点，连接、、当时，请判断的形状，并说明理由．
22．如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)如图①，设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图①中探索）；
(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图②中探索）；
(4)点为抛物线上的一个动点，且横坐标为，点的横坐标为，且线段轴，当线段与抛物线有两个公共点时，请直接写出的取值范围．
参考答案及解析
1．A
解析：解：根据图示，点P表示的无理数在之间，
∵，
∴点P表示的无理数可能是，
故选：A ．
2．B
解析：解：.
3．A
解析：解：A．，原计算正确；
B．，原计算错误；
C．，原计算错误；
D．，原计算错误；
故选：A．
4．B
解析：解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5．D
解析：解：∵ 第一个月成本为450万元，第三个月成本为370万元，且平均每月下降率为x，
∴ 经过两个月下降，第三个月成本第一个月成本，
即．
故选：D．
6．C
解析：解：根据作图可知：，平分，
∵，
∴，故A一定正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，故B一定正确，不符合题意；
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，故D一定正确，不符合题意；
∵垂直，但不一定平分，
∴不一定正确，故C符合题意．
故选：C．
7．
解析：解：
．
故答案为：．
8．垂线段最短
解析：解：由题意可知送到B快递点的快递员先到的理由是：垂线段最短；
故答案为：垂线段最短．
9．
解析：解：解不等式，得；
解不等式，得；
所以不等式组的解集为，
故答案为：．
10．
解析：解：如图，连接，
由图可知，，，
， ，
．
故答案为：．
11．
解析：解：如图，连接，
，
为直径，即三点共线，
，
的半径为1，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
12．
解析：解：原式=
=
=
=，
∴当x=-1时，原式=．
13．(1)
(2)
解析：（1）解：∵一共有三场直播，且每一场直播被选择的概率相同，
∴欢欢随机选择一场进行观看，选择机器人技术的概率为；
（2）解：列表如下：
欢欢乐乐
由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中他们同时选择计算机视觉的结果数有1种，
∴他们同时选择计算机视觉的概率为．
14．“天问”有艘，“神舟”为艘
解析：解：设“天问”有艘，“神舟”有艘，
根据题意，得，
解得，
答：“天问”有艘，“神舟”为艘．
15．（1）见解析；（2）.
解析：解：（1）∵，
∴．
∵是边上的中线，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
解析：（1）解：如图，点为所求；
由题意可得，且，
∴为等腰直角三角形
∴；
（2）解：如图，即为所求；
∵由网格得，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：如图，点即为所求；
取格点、，连接、、、，
由（）得是等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴
17．(1)，，；
(2)消费者更喜欢“拉布布”，理由见详解
(3)300
解析：（1）解：“星星人”的得分中，94分出现次数最多，
∴，
“拉布布”A组的人数：（人），
B组的人数：（人），
C组的人数：6人，
D组的人数：（人），
∴中位数是第10，11人的得分的平均数，即，
∴，即，
故答案为：，，；
（2）解：“拉布布”的得分中，中位数和众数均大于“星星人”的得分的中位数和众数，
∴消费者更喜欢“拉布布”；
（3）解：在人流量会达到1000人中，对“拉布布”打分不低于95分的顾客有（人），
有的人会购买“拉布布”，
∴购买“拉布布”的人数为（人）．
18．的长约4cm
解析：解：在中，，，，
，，
，，
，，
在中，，，，
，即，
，
，
，
则的长约4cm．
19．（1）15；（2）（3）．
解析：解：（1）如图1所示：作CG⊥AB于G点．
，
在Rt△ABC中，由AC=6，∠ABC=30，得：BC==．在Rt△BCG中，BG=BC cos30°=9．四边形CGEH是矩形，CH=GE=BG+BE=9+6=15cm，故答案为15；
（2）①当0≤x＜6时，如图2所示．
，
∠GDB=60°，∠GBD=30°，DB=x，得：DG=，BG=，重叠部分的面积为y=DG BG=××=；
②当6≤x＜12时，如图3所示．
，
BD=x，DG=，BG=，BE=x﹣6，EH=．重叠部分的面积为y==DG BG﹣BE EH，即y=××﹣，化简，得；
③当12＜x≤15时，如图4所示．
，
AC=6，BC=，BD=x，BE=（x﹣6），EG=，重叠部分的面积为y==AC BC﹣BE EG，即y=，化简，得=；
综上所述：；
（3）如图5所示作NG⊥DE于G点．
，
点M在NG上时MN最短，NG是△DEF的中位线，NG=EF=．
MB=CB=，∠B=30°，MG=MB=，
MN最小==．
20．（）；（）它的平均速度是；（）行驶时间应不少于．
解析：解：（）由表格可知，，
∴与之间的函数关系式为；
（）当时，，
答：它的平均速度是．
（）根据题意，得，解得，
答：行驶时间应不少于．
21．(1)，证明见解析
(2)作图见解析
(3)是直角三角形，证明见解析
解析：（1）解：；
选择第一个：
在中，， ，
∵．，
∴．
∴．
∴．
选择第二个：
在中，，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
选择第三个：
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）解：如图所示，即为所求作．
（3）解：是直角三角形．
理由如下：
∵，，
∴．
∴．
∴．
由（1）知，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是直角三角形．
22．(1)
(2)
(3)点的坐标为
(4)或
解析：（1）解：二次函数的图象与轴交于点，交轴于点，
解得
二次函数的解析式．
（2）解：连接，
，二次函数图象的顶点为，
．
，．
由，得
，．
二次函数的图象与轴相交于点，
．
．
（3）解：由点在对称轴上，则设，
由（2）知，，
．
是以为底边的等腰三角形，
．
则．
．
解得．
．
（4）解：点为抛物线上的一个动点，且横坐标为，
．
点的横坐标为，且线段轴，
、F纵坐标相等．
．
当时，E、F重合，
解得．
线段与抛物线有两个公共点，
不符合题意．
当时，．
在F左侧．如图
此时，线段与抛物线有一个交点，不符合题意．
当时，．
在F左侧．如图
点关于直线对称点横坐标为
此时，线段与抛物线有两个公共点．
．
当时，．
在F右侧，如图
此时，点关于直线对称点横坐标为．
当与F重合时，线段与抛物线有两个公共点．
，解得．
．
综上，或

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