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云南大理白族自治州民族中学2025-2026学年高二下学期4月月考
数学试卷
一、单选题
1．为虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
4．若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．设双曲线的离心率是3,则其渐近线的方程为
A． B．
C． D．
6．若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是
A． B． C．5 D．6
7．三棱锥中平面ABC，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（ ）
A． B．2 C． D．4
二、多选题
9．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则；
B．若，，，则；
C．若，，则；
D．若，，，则；
10．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（ ）
A．是的一条对称轴
B．在上单调递增
C．的一个对称中心为
D．是偶函数
11．已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（）
A．若，则点的横坐标为
B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
D．周长的最小值为
三、填空题
12．函数在处取得极大值-1，则______.
13．设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的周长为____________.
14．已知函数有个不同的零点，则实数的取值范围为_______．
四、解答题
15．已知函数．
（1）求的图象在点处的切线方程；
（2）求在上的最大值与最小值．
16．已知数列是等差数列，首项，公差为d且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列满足，求数列的前n项和.
17．某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分．现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如下图所示的频率分布直方图．
(1)请根据频率分布直方图，求出图中t的值；
(2)在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自的概率；
(3)在本次测试中，拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，试估计优胜成绩的分数线．
18．已知底面是平行四边形，平面，，，，且.
(1)求证：平面平面；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19．已知椭圆（）的离心率为，且过点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，．
①求证：为定值；
②求的面积S的最大值．
参考答案
1．A
2．B
3．C
4．D
5．A
6．C
7．C
8．C
9．BC
10．AD
11．ACD
12．5
13．/
14．
15．（1）因为，所以
所以．
所以的图象在点处的切线方程为，即．
（2）由（1）知
令，则；令，则．
所以在上单调递减，在上单调递增．所以
又，所以．
所以在上的最大值与最小值分别为与．
16．（1）因为，，成等比数列，又，
所以，即，解得或，
当时数列的通项公式；
当时数列的通项公式；
所以或.
（2）因为，所以，
所以，
所以，
则，
所以
，
所以.
17．（1）根据题意可得，解得；
（2）因为，两组的频率之比为，
所以在，两组中分别抽人，人，
所以再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，
则两人中至少有一人成绩来自的概率为；
（3）因为各组的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.3，0.25，
故第80%分位数位于内，
所以第80%分位数为；
所以拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，则估计优胜成绩的分数线为92分；
18．（1）证明：在中，，，，
则，可得，
所以，所以.
因为平面，平面，所以，
又因为，平面，平面，所以平面，
因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）
是平行四边形，平面，，，，且.
假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，
以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
可得，，
设，
则，所以，
设平面的一个法向量为，则，
令，可得，所以，
设直线与平面所成角的大小为，
故，
整理得，解得或，所以或.
19．（1）由题意知：，，，
∴椭圆的方程为，把点代入方程得：，
，，，所以椭圆的方程为．
（2）①由（1）可得右焦点，易知直线的斜率存在，
设的方程为．
代入椭圆方程得．
设，，
则，.
，
为定值．
②．
由判别式，解得．
，，
点到直线：，
即的距离为，
则，
．
令，（），
则，
所以当，即时，有最大值为．

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