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【50道解答题·专项集训】浙教版数学七年级下册期中复习卷
1．“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数x，y满足，求x-4y和7x+5y的值．
小天：利用消元法解方程组，得x，y的值后，再代入求x-4y和7x+5y的值；
小红：发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，3x-y＝5①，2x+3y＝7②，由①-②可得x-4y＝-2，由①+②×2可得7x+5y＝19；
李老师对两位同学的讲解进行点评，指出小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小红同学的做法，解决下面的问题：
（1）已知二元一次方程组，则x-y＝　 　，x+y＝　 　；
（2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a为何值，x+y的值始终不变；
（3）八年级（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元；若买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？（直接写出结果）
2．月日，昆明市组织举办年“文化和自然遗产日”非遗宣传展示系列活动，在小渔村、福安村两个主会场开展了丰富多彩的非遗文化体验、展示活动年“文化和自然遗产日”非遗宣传展示活动的主题为“加强非遗系统性保护，促进可持续发展”昆明市围绕主题，采取市、县区联动的方式，通过在市级主会场和各县市区分会场举行余项非遗宣传展示系列活动，让非遗“飞入寻常百姓家”，营造出昆明非遗保护传承的良好氛围，充分展示昆明市非物质文化遗产保护传承的新成果、新亮点为满足游客的需求，主办方从非遗传承人处购进安宁扎染和宝峰贴花用于现场售卖：第一批购进份安宁扎染和份宝峰贴花，支付元；第二批购进份安宁扎染和份宝峰贴花，支付元；
（1）求安宁扎染和宝峰贴花的进价．
（2）根据前期的市场调查，主办方将安宁扎染定价为元份，宝峰贴花定价为元份，全部销售完毕后，能获得多少利润？
3．对x，y定义一种新运算▲，规定：x▲y=ax+by（其中a，b均为非零常数），例如：1▲0=a，已知1▲1=3，﹣1▲1=﹣1．
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式组恰有3个整数解，求实数p的取值范围．
4．先化简再求值，其中，．
5．如图，已知CD//BE，且∠D=∠E，试说明AD//CE的理由.
6．定义，如．
（1）若，求的值；
（2）若的值与无关，求值．
7．将四个长与宽分别为a，b的相同的小长方形拼成如图所示的图形，请你认真观察图形，写出你发现的等式（用含a，b的代数式表示），并说明理由．
8．我市某校计划购买甲、乙两种树苗共1200株用以绿化校园，已知甲种树苗每株25元，乙种树苗每株30元，若购买树苗共用去33500元，则甲、乙两种树苗各购买了多少株？
9．如图，，直线分别与，交于点，，连结，，已知．
（1）若，求的度数；
（2）判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若平分，试说明平分．
10．某隧道长1200 m，现有一列火车从隧道通过，测得该火车从开始进隧道到完全出隧道共用了70s，整列火车完全在隧道里的时间是50s，求火车的速度和长度．
11．先化简，再求值：[(2x+y)(2x-y)-3(2x2-xy)+y2]÷(-x)，其中x=2，y=-1．
12．如果，求代数式的值．
13．已知 是二元一次方程组 的解，求m+3n的立方根
14．已知：如图，线段AD、BF相交于点H，∠A=∠D，点E是线段AB上一点．
（1）用直尺和圆规，以点E为顶点，EA为一边，在线段AB下方作∠AEC，使∠AEC=∠B，边EC与DF的延长线相交于点C．（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）
（2）在（1）的情况下，求证：∠C＝∠B（请完成以下证明过程）．
证明：∵∠AEC＝∠B，
∴ ▲ ∥ ▲ ，
∴∠C＝∠BFD，
∵∠A＝∠D，
∴ ▲ ∥ ▲ ，
∴ ▲ ＝ ▲ ，
∴∠C＝∠B．
15．若∠EFD=110°，∠FED=35°，ED平分∠BEF，那么AB与CD平行吗？请说明你的理由．
16．若且， m、n是正整数）， 则．请你利用结论解决下面两个问题：
（1）如果，求x的值；
（2）若，，用含x的代数式表示y．
17．已知方程组和有相同的解，求a2﹣2ab+b2的值．
18．如图所示，点E在直线DF上，点B在直线AC上，直线AF分别交BD，CE于点G，H．若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，请到断∠A与∠F的数量关系，并说明理由．
19．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC：∠AOD=7：11，求∠DOE的度数.
20．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB，ON⊥CD.
（1）写出图中所有与∠AOC互余的角.
（2）当∠MON=120°时，求∠BOD 的度数.
21．已知，求的值．
22．已知关于x、y的二元一次方程组 的解满足．求y的取值范围．
23．如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
24．已知10﹣2α＝3， ，求106α+2β的值．
25．如图，．将下列推理过程补充完整：
（1）因为（已知），
所以 （　　）．
（2）因为（已知），
所以 （内错角相等，两直线平行）．
（3）因为（已知），
所以 （　　）．
26．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAG＝60°，求∠G的度数.
27．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值．
28．如果一个正整数数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数．例如4=22﹣02，12=42﹣22，4和12就是奇异数，两个连续正偶数分别用2k+2和k表示（k是非负整数）．
（1）小雷说一个奇异数一定是4的倍数，你能说出其中的理由吗？
（2）小华说：“不是所有的4倍数都是奇异数．”你认为她的说法对吗？若认为正确，举出一个不是奇异数的4的倍数．
（3）如果一个正整数数能写成两个连续非负奇数的平方差，我们就把这个数叫做美丽数．①若一个美丽数一定是m的倍数，m= ；
②m的倍数一定 （填是或不是）美丽数；
③是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存在，写出一个这样的数；若不存在，简要说明理由．
29．如图，，，求的度数．
30．将边长为x的小正方形和边长为y的大正方形按如图所示放置，其中点D在边上．
（1）若，且，求的值；
（2）连接，若，，求阴影部分的面积．
31．如图（1）将△ABD平移，使D沿BD延长线移至C得到△A′B′D′，A′B′交AC于E，AD平分∠BAC．
（1）猜想∠B′EC与∠A′之间的关系，并写出理由．
（2）如图将△ABD平移至如图（2）所示，得到△A′B′D′，请问：A′D平分∠B′A′C吗？为什么？
32．根据市场调查，某种消毒液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为.某厂每天生产这种消毒液，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶.
33．如图1是长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2)
（1）自主探究：
请你写出之间的等量关系是___；
（2）知识迁移：
设求的值；
（3）知识延伸：
若求的值．
34．如图，，，的平分线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）探究，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，．求的度数．
35．列二元一次方程组：某企业去年国内、国外销售共1000万元，因金融风暴，今年比去年降低10%，其国内销售收入下降了5%，国外销售收入下降了15%．
36．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作 ，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”
37．先化简再求值：其中a＝，b＝﹣2．
38．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E.试说明：AD∥BC.
39．如图，，
（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若是的平分线，，求的度数．
40．已知x+y=2，xy=﹣1，求下列代数式的值：
（1）5x2+5y2；
（2）（x﹣y）2．
41．如图，已知点A，D，B在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠E，若∠DAE=100°，∠E=30°，求∠B的度数．
42．如图1，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，点E 在AB 上，且位于 PF 右侧，∠EPF=120°.
（1）求∠AEP的度数.
（2）如图2，射线PN从PF 出发，以每秒40°的速度绕点 P 按逆时针方向旋转，当PN⊥AB时，立刻按原速返回至首次与 PF 垂直时停止运动.射线 EM 从EA 出发，以每秒15°的速度绕点 E 按逆时针方向旋转至EB 后停止运动（当其中一条射线停止运动时，另一射线也随之停止运动）.若射线 PN，EM同时开始运动，设运动时间为t秒，则当EM∥PN时，求t的值.
43．如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，求∠DOF的度数．
44．如图，已知为两条互相平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F，∠FDC+∠ABC=180°.
（1）求证：AD∥BC.
（2）连接CF，当FC∥AB，∠CFB=∠DCF时，求∠BCD的度数.
（3）若∠DCF=∠CFB时，将线段BC沿射线AB方向平移，记平移后的线段为PQ，B，C分别对应P，Q，当∠PQD—∠QDC=24°时，求∠DQP的度数.
45．根据以下素材，探索完成任务．
如何合理搭配消费券？
素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．
素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务．
任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元．
任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？
任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额．
46．甲、乙两小组人数的和是28．如果甲组增加2人，乙组增加6人，那么甲组人数与乙组人数的比是2：1．求原来甲、乙两组的人数．
47．国家实行一系列“三农”优惠政策后，使农民收入大幅度增加，也调动了农民生产积极性．某农业基地去年种植蔬菜和茶叶的总收入是万元，今年扩大了蔬菜和茶叶的种植面积，这样按照去年的平均每亩收入，预计今年蔬菜和茶叶的种植总收入将比去年增加万元，其中蔬菜的种植收入将增加，茶叶种植收入将增加．
（1）问该农业基地去年种植蔬菜和茶叶的收入各是多少万元？
（2）经测算茶叶平均每亩的收入要比蔬菜平均每亩的收入多万元，日常管理中，蔬菜平均每亩需人管理，茶叶平均每亩需人管理．若今年新增的管理蔬菜和茶叶的人数比为：，问该农业基地管理蔬菜和茶叶今年共需新增多少人？
48．“数形结合”是数学中的一种重要的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．由此可见数学学习和研究中数与形互相配合的重要性．
（1）如图1，是我们学过的一个乘法公式的图形表达，请根据图1写出此乘法公式：______．
（2）如图2，是由4个全等的长方形拼出来的大、小正方形，请你根据图2所示，写出、、之间的等量关系：______．
（3）根据（2）中的结论进行计算．已知：，，求的值．
（4）如图3，正方形与正方形的重合部分长方形的面积是2024，，，四边形和四边形都是正方形，求正方形的面积．
49．某工厂的一条流水线匀速生产出产品，在有一些产品积压的情况下，经过试验，若安排9人包装，则5小时可以包装完所有产品；若安排6人包装，则需要10小时才能包装完所有产品．假设每个人的包装速度一样，现要在2小时内完成产品包装的任务，问至少需要安排多少人？
50．（1）观察发现：
解方程组
将①整体代入②，得，解得．
将代入①，解得，
所以原方程组的解是
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解．
请写出方程组的解为________；
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组：
（3）已知满足方程组，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【50道解答题·专项集训】浙教版数学七年级下册期中复习卷
1．“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数x，y满足，求x-4y和7x+5y的值．
小天：利用消元法解方程组，得x，y的值后，再代入求x-4y和7x+5y的值；
小红：发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，3x-y＝5①，2x+3y＝7②，由①-②可得x-4y＝-2，由①+②×2可得7x+5y＝19；
李老师对两位同学的讲解进行点评，指出小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小红同学的做法，解决下面的问题：
（1）已知二元一次方程组，则x-y＝　 　，x+y＝　 　；
（2）请说明在关于x，y的方程组中，无论a为何值，x+y的值始终不变；
（3）八年级（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元；若买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？（直接写出结果）
【答案】（1）-1；3
（2）解：，
则①×3+②得：4x+4y＝12，
∴x+y＝3，
∴无论a为何值，x+y的值始终不变；
（3）解：设铅笔的单价为x元，橡皮的单价为y元，笔记本的单价为z元，
根据题意得：，
则①×30-2×20得10x+10y+10z＝70，
答：购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．
【解析】【解答】解： （1），
则①+②得3x+3y=9，
∴x+y=3；
①-②得x-y=-1，
故答案为：-1，3.
【分析】（1）将两个方程相加或相减，即可求解；
（2）由①×3+②可得结论；
（3）设铅笔的单价为x元，橡皮的单价为y元，笔记本的单价为z元，根据题意列出方程组，即可求解.
2．月日，昆明市组织举办年“文化和自然遗产日”非遗宣传展示系列活动，在小渔村、福安村两个主会场开展了丰富多彩的非遗文化体验、展示活动年“文化和自然遗产日”非遗宣传展示活动的主题为“加强非遗系统性保护，促进可持续发展”昆明市围绕主题，采取市、县区联动的方式，通过在市级主会场和各县市区分会场举行余项非遗宣传展示系列活动，让非遗“飞入寻常百姓家”，营造出昆明非遗保护传承的良好氛围，充分展示昆明市非物质文化遗产保护传承的新成果、新亮点为满足游客的需求，主办方从非遗传承人处购进安宁扎染和宝峰贴花用于现场售卖：第一批购进份安宁扎染和份宝峰贴花，支付元；第二批购进份安宁扎染和份宝峰贴花，支付元；
（1）求安宁扎染和宝峰贴花的进价．
（2）根据前期的市场调查，主办方将安宁扎染定价为元份，宝峰贴花定价为元份，全部销售完毕后，能获得多少利润？
【答案】（1）解：设安宁扎染的进阶为元份，宝峰贴花的进价为元份，
由题意得：，
解得：，
答：安宁扎染的进阶为元份，宝峰贴花的进价为元份；
（2）解：由题意得：元，
答：全部销售完毕后，能获得元利润．
【解析】【分析】（1）设安宁扎染的进阶为元份，宝峰贴花的进价为元份，根据“第一批购进份安宁扎染和份宝峰贴花，支付元；第二批购进份安宁扎染和份宝峰贴花，支付元”列出方程组，再求解即可；
（2）根据“总利润=每件利润×数量”列出算式求解即可.
3．对x，y定义一种新运算▲，规定：x▲y=ax+by（其中a，b均为非零常数），例如：1▲0=a，已知1▲1=3，﹣1▲1=﹣1．
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式组恰有3个整数解，求实数p的取值范围．
【答案】解：（1）根据题意得：，解得：a=2，b=1；（2）不等式变形得：，由①得：m≤，由②得：m＞，不等式组的解集为：＜x≤，由不等式组恰有3个整数解，即：0，﹣1，﹣2，得到﹣3≤＜﹣2，解得：﹣15≤p＜﹣10．
【解析】【分析】（1）利用题中的新定义化简已知两式，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
（2）把a与b的值代入确定出x▲y=2x+y，表示不等式组变形后表示出解集，根据解集恰有3个整数解确定出p的范围即可．
4．先化简再求值，其中，．
【答案】解：原式
．
当，时，原式．
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将a、b的值代入计算即可。
5．如图，已知CD//BE，且∠D=∠E，试说明AD//CE的理由.
【答案】解：∵CD//BE(已知)
∴∠E=∠DCE（两直线平行，内错角相等）
∵∠D=∠E(已知)
∴∠DCE=∠D(等量代换)
∴AD//CE(内错角相等，两直线平行)
【解析】【分析】根据直线平行的性质，结合等量代换，证明得到AD∥CE即可。
6．定义，如．
（1）若，求的值；
（2）若的值与无关，求值．
【答案】（1）解：，
，
即，
解得
（2）解：，
，
的值与无关，
，
解得，
【解析】【分析】（1）根据新定义运算法则可得，解方程即可得到答案；
（2）根据新定义运算法则可得，然后整式混合运算法则化简得，再由该式的值与x无关，可得x2项与x项的系数都为零，从而得到关于字母m、n的方程组，求解得出m、n的值，进而将m、n的值代入待求式子计算即可.
（1）解：，
，即，
解得；
（2）解：，
，
的值与无关，
，
解得，
．
7．将四个长与宽分别为a，b的相同的小长方形拼成如图所示的图形，请你认真观察图形，写出你发现的等式（用含a，b的代数式表示），并说明理由．
【答案】解：利用割补法可得中间小正方形的面积为：（a+b）2-4ab，
利用正方形面积计算公式可得中间小正方形面积为：（a-b）2，
∴.
【解析】【分析】大正方形的边长为（a+b），小正方形的边长为（a-b），进而根据大正方形的面积-4个长方形的面积=小正方形的面积可得出结论.
8．我市某校计划购买甲、乙两种树苗共1200株用以绿化校园，已知甲种树苗每株25元，乙种树苗每株30元，若购买树苗共用去33500元，则甲、乙两种树苗各购买了多少株？
【答案】解：设购买甲种树苗x株，乙种树苗y株.
根据题意，得 ，
解这个方程组得
答：购买甲种树苗500株，乙种树苗700株.
【解析】【分析】根据关键描述语“购买甲、乙两种树苗共1200株，”和“购买树苗共用33500元”，列出方程组求解.
9．如图，，直线分别与，交于点，，连结，，已知．
（1）若，求的度数；
（2）判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若平分，试说明平分．
【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
∴∠BEC=∠ECF，
∵∠EAF=∠ECF，
∴∠BEC=∠EAF，
；
（3）解：，
，
平分，
，
，
，
平分．
【解析】【分析】（1）首先由对顶角相等得∠AEF=∠1=40°，进而根据二直线平行，同位角相等可得∠2=∠EFC=40°；
（2）AF∥EC，理由如下：由二直线平行，内错角相等得∠BEC=∠ECF，结合已知可推出∠BEC=∠EAF，进而根据同位角相等，两直线平行可得AF∥EC；
（3）由角平分线定义得∠AFE=∠AFD=∠EFD，由二直线平行，内错角相等得∠BEF=∠EFD，∠AFE=∠CEF=∠EFD=∠BEF，从而根据角平分线的定义即可得出结论.
10．某隧道长1200 m，现有一列火车从隧道通过，测得该火车从开始进隧道到完全出隧道共用了70s，整列火车完全在隧道里的时间是50s，求火车的速度和长度．
【答案】解：设火车的车身长为xm，速度是ym/s，根据题意可得：
，
解得，
答：火车的车身长为200m，速度是20m/s．
【解析】【分析】 设火车的车身长为xm，速度是ym/s， 根据行程问题的路程速度时间的关系：路程=速度×时间，建立方程组求解，即可解答.
11．先化简，再求值：[(2x+y)(2x-y)-3(2x2-xy)+y2]÷(-x)，其中x=2，y=-1．
【答案】解：原式=-[4x2-y2-6x2+3xy+y2]× =（2x2-3xy）× =2x-3y 将x=2，y=-1代入得，原式＝4+3=7． 故答案为：7．
【解析】【分析】先计算括号内多项式运算，再合并同类项，算除法，最后代数值计算即可．
12．如果，求代数式的值．
【答案】解：
∵，
∴原式．
【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式可将待求式变形为2(m2-m)+2022，然后将已知条件代入进行计算.
13．已知 是二元一次方程组 的解，求m+3n的立方根
【答案】解：由题意得 ，①+②得，m+3n=8，故m+3n的立方根是2.
【解析】【分析】将x=2，y=1代入二元一次方程组重组成关于m、n的二元一次方程组，两式相加求出m+3n=8，8的立方根是2。
14．已知：如图，线段AD、BF相交于点H，∠A=∠D，点E是线段AB上一点．
（1）用直尺和圆规，以点E为顶点，EA为一边，在线段AB下方作∠AEC，使∠AEC=∠B，边EC与DF的延长线相交于点C．（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）
（2）在（1）的情况下，求证：∠C＝∠B（请完成以下证明过程）．
证明：∵∠AEC＝∠B，
∴ ▲ ∥ ▲ ，
∴∠C＝∠BFD，
∵∠A＝∠D，
∴ ▲ ∥ ▲ ，
∴ ▲ ＝ ▲ ，
∴∠C＝∠B．
【答案】（1）解：如图：
（2）解：证明：∵∠AEC＝∠B，
∴ CE ∥ FB ，
∴∠C＝∠BFD，
∵∠A＝∠D，
∴ AB ∥ CD ，
∴ ∠B ＝ ∠BFD ，
∴∠C＝∠B．
【解析】【分析】（1）掌握尺规作图，作已知角一边的平行线；具体如下：以B为圆心，任意长为半径做弧，交角的两边，量取弦长，再以E为圆心，以相同半径作弧交AE与一点，再以该点为圆心，以量取的弦长为半径画弧，两弧交点与E连接，并延长与DF的延长线相交于点C；（2）在上一问的基础上，根据同位角线段两直线平行、内错角相等两直线平行的判定定理和平行线的性质定理等量代换即可证明∠C＝∠B。
15．若∠EFD=110°，∠FED=35°，ED平分∠BEF，那么AB与CD平行吗？请说明你的理由．
【答案】解：AB与CD平行．理由如下：
∵ED平分∠BEF，
∴∠FED=∠BED=35°，
∴∠BEF=70°．
∵∠BEF+∠EFD=70°+110°=180°，
∴AB∥CD
【解析】【分析】因为ED是∠BEF的角平分线，所以∠BEF=，这样∠BEF+∠EFD=，同旁内角互补，两直线平行.
16．若且， m、n是正整数）， 则．请你利用结论解决下面两个问题：
（1）如果，求x的值；
（2）若，，用含x的代数式表示y．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴
∴，
解得：.
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）先利用同底数幂的除法和同底数幂的乘法可得，即可得到，再求出x的值即可；
（2）先求出，再求出，从而得解.
（1）解：
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
17．已知方程组和有相同的解，求a2﹣2ab+b2的值．
【答案】解：解方程组得，
把代入第二个方程组得，解得，
则a2﹣2ab+b2=22﹣2×2×1+12=1．
【解析】【分析】先求出已知方程组（1）的解，再代入方程组（2）即可求出a、b的值，进一步即可求解．
18．如图所示，点E在直线DF上，点B在直线AC上，直线AF分别交BD，CE于点G，H．若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，请到断∠A与∠F的数量关系，并说明理由．
【答案】解：∠A=∠F理由；∵∠AGB=∠DGF(对顶角相等)∠AGB=∠EHF∴∠DGF=∠DGF，∴BD∥CE，∠C=∠ABD，∵∠D=∠C∴∠ABD=∠D∴AC∥DF，∴∠A=∠F
【解析】【分析】根据已知条件可证BD∥CE，再由BD∥CE，和已知条件可证AC∥DF，根据平行线的性质可得∠A=∠F。
19．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC：∠AOD=7：11，求∠DOE的度数.
【答案】解：∵EO⊥AB，
∴∠EOA=90°，
∴∠EOC+∠AOD=90°，
∵∠EOC：∠AOD=7：11，
∴∠AOD=90°× =55°，
∴∠DOE=∠EOA+∠AOD=90°+55°=145°，
答：∠DOE的度数是145°.
【解析】【分析】由EO⊥AB可得∠AOE=90°，由此可得∠EOC+∠AOD=90°，结合∠EOC：∠AOD=7：11可求得∠AOD=55°，这样由∠DOE=∠EOA+∠AOD即可求得∠DOE的度数.
20．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB，ON⊥CD.
（1）写出图中所有与∠AOC互余的角.
（2）当∠MON=120°时，求∠BOD 的度数.
【答案】（1）∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠AOM=∠CON=90°，
∴∠AOC+∠COM=90°，∠AOC+∠AON=90°，
∴与∠AOC互余的角为：∠COM，∠AON
（2）∵∠MON=120°，∠AOM=90°，
∴∠AON=∠MON-∠AOM=30°，
∵ON⊥CD，
∴∠NOD=90°，
∴∠BOD=180-∠AON-∠NOD=60°
【解析】【分析】(1)利用互余两角的和为90°即可判断；
(2)先求出∠AON=30°，然后再利用平角180°减去90°与30°的和即可解答.
21．已知，求的值．
【答案】解：原式=
=
=
∵，
∴，
∴原式=3+1=4．
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简为，再将代入计算即可。
22．已知关于x、y的二元一次方程组 的解满足．求y的取值范围．
【答案】解：
将 得： ③
将 得：
则，
即
解得：
【解析】【分析】先求出，再结合，可得，最后求出y的取值范围即可。
23．如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解： ∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴可设
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴
即的度数为．
【解析】【分析】
（1）先根据邻补角的概念求出，再根据垂直的定义得到，进而根据角度的和差即可得到答案；
（2）为便于计算，可设再根据角平分线的定义可得设则再由垂直的概念可得与互余，则可求，即可求 ．
（1）解： ∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴可设
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴
即的度数为．
24．已知10﹣2α＝3， ，求106α+2β的值．
【答案】解：∵10﹣2α＝＝3，10﹣β＝＝，
∴102α＝，10β＝5，
∴106α+2β＝（102α）3 （10β）2，
＝（）3×52，
＝×25，
＝．
【解析】【分析】根据负整数指数幂的性质，同底数幂的性质即可求出答案.
25．如图，．将下列推理过程补充完整：
（1）因为（已知），
所以 （　　）．
（2）因为（已知），
所以 （内错角相等，两直线平行）．
（3）因为（已知），
所以 （　　）．
【答案】（1）BC
（2）AB，CD
（3）AB，CD
【解析】【解答】证明：（1）证明：因为（已知），所以（同位角相等，两直线平行）；
故答案为：BC
（2）证明：因为（已知），所以（内错角相等，两直线平行）；
故答案为：AB，CD.
（3）证明：因为（已知），所以（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：AB，CD.
【分析】（1）根据同位角相等两直线平行作答；
（2）根据内错角相等两直线平行作答；
（3）根据同旁内角互补两直线平行作答．
26．如图，EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAG＝60°，求∠G的度数.
【答案】解：∵EF∥AD，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴DG∥AB，
∴∠G+∠BAG=180°，
∵∠BAG=60°，
∴∠G=180°﹣∠BAG=180°﹣60°=120°.
【解析】【分析】根据二直线平行，同位角相等得出∠2=∠3，结合已知得∠2=∠3=∠1，进而根据内错角相等，两直线平行得到DG∥AB，然后根据二直线平行，同旁内角互补即可得出答案.
27．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值．
【答案】解：将代入方程组中的，
得：，即；
将代入方程组中的，
得：，即，
则．
【解析】【分析】将
代入方程组中的，可得b=10，将代入方程组中的，可得a=-1，再将a、b的值代入计算即可。
28．如果一个正整数数能写成两个连续非负偶数的平方差，我们就把这个数叫做奇异数．例如4=22﹣02，12=42﹣22，4和12就是奇异数，两个连续正偶数分别用2k+2和k表示（k是非负整数）．
（1）小雷说一个奇异数一定是4的倍数，你能说出其中的理由吗？
（2）小华说：“不是所有的4倍数都是奇异数．”你认为她的说法对吗？若认为正确，举出一个不是奇异数的4的倍数．
（3）如果一个正整数数能写成两个连续非负奇数的平方差，我们就把这个数叫做美丽数．①若一个美丽数一定是m的倍数，m= ；
②m的倍数一定 （填是或不是）美丽数；
③是否存在一个正整数，它既是奇异数，又是美丽数？若存在，写出一个这样的数；若不存在，简要说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：（2k+2）2﹣（2k）2=4（2k+1），
所以奇异数一定是4的倍数；
（2）解：说法正确.4的偶数倍不是奇异数，如16=42﹣02不是奇异数；
（3）解：①m=8；②是；③不存在．因为奇异数一定是4的奇数倍，而美丽数是8的倍数，即是4的偶数倍，所以不存在既是奇异数又是美丽数的数．
【解析】【分析】（1）根据“奇异数”的定义，只需看能否把2k+2和k这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
29．如图，，，求的度数．
【答案】解：∵
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵
∴．
【解析】【分析】根据平行线的性质及判定证明 ， ，再求出 的度数。
30．将边长为x的小正方形和边长为y的大正方形按如图所示放置，其中点D在边上．
（1）若，且，求的值；
（2）连接，若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：
；
；
（2）解：阴影部分的面积为：
，
，
．
【解析】【分析】（1）将y2-x2=20的左边利用平方差公式分解因式后整体代入计算可求出y-x的值；
（2）根据结合正方形及三角形面积公式，用代数式表示出阴影部分的面积，再利用配方法将式子变形为用x+y与xy表示的形式，从而整体代入计算可得答案.
（1）解：
；
；
（2）解：阴影部分的面积为：
，
，
．
31．如图（1）将△ABD平移，使D沿BD延长线移至C得到△A′B′D′，A′B′交AC于E，AD平分∠BAC．
（1）猜想∠B′EC与∠A′之间的关系，并写出理由．
（2）如图将△ABD平移至如图（2）所示，得到△A′B′D′，请问：A′D平分∠B′A′C吗？为什么？
【答案】解：（1）∠B′EC=2∠A′，理由：∵将△ABD平移，使D沿BD延长线移至C得到△A′B′D′，A′B′交AC于E，AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∠BAD=∠A′，AB∥A′B′，∴∠BAC=∠B′EC，∴∠BAD=∠A′=∠BAC=∠B′EC，即∠B′EC=2∠A′；（2）A′D′平分∠B′A′C，理由：∵将△ABD平移至如图（2）所示，得到△A′B′D′，∴∠B′A′D′=∠BAD，AB∥A′B′，∴∠BAC=∠B′A′C，∵∠BAD=∠BAC，∴∠B′A′D′=∠B′A′C，∴A′D′平分∠B′A′C．
【解析】【分析】（1）根据平移的性质得出∠BAD=∠DAC，∠BAD=∠A′，AB∥A′B′，进而得出∠BAC=∠B′EC，进而得出答案；
（2）利用平移的性质得出∠B′A′D′=∠BAD，AB∥A′B′，进而得出∠BAD=∠BAC，即可得出∠B′A′D′=∠B′A′C．
32．根据市场调查，某种消毒液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为.某厂每天生产这种消毒液，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶.
【答案】解：设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶
由题意得
解得
答：这些消毒液应该分装30000大瓶，50000小瓶.
【解析】【分析】 设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶 ，根据“ 种消毒液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，且该厂每天生产这种消毒液 ”列出方程组并解之即可.
33．如图1是长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2)
（1）自主探究：
请你写出之间的等量关系是___；
（2）知识迁移：
设求的值；
（3）知识延伸：
若求的值．
【答案】（1）
（2）解：∵，，，∴
；
（3）解：∵，∴，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴，
则．
【解析】【解答】解：（1）∵图1大长方形的面积等于图2中空白部分的面积，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据图1大长方形的面积和图2中空白部分的面积相等列出等式即可；
（2）将A，B整体代入（1）中结论，求解即可；
（3）先求出，再利用完全平方公式和整式加减求解即可．
（1）解：∵图1大长方形的面积等于图2中空白部分的面积，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，，，
∴
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴，
则．
34．如图，，，的平分线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）探究，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，．求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，
理由：
如图，过点作，
由（1）知，
∴，
∴，，
∴，
即；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵的平分线交的延长线于点，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
（2）过点作，根据直线平行性质即可求出答案.
（3）根据直线平行性质及角平分线定义即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：，
理由：
如图，过点作，
由（1）知，
∴，
∴，，
∴，
即；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵的平分线交的延长线于点，
∴，
∵，
∴．
35．列二元一次方程组：某企业去年国内、国外销售共1000万元，因金融风暴，今年比去年降低10%，其国内销售收入下降了5%，国外销售收入下降了15%．
【答案】解：设去年国内和国外销售各为x元和y元，
由题意得，
【解析】【分析】 设去年国内和国外销售各为x元和y元，根据去年国内、国外销售共1000万元 ，今年国内、国外销售收入1000(1-10%)，列出方程组即可.
36．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作 ，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”
【答案】解：设每头牛值金x两，每只羊各值金y两，
根据题意得：
解得：
答：每头牛值金 两，每头羊值金 两
【解析】【分析】此题的等量关系是：5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两，设未知数列方程组，解方程组求解即可。
37．先化简再求值：其中a＝，b＝﹣2．
【答案】解：
当a＝，b＝﹣2时
原式．
【解析】【分析】先化简整式，再将a和b的值计算求解即可。
38．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E.试说明：AD∥BC.
【答案】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2.
∵AB∥CD，∠CFE＝∠E，
∴∠1＝∠CFE＝∠E.
∴∠2＝∠E.
∴AD∥BC
【解析】【分析】 根据角平分线的定义得∠1＝∠2，由平行线的性质和等量代换可得∠2＝∠E，根据平行线的判定即可得证.
39．如图，，
（1）试判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若是的平分线，，求的度数．
【答案】（1）证明：，理由如下：
∵，
，
∵，
，
∴；
（2）解：∵， ，
平分
，
∵，
．
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等，得∠1=∠BAD，结合∠1+∠2=180°可得∠BAD+∠2=180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行，得AD∥EF；
（2）由已知易得∠1=30°，由角平分线定义得∠1=∠GDC=30°，进而根据二直线平行，同位角相等，得∠B=∠GDC=30°.
40．已知x+y=2，xy=﹣1，求下列代数式的值：
（1）5x2+5y2；
（2）（x﹣y）2．
【答案】解：（1）∵x+y=2，xy=﹣1，
∴5x2+5y2=5（x2+y2）=5[（x+y）2﹣2xy]=5×[22﹣2×（﹣1）]=30；
（2）∵x+y=2，xy=﹣1，
∴（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=22﹣4×（﹣1）=4+4=8．
【解析】【分析】（1）原式提取5，利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值．
41．如图，已知点A，D，B在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠E，若∠DAE=100°，∠E=30°，求∠B的度数．
【答案】解：∵∠1=∠2，
∴AE∥DC，
∴∠CDE=∠E，
∵∠3=∠E，
∴∠CDE=∠3，
∴DE∥BC，
∴∠B=∠ADE，
∵∠ADE=180°﹣∠DAE﹣∠E=50°，
∴∠B=50°．
【解析】【分析】根据平行线的判定定理得到AE∥DC，由平行线的性质得到∠CDE=∠E，推出DE∥BC，得到∠B=∠ADE，于是得到结论．
42．如图1，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，点E 在AB 上，且位于 PF 右侧，∠EPF=120°.
（1）求∠AEP的度数.
（2）如图2，射线PN从PF 出发，以每秒40°的速度绕点 P 按逆时针方向旋转，当PN⊥AB时，立刻按原速返回至首次与 PF 垂直时停止运动.射线 EM 从EA 出发，以每秒15°的速度绕点 E 按逆时针方向旋转至EB 后停止运动（当其中一条射线停止运动时，另一射线也随之停止运动）.若射线 PN，EM同时开始运动，设运动时间为t秒，则当EM∥PN时，求t的值.
【答案】（1）解：过点P作PM∥CD，如图，
∵ PF⊥CD，PM∥CD，
∴ ∠FPM=90°，
∵ ∠EPF=120°，
∴ ∠EPM=∠EPF-∠FPM=120°-90°=30°，
∵ AB∥CD，PM∥CD，
∴ AB∥PM，
∴ ∠AEP=∠EPM=30°.
（2）解：当0＜t≤2时，如图，
∠AEM=15t°，∠EPN=40t°，
∴ ∠MEP=30°-15t°，∠EPN=120°-40t°，
当EM∥PN，则∠MEP=∠EPN，
即30°-15t°=120°-40t°，
解得，t=（舍去）；
当2＜t≤时，如图，
∠AEM=15t°，∠EPN=40t°，
∴ ∠MEP=15t°-30°，∠EPN=40t°-120°，
当EM∥PN，则∠MEP=∠EPN，
即15t°-30°=40t°-120°，
解得，t=；
当＜t≤时，如图，
∠AEM=15t°，∠EPN=60°-(40t°-180°)=240°-40t°，
∴ ∠MEP=15t°-30°，∠EPN=240°-40t°，
当EM∥PN，则∠MEP=∠EPN，
即15t°-30°=240°-40t°，
解得，t=；
∴ t的值为或.
【解析】【分析】（1）过点P作PM∥CD，根据平行线的性质得∠FPM=90°推出∠EPM，根据平行于同一直线的两条直线互相平行可得AB∥PM，再根据二直线平行，内错角相等，即可求得；
（2）分三种情况：当0＜t≤2时，即0＜EM旋转的角度≤30°时；当2＜t≤时，即PN旋转的角度不超过180°时；＜t≤时，即180°＜PN旋转的角度≤270°，均根据平行线的性质得∠MEP=∠EPN建立等量关系，即可求得.
43．如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OF⊥OE，∠D＝50°，求∠DOF的度数．
【答案】解：∵CD∥AB∴
∵∴
∵OE平分∠AOD∴
∵OE⊥OF∴
∴
【解析】【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补求出∠ AOD的度数，再根据角平分线的定义求出∠1的大小，接着根据垂直的定义求出∠2的大小，最后再根据平角的定义列式计算即可得解．
44．如图，已知为两条互相平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F，∠FDC+∠ABC=180°.
（1）求证：AD∥BC.
（2）连接CF，当FC∥AB，∠CFB=∠DCF时，求∠BCD的度数.
（3）若∠DCF=∠CFB时，将线段BC沿射线AB方向平移，记平移后的线段为PQ，B，C分别对应P，Q，当∠PQD—∠QDC=24°时，求∠DQP的度数.
【答案】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠EDF＝∠DAB，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDF＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠DAB，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）解：∵∠CFB＝∠DCF，
∴设∠DCF＝α，则∠CFB＝1.5α，
∵CF∥AB，
∴∠ABF＝∠CFB＝1.5α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABF＝3α，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠BCD＝∠ABC＝3α，
∴∠BCF＝2α，
∵CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∴3α+2α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠BCD＝3×36°＝108°；
（3）解：如图，∵∠DCF＝∠CFB，
∴BF∥CD，
∴∠CDF＝∠DFE，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠DFE，
∴∠CDF＝∠CBF，
∵AD，BE分别平分∠ABC，∠CDE，
∴∠ABC＝2∠CBF，∠CDE＝2∠CDF，
∴∠ABC＝2∠CDF，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝120°，∠CDF＝60°，
∴∠DCB＝120°，
∴∠DAB＝60°，
∵线段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ，
∴BC∥PQ，
∴∠APQ＝120°，
∵∠PQD﹣∠QDC＝24°，
∴∠QDC＝∠PQD﹣24°，
∴∠FDC+∠CDQ+∠PQD＝180°，
∵∠CDF＝60°，
∴∠CDQ+∠PQD＝120°，
∴∠PQD-24°+∠PQD=120°
∴∠PQD＝72°．
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等，得∠EDF＝∠DAB，由角平分线的定义得∠EDF＝∠ADC，则∠ADC＝∠DAB，结合已知，利用等量代换可得∠DAB+∠ABC＝180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行得出结论；
（2）由已知可设∠DCF＝α，则∠CFB＝1.5α，由二直线平行，内错角相等，得∠ABF＝∠CFB＝1.5α，由角平分线的定义得∠ABC＝2∠ABF＝3α，由二直线平行，同旁内角互补，得∠ADC+∠BCD＝180°，结合已知，由同角的补角相等得∠BCD＝∠ABC＝3α，由二直线平行，同旁内角互补，得∠ABC+∠BCF＝180°，从而代入可求出α得度数，此题得解；
（3）由内错角相等，两直线平行，得BF∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠CDF＝∠DFE，由二直线平行，同位角相等得∠CBF＝∠DFE，则∠CDF＝∠CBF，由角平分线的定义得∠ABC＝2∠CDF，结合已知可得∠ABC＝∠DCB=120°，∠CDF＝60°，由二直线平行，同旁内角互补得∠DAB＝60°，由平移的性质得BC∥PQ，由二直线平行，同位角相等得∠APQ＝120°，根据二直线平行，同旁内角互补，得∠FDC+∠CDQ+∠PQD＝180°，结合已知可求出∠PQD的度数.
45．根据以下素材，探索完成任务．
如何合理搭配消费券？
素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．
素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务．
任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元．
任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？
任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额．
【答案】任务一：6；880；
任务二：设A型的消费券张，则B型的消费券张，型的消费券数量为(张)，
由题意可得：，
解得：．
∴x－1=2，9－2x=3，
型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张；
任务三：设小明一家共使用A型的消费券张，B型的消费券张，C型的消费券张，则，，都是正整数，
∵ 小明一家4人各领到了一套消费券，
∴，，，
①只使用A、B型消费券：．
，
∴，
，都是正整数，，，
方程无解；
②只使用B、C型消费券：，
，
∴，
，都是正整数，，，
．
此时实际消费金额：（元）；
③只使用A、C型消费券，
，
，都是正整数，，，
．
此时实际消费金额：（元）；
∴使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小，最小金额为830元.
【解析】【解答】解：任务一：∵ 小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，
∴用B型消费券的数量为：，
实际消费最少为：（元）．
故答案为：6；880；
【分析】任务一：根据消费券规则先计算出用B型消费券的数量，再用满减前的消费数量－420，即可得到最少的实际消费数量；
任务一：设A型的消费券张，则B型的消费券张，型的消费券数量为张，根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解；
任务一：设小明一家共使用A型的消费券张，B型的消费券张，C型的消费券张，则，，都是正整数，根据题意得，，，再分情况讨论，列二元一次方程求出整数解即可.
46．甲、乙两小组人数的和是28．如果甲组增加2人，乙组增加6人，那么甲组人数与乙组人数的比是2：1．求原来甲、乙两组的人数．
【答案】解：设原来甲组人数为x人，原来乙组人数为y人，依题可得：
，
变形得：
，
（1）-（2）得：
3y=18，
∴y=6，
将y=6代入（1）得：
x=22.
∴原方程组的解为：.
答：原来甲组人数为22人，原来乙组人数为6人.
【解析】【分析】设原来甲组人数为x人，原来乙组人数为y人，根据题意列出二元一次方程组，解之即可.
47．国家实行一系列“三农”优惠政策后，使农民收入大幅度增加，也调动了农民生产积极性．某农业基地去年种植蔬菜和茶叶的总收入是万元，今年扩大了蔬菜和茶叶的种植面积，这样按照去年的平均每亩收入，预计今年蔬菜和茶叶的种植总收入将比去年增加万元，其中蔬菜的种植收入将增加，茶叶种植收入将增加．
（1）问该农业基地去年种植蔬菜和茶叶的收入各是多少万元？
（2）经测算茶叶平均每亩的收入要比蔬菜平均每亩的收入多万元，日常管理中，蔬菜平均每亩需人管理，茶叶平均每亩需人管理．若今年新增的管理蔬菜和茶叶的人数比为：，问该农业基地管理蔬菜和茶叶今年共需新增多少人？
【答案】（1）解：设该农业基地去年种植蔬菜的收入为x万元，种植茶叶的收入为y万元，
根据题意得：，解得：．
答：该农业基地去年种植蔬菜的收入为2200万元，种植茶叶的收入为1200万元；
（2）解：设该农业基地去年种植茶叶m亩，每亩的收入为n万元，则该农业基地去年种植蔬菜2.5m亩，每亩的收入为（n-0.2）万元，
根据题意得：，解得：，
∴．
答：该农业基地管理蔬菜和茶叶今年共需新增48人．
【解析】【分析】（1）设该农业基地去年种植蔬菜的收入为x万元，种植茶叶的收入为y万元，则该农业基地今年种植蔬菜的收入为（1+20％）x=1.2x万元，种植茶叶的收入为（1+30％）y=1.3y万元，由“ 某农业基地去年种植蔬菜和茶叶的总收入是3400万元 ”可列出方程x+y=3400，由“ 今年蔬菜和茶叶的种植总收入将比去年增加800万元 ”可列方程1.2x+1.3y=3400+800，联立两方程组成方程组，再求解即可；
（2）设该农业基地去年种植茶叶m亩，每亩的收入为n万元，则该农业基地去年种植蔬菜30％m×5÷3÷20％=2.5m亩，每亩的收入为（n-0.2）万元，根据单位面积的收入乘以单位面积=总收入可列出关于mn的二元二次方程组，求解得出m的值，进而即可求出 该农业基地管理蔬菜和茶叶今年共需新增人数.
48．“数形结合”是数学中的一种重要的数学思想方法．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．由此可见数学学习和研究中数与形互相配合的重要性．
（1）如图1，是我们学过的一个乘法公式的图形表达，请根据图1写出此乘法公式：______．
（2）如图2，是由4个全等的长方形拼出来的大、小正方形，请你根据图2所示，写出、、之间的等量关系：______．
（3）根据（2）中的结论进行计算．已知：，，求的值．
（4）如图3，正方形与正方形的重合部分长方形的面积是2024，，，四边形和四边形都是正方形，求正方形的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）解：由（2）得，，
，，
，
.
（4）解：设长方形的长，宽，则，即，
由于长方形的面积是2024，即，
四边形和四边形都是正方形，
正方形的边长为，
正方形的面积
．
【解析】【解答】（1）解：图1中大正方形的边长为，因此面积为，组成大正方形的四个部分的面积和为，
故答案为：；
（2）解：图2中大正方形的边长为，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，四个长为，宽为的长方形面积为，
所以有，
故答案为：.
【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个图形的面积可得等量关系式；（2）利用不同的表达式表示同一个图形的面积可得等量关系式；（3）根据，将，代入求出，最后求出即可；
（4）设长方形的长，宽，则，即，求出正方形的面积，最后将和代入计算即可.
（1）解：图1中大正方形的边长为，因此面积为，组成大正方形的四个部分的面积和为，
故答案为：；
（2）解：图2中大正方形的边长为，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，四个长为，宽为的长方形面积为，
所以有，
故答案为：；
（3）解：由（2）得，，
，，
，
；
（4）解：设长方形的长，宽，则，即，
由于长方形的面积是2024，即，
四边形和四边形都是正方形，
正方形的边长为，
正方形的面积
．
49．某工厂的一条流水线匀速生产出产品，在有一些产品积压的情况下，经过试验，若安排9人包装，则5小时可以包装完所有产品；若安排6人包装，则需要10小时才能包装完所有产品．假设每个人的包装速度一样，现要在2小时内完成产品包装的任务，问至少需要安排多少人？
【答案】解：设原有产品m，每个人的包装速度为x，每小时流水线生产的产品为y.
则 ，解得：
若需要n人刚好完成，则2nx=m+y，
∴至少需要18人
【解析】【分析】 设原有产品m，每个人的包装速度为x，每小时流水线生产的产品为y，根据两种方法包装这批产品，总量不变列出方程组，进而即可求出.
50．（1）观察发现：
解方程组
将①整体代入②，得，解得．
将代入①，解得，
所以原方程组的解是
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，会发现有很多方程组可采用此方法求解．
请写出方程组的解为________；
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组：
（3）已知满足方程组，求的值．
【答案】（1）
解：（2）由①，得③
将③代入②，得，解得，
将代入③，得，解得，
则原方程组的解为；
（3）
由①，得，
化简，得③
把③代入②，得，
解得，
把代入③，得，
所以．
【解析】【解答】解：（1）由①，得③
将③代入②，得，解得，
将代入③，得，
则原方程组的解为；
故答案为：；
【分析】（1）先将①式变形为x-y=1③，再将③代入②消去x，求出y的值，进而将y的值代入③即可求出x的值，从而得到方程组的解；
（2）先将①式变形为2x-3y=2③， 再将③代入②消去x，求出y的值，进而将y的值代入③即可求出x的值，从而得到方程组的解；
（3）先将①式变形为3(x2+4y2)-2xy=47，再化简得x2+4y2=③， 再将③代入②，求出xy的值，进而将xy的值代入③即可求出 x2+4y2 的值，从而整体代入待求式子即可算出答案.
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